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數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì)論文
在數(shù)學(xué)專業(yè)的本科教學(xué)中，“數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何”通常稱為“老三基”，是大學(xué)低年級(jí)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)課，其中數(shù)學(xué)分析尤其重要。首先它歷時(shí)最長(zhǎng)，總學(xué)時(shí)約300學(xué)時(shí)左右，其教學(xué)過程貫穿三到四個(gè)學(xué)期；其次它為學(xué)生提供學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程（如常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、實(shí)變函數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)等）所必須的基本理論、基本方法和基本技能。數(shù)學(xué)分析所體現(xiàn)的分析思想，邏輯推理方法，處理問題的技巧以及整個(gè)數(shù)學(xué)思維方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究中起著奠基性的重要作用。數(shù)學(xué)分析一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，而數(shù)學(xué)分析的教學(xué)也一直存在諸多難點(diǎn)，比如：教學(xué)內(nèi)容過于抽象化、理論化，容易使學(xué)生感到枯燥，難以理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣難；教授具體的知識(shí)點(diǎn)容易，使學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力難；與數(shù)學(xué)系其他專業(yè)課程、與初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)你暯与y等等．
針對(duì)上述難點(diǎn)，下面我們結(jié)合自己多年來進(jìn)行數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的實(shí)踐，談?wù)刜些認(rèn)識(shí)和體會(huì)。
1聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與初等微積分進(jìn)行教學(xué)
微積分理論是數(shù)學(xué)分析與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主體。數(shù)學(xué)分析不同于高等數(shù)學(xué)的是，它已超出“經(jīng)典微積分”的范疇，更多地關(guān)注十九世紀(jì)微積分嚴(yán)格化的成果，甚至近代分析學(xué)的成果。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)分析研究的是“嚴(yán)格意義下的微積分”
數(shù)學(xué)系新生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析之前，絕大部分已經(jīng)在中學(xué)學(xué)過初等微積分，包括對(duì)極限和導(dǎo)數(shù)等概念的較為直觀的定義，以及較為簡(jiǎn)單的求極限、求導(dǎo)數(shù)和求積分的運(yùn)算等。而在大學(xué)階段所學(xué)的“嚴(yán)格意義下的微積分”，涵蓋了初等微積分的內(nèi)容，并在此基礎(chǔ)上對(duì)極限、導(dǎo)數(shù)等概念給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，同時(shí)對(duì)微積分理論體系中的定理給出了嚴(yán)格的證明。為了在中學(xué)微積分教學(xué)的基礎(chǔ)上，立足于更高的觀點(diǎn)來講授數(shù)學(xué)分析，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)“嚴(yán)格意義下的微積分”的必要性，我們作了如下兩點(diǎn)嘗試：
11聯(lián)系初等數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)。
初等數(shù)學(xué)是常量的、靜態(tài)的數(shù)學(xué)，它只能解決和解釋常量的幾何問題和物理問題，比如求規(guī)則圖形的長(zhǎng)度、面積和體積，勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，常力沿直線所作的功，以及質(zhì)點(diǎn)間的吸引力等；微積分是變量的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)，它解釋和解決那些變化的幾何問題和運(yùn)動(dòng)的物理過程，特別是描述一些物體的漸近行為和瞬時(shí)物理量等，比如不規(guī)則圖形的長(zhǎng)度、面積和體積，一般運(yùn)動(dòng)問題，變力沿曲線作功，一般物體間的吸引力等。
例1導(dǎo)數(shù)概念的引入——變速直線運(yùn)動(dòng)，切線斜率。
初等數(shù)學(xué)一般討論勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為：^表示速度，s表示位移，表示時(shí)間。但是如何求變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻z的瞬時(shí)速度呢？=lim^，這里土為仏時(shí)間后的位移差。這里用極限描述的是A—0時(shí)，平均速度趨向于瞬時(shí)速度。
同樣在討論切線問題時(shí)，初等數(shù)學(xué)定義為過圓的半徑端點(diǎn)且垂直于該半徑的直線或與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線稱為圓的切線，這是孤立靜止的觀點(diǎn)，它并不適用于所有的曲線。要考慮任意曲線在其上任意一點(diǎn)處的切線，需要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)考察問題。在曲線上任取一動(dòng)點(diǎn)，連接兩點(diǎn)的直線即為曲線的割線，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線無限接近定點(diǎn)時(shí)，割線的極限位置即為曲線在該點(diǎn)的切線，切線的斜率為運(yùn)動(dòng)割線斜率的極限。
例1考慮的速度和斜率在勻速運(yùn)動(dòng)和直線的情形下，其計(jì)算是簡(jiǎn)單的除法，但對(duì)于“非勻速運(yùn)動(dòng)”和“曲線”，其計(jì)算就是求導(dǎo)數(shù)，即求函數(shù)增量與自變量增量商的極限。相應(yīng)地，求函數(shù)增量可以用求微分近似代替。
例2積分概念的引入——曲邊梯形的面積和變力作功。
例2考慮的面積和功在直邊形和常力的情形下，其計(jì)算是簡(jiǎn)單的加法與乘法，但對(duì)“曲邊形”和“變力”的情形，其計(jì)算就是積分。
