國內(nèi)數(shù)學(xué)元認(rèn)知的研究與思考論文
一、數(shù)學(xué)元認(rèn)知及其成分結(jié)構(gòu)
元認(rèn)知（meta-cognkion)作為一個科學(xué)概念由美國著名發(fā)展心理學(xué)家弗拉威爾（Havell，J.)于1976年正式提出。元認(rèn)知是對認(rèn)知的認(rèn)知，意指以人的認(rèn)知過程為對象，并對人的認(rèn)知過程進(jìn)行監(jiān)視、控制、調(diào)節(jié)，包括元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗、元認(rèn)知監(jiān)控。
數(shù)學(xué)元認(rèn)知直到20世紀(jì)90年代才引起我國數(shù)學(xué)教育界的關(guān)注。初期，研究者主要根據(jù)元認(rèn)知理論架構(gòu)對數(shù)學(xué)元認(rèn)知及其成分進(jìn)行定性分析。譬如，有研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)元認(rèn)知指的是人們對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的認(rèn)識和控制，包括數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識（前提）、數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗（基礎(chǔ)）、數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控（關(guān)鍵），三者的有機(jī)結(jié)合組成一個整體一數(shù)學(xué)元認(rèn)知結(jié)構(gòu)。較多研究者結(jié)合問題解決，分析了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的元認(rèn)知，譬如有研究者認(rèn)為：在數(shù)學(xué)解題活動中，數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識由主體性知識、客體性知識和策略性知識組成，數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗由修正目標(biāo)、改組元認(rèn)知知識、激活策略組成，數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控則包括解題方向、解題過程、認(rèn)知策略的監(jiān)控。
隨著研究的深入，研究者利用定量方法研究數(shù)學(xué)元認(rèn)知及其結(jié)構(gòu)。譬如，有研究者利用因素分析，確定了中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力的五個因子：計劃、調(diào)節(jié)、檢驗、管理和評價。另一項研究則在此基礎(chǔ)上制訂了由31個測查項目構(gòu)成的數(shù)學(xué)解題監(jiān)控能力問卷，調(diào)查結(jié)論與上述結(jié)論基本一致，另外，有研究者對數(shù)學(xué)問題解決的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行了探索性因素分析和驗證性分析，提出數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)包括“三主因素九次因素”元認(rèn)知知識（個體知識、認(rèn)知任務(wù)、認(rèn)知策略）、元認(rèn)知體驗（情感體驗、認(rèn)知體驗）、元認(rèn)知策略（計劃、調(diào)控、評價、反思）值得注意的是，研究者開始從動態(tài)與靜態(tài)的視角對數(shù)學(xué)元認(rèn)知進(jìn)行了區(qū)分。其中，靜態(tài)元認(rèn)知是對認(rèn)知任務(wù)、策略、體驗、體驗、調(diào)控等方面較為穩(wěn)定的知識結(jié)構(gòu)，動態(tài)元認(rèn)知是指面對具體認(rèn)知情境時，對當(dāng)前活動的計劃、監(jiān)控、認(rèn)知策略、自己解決該問題能力的意識和評估等。
綜上所述，研究者從定性與定量兩個層面，對數(shù)學(xué)元認(rèn)知及其成分結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，觀點雖略有不同，但基本達(dá)成了以下共識：數(shù)學(xué)元認(rèn)知是人們對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的認(rèn)識，實質(zhì)是人們對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動的自我意識和自我調(diào)節(jié)，其結(jié)構(gòu)成分包括數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識、數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗、數(shù)學(xué)元認(rèn)知調(diào)控。
二、數(shù)學(xué)元認(rèn)知對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響
教育心理學(xué)界普遍認(rèn)為，元認(rèn)知在整個智力活動中處于支配地位，對整個活動起控制調(diào)節(jié)作用。數(shù)學(xué)教育界持相同觀點，認(rèn)為數(shù)學(xué)元認(rèn)知在數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中具有重要作用，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績?nèi)齻�方面。
(一)對數(shù)學(xué)問題解決的影響
數(shù)學(xué)問題解決是一個認(rèn)知與元認(rèn)知交互作用與影響的過程。數(shù)學(xué)元認(rèn)知對數(shù)學(xué)問題解決的影響，體現(xiàn)在元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗及元認(rèn)知監(jiān)控三個緯度。