綜合上述兩例，可以給出一個(gè)不太準(zhǔn)確的說法：微積分研究的是“非線性情形下的和差積商”
講解導(dǎo)數(shù)和積分概念時(shí)，要突出背景問題的運(yùn)動(dòng)變化和非線性的特征，與初等數(shù)學(xué)形成鮮明的對(duì)比——從直到曲、均勻到非勻、常量到變量、有限到無限，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到微積分是數(shù)學(xué)從常量時(shí)期進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期的一個(gè)重要的里程碑，并逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看待和解決問題。
1。2聯(lián)系初等微積分，運(yùn)用悖論和反例進(jìn)行教學(xué)。
學(xué)生在中學(xué)里已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了微積分最重要的幾個(gè)基本概念，并學(xué)會(huì)了初步的微積分算法。進(jìn)入大學(xué)后，他們接觸到“嚴(yán)格意義下的微積分”，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)問題：
一是難以接受微積分概念的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，如數(shù)列極限的HV定義、一致連續(xù)的定義等，在學(xué)習(xí)過程中感到極大的困難；
二是對(duì)已經(jīng)學(xué)過的微積分中的相關(guān)運(yùn)算缺乏耐心，沒有進(jìn)一步深入探究和學(xué)習(xí)的動(dòng)力。
為了解決上述問題，我們?cè)诮淌谙嚓P(guān)內(nèi)容時(shí)，首先是盡量完整清晰地給出概念的具體背景，講清楚概念的來龍去脈，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，其次，也是我們更為看重的一個(gè)方法是：密切結(jié)合初等數(shù)學(xué)和初等微積分的內(nèi)容，運(yùn)用悖論和反例進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)到微積分嚴(yán)格化的必要性，同時(shí)在進(jìn)行計(jì)算和證明時(shí)有意識(shí)地驗(yàn)證條件，避免陷阱。
例3發(fā)散級(jí)數(shù)悖論。
例4可以使學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)，原來常用的變量替換也是不能隨便用的，前提條件是函數(shù)極限必須存在丨結(jié)合這個(gè)例子，可以提醒學(xué)生，在運(yùn)用函數(shù)極限的相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，也必須先驗(yàn)證法則的適用條件是否成立。
通過上述例子，使學(xué)生體會(huì)到直觀的認(rèn)識(shí)、常規(guī)的做法常常是很不可靠的，為了在實(shí)際應(yīng)用中避免出現(xiàn)謬誤，必須加深對(duì)概念的理解，學(xué)習(xí)它們的嚴(yán)格化定義，同時(shí)對(duì)法則的適用條件要進(jìn)行嚴(yán)格的驗(yàn)證，并學(xué)會(huì)把標(biāo)準(zhǔn)法則的條件加以弱化或改變，以使法則適用于更廣闊的領(lǐng)域。
2揭示概念間的內(nèi)在聯(lián)系
在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，最基本的要求是讓學(xué)生掌握基本知識(shí)，基本技能。但是僅僅只有這些是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)分析教的不僅是_種知識(shí)，更是_種思想，一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。對(duì)_些具體的知識(shí)，通過進(jìn)行抽絲剝繭般的分析，從不同特征中找出共同的本質(zhì)，揭示出概念間的內(nèi)部聯(lián)系，就可以使零散的知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)一起來，并使學(xué)生對(duì)分析學(xué)的基本概念和基本思想加深認(rèn)識(shí)。
數(shù)學(xué)分析概念繁多，但是數(shù)學(xué)分析的幾個(gè)重要概念，如函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)和可積[1]，都可以用極限的思想將它們連貫串通起來。
從教學(xué)過程中可以不斷的啟發(fā)學(xué)生，雖然這三種定義完全不同，但要注意到這些定義的共同點(diǎn)：都是通過極限定義的。以上三個(gè)定義實(shí)質(zhì)是三種不同形式的極限�？梢姌O限是這些定義的基礎(chǔ)。從連續(xù)、可導(dǎo)、可積概念出發(fā)可以推廣到多重積分，曲面、曲線積分，級(jí)數(shù)等等。這樣，極限就將整個(gè)數(shù)學(xué)分析聯(lián)系起來了。所以，極限思想可以說是貫穿數(shù)學(xué)分析的始終。
3與后續(xù)課程聯(lián)系起來進(jìn)行教學(xué)
我們?cè)跀?shù)學(xué)分析教學(xué)過程中，_直試圖將數(shù)學(xué)分析和_些后續(xù)課程如常微分方程、泛函分析、實(shí)變函數(shù)等聯(lián)系在_起進(jìn)行，以便加深學(xué)生對(duì)于各門課程之間聯(lián)系的了解，進(jìn)而充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)分析是整個(gè)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。
例5從研究對(duì)象出發(fā)，揭示數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)、泛函分析之間的內(nèi)在聯(lián)系。
a）數(shù)學(xué)分析研究的主要對(duì)象——函數(shù)，可記作y—/（x）。定義域是R中子集，自變量取值為實(shí)數(shù)。
b）泛函分析[3]中研究的主要對(duì)象之泛函，可記作y=/（gO。定義域是由函數(shù)構(gòu)成的集合，
自變量取值為函數(shù)或映射。泛函就是以函數(shù)為自變量的特殊映射。
c）實(shí)變函數(shù)w中研究的主要對(duì)象之測(cè)度，可記作y=rn（E）。定義域是以集合為元素構(gòu)成
的集合，自變量取值為集合。測(cè)度是以集合為自變量，滿足_定規(guī)則的特殊映射。
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的時(shí)候，就讓學(xué)生了解：道著研究對(duì)象的不同而形成了不同的數(shù)學(xué)分支。這樣能進(jìn)_步擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣；同時(shí)可進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)概念的理解，對(duì)于后續(xù)課程如實(shí)函、泛函的學(xué)習(xí)就有一定的幫助。
實(shí)質(zhì)上方程（1）就是一個(gè)常微分方程。從方程（1）可以直觀地看出所謂的微分方程就是含有有關(guān)未知變量導(dǎo)數(shù)的方程。常微分方程中導(dǎo)數(shù)是關(guān)于一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)。若方程中有關(guān)于多個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)，那就是偏微分方程。之前我們學(xué)習(xí)的方程從本質(zhì)上說都是代數(shù)方程。
將求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和介紹常微分方程聯(lián)系起來，可為下一步學(xué)習(xí)常微分方程作鋪墊，同時(shí)可加深對(duì)隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的理解，也進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析這門基礎(chǔ)課的重要性的認(rèn)識(shí)。
4注重講解知識(shí)的來源啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新
在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，注意講解知識(shí)的來源，運(yùn)用觀察、啟發(fā)、歸納的手段讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的興趣，提高其創(chuàng)新的能力。
例7泰勒展式[1]的推導(dǎo)過程。
1、計(jì)算驗(yàn)證猜想，解決問題；通過計(jì)算可證實(shí)我們的猜想。
通過以上三步，可以很自然地推導(dǎo)出泰勒展式。在教學(xué)過程采用類似于例7的教學(xué)方法，可提高學(xué)生的創(chuàng)新興趣，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的基本方法，且具有初步的創(chuàng)新能力。
5結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)
我國(guó)老_輩數(shù)學(xué)家余介石等人曾受美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因的深刻影響，主張：歷史之于教學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效。更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠(chéng)為教師最宜留意體會(huì)之一事也這對(duì)于數(shù)學(xué)分析教學(xué)來說，尤其如此。結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于相關(guān)知識(shí)的理解。另外從數(shù)學(xué)史的整個(gè)發(fā)展趨勢(shì)中，學(xué)生可以初步了解微積分知識(shí)的基本框架。
例8教授數(shù)學(xué)分析第一章——實(shí)數(shù)集與函數(shù)，引入第_次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事。
大約公元前5世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了“畢達(dá)哥拉斯悖論”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：宇宙間—切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。但后來由于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）。這一新發(fā)現(xiàn)直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，稱為“畢達(dá)哥拉斯悖論”該悖論導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的“危機(jī)”，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
在發(fā)現(xiàn)無理數(shù)之前，人們認(rèn)為只有整數(shù)和整數(shù)之比，這一認(rèn)識(shí)是做為公理存在的。但隨著知識(shí)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，當(dāng)時(shí)的公理導(dǎo)致了悖論的出現(xiàn)。通過了解第一次危機(jī)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生開展創(chuàng)新，而不總是墨守成規(guī)。同時(shí)對(duì)有理數(shù)有了更深刻的理解，增加了對(duì)于實(shí)數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的興趣。
例9無窮小的學(xué)習(xí)與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。
無窮小是零嗎？一一第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，貝克萊悖論。貝克萊指出：牛頓在求導(dǎo)數(shù)時(shí)認(rèn)為無窮小既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬的”。沒有清楚的無窮小概念，從而使得導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無窮大概念不清楚，而且導(dǎo)致了發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性，符號(hào)的不嚴(yán)格使用，不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等問題。
通過第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，對(duì)照數(shù)學(xué)分析教材中無窮小的概念，學(xué)生可以加深理解：無窮小是一類趨向于零的函數(shù)，常數(shù)零也是一類特殊的無窮小。
上面這些是我們?cè)诙嗄陻?shù)學(xué)分析教學(xué)中得到的一些認(rèn)識(shí)和體會(huì)，每進(jìn)行一輪數(shù)學(xué)分析的教學(xué)，都會(huì)有一些新的認(rèn)識(shí)和新的體會(huì)以及新的感悟。如何把這些感悟、這些教材上沒有用公式表述出來的思想，傳授給學(xué)生，讓學(xué)生除了掌握教材中數(shù)學(xué)分析的系統(tǒng)知識(shí)體系之外，還能體會(huì)到那種只可意會(huì)、不可言傳的美妙思維方法，這是我們努力的目標(biāo)。
總而言之，數(shù)學(xué)分析常講常新。
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