數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識對問題解決具有統(tǒng)攝作用。這種統(tǒng)攝作用表現(xiàn)在：程序性知識具有控制性，情境性知識具有引持性，評價性知識具有收效性，數(shù)學(xué)核心思想具有統(tǒng)攝性，數(shù)學(xué)思維模式具有規(guī)范性，策略性知識具有啟發(fā)性。[2]譬如，擁有豐富元認(rèn)知知識的學(xué)生，總體上能把握解題過程，思維整合流暢，所建構(gòu)的“解題空間”具有較髙的質(zhì)量，解題過程表現(xiàn)為較髙層次的元認(rèn)知過程。[9]而且，隨著問題難度與開放度的增大，元認(rèn)知知識的統(tǒng)攝作用更加顯著。
數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗是數(shù)學(xué)問題解決的心理推動力，對問題解決活動主要起調(diào)節(jié)作用。這些調(diào)節(jié)作用有：①對問題情境中各種線索的體驗，決定和調(diào)節(jié)著對情境中有關(guān)信息的覺察與認(rèn)知；②激活和提取不同問題情境下相應(yīng)策略的知識和經(jīng)驗的體驗，影響著調(diào)控對策和方法的選��；③解題進(jìn)展的體驗，影響和調(diào)節(jié)著解題過程的進(jìn)展。實驗發(fā)現(xiàn)，認(rèn)知體驗因素對簡單題成績有顯著影響和回歸效應(yīng)；隨著認(rèn)知任務(wù)難度與開放度的增大，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知體驗與情感體驗越加明顯，并且這些體驗對解題過程中的方向、進(jìn)展等調(diào)節(jié)和監(jiān)控也越加顯著。
數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控是元認(rèn)知的核心內(nèi)容，對問題解決主要起控制、監(jiān)察、預(yù)見、調(diào)節(jié)和評價等作用。[4]譬如，有研究者認(rèn)為，在理解問題階段，監(jiān)控可以引導(dǎo)解題方向；在擬訂解題方案階段，監(jiān)控有助于解題者模式識別和解題遷移；在執(zhí)行方案階段，監(jiān)控起調(diào)控、檢驗解題者行為的作用；在解題回顧階段，監(jiān)控可以促使解題者反思。值得注意的是，數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控作用是通過數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識和數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗的交互作用來實現(xiàn)的。
(二）對數(shù)學(xué)思維的影響
在教育心理學(xué)界，有研究者實驗發(fā)現(xiàn)，元認(rèn)知與思維品質(zhì)存在因果關(guān)系，它們是同一事物的兩個方面，都是完整思維結(jié)構(gòu)的重要組成部分。其中，思維品質(zhì)是思維整體結(jié)構(gòu)功能的外在表現(xiàn)形式，而元認(rèn)知則是思維整體結(jié)構(gòu)功能的內(nèi)在組織形式，即思維品質(zhì)代表的是表層結(jié)構(gòu)，元認(rèn)知代表的是深層結(jié)構(gòu)。
教育心理學(xué)界對元認(rèn)知與數(shù)學(xué)思維關(guān)系的研究，給數(shù)學(xué)教育界在該領(lǐng)域的研究帶來了啟示。一些研究者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)思維活動中，思維監(jiān)控系統(tǒng)處于支配的地位，它是數(shù)學(xué)思維活動的控制室，對其他四個系統(tǒng)（思維的目標(biāo)系統(tǒng)、材料系統(tǒng)、操作系統(tǒng)、產(chǎn)品系統(tǒng)）起著監(jiān)控、調(diào)節(jié)作用。因此，要培養(yǎng)和提髙學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)習(xí)水平，必須抓住這個核心，把它作為關(guān)鍵和突破口。也有研究者認(rèn)為，元認(rèn)知思想是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的“導(dǎo)航器”，在元認(rèn)知思想的指導(dǎo)下，即便思維受阻，也會及時矯正思維方向，調(diào)整思維的策略，把思維活動引入正軌，起到導(dǎo)航作用。另一項研究則從數(shù)學(xué)元認(rèn)知的三個成分結(jié)構(gòu)分別探討其對數(shù)學(xué)思維的意義，認(rèn)為元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗、元認(rèn)知調(diào)控對數(shù)學(xué)思維分別具有奠基、調(diào)節(jié)、監(jiān)控作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，必須提髙學(xué)生的元認(rèn)知知識水平，加強(qiáng)元認(rèn)知體驗、強(qiáng)化元認(rèn)知思維監(jiān)控。
(三）對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的影響
多項研究表明，數(shù)學(xué)元認(rèn)知對數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績有著深遠(yuǎn)的影響，數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平、元認(rèn)知技能越髙的學(xué)生，學(xué)業(yè)成績越優(yōu)秀。相關(guān)研究主要集中在學(xué)優(yōu)生與學(xué)困生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知特點的比較上。研究發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，與學(xué)困生相比，學(xué)優(yōu)生表現(xiàn)出較髙水平的動態(tài)數(shù)學(xué)元認(rèn)知，譬如更善于監(jiān)控自己的數(shù)學(xué)解題過程，具有計劃、監(jiān)控、反思、調(diào)節(jié)的意識與習(xí)慣。同樣，學(xué)優(yōu)生在問題解決中使用的元認(rèn)知策略的數(shù)量及質(zhì)量均優(yōu)于學(xué)困生，這些元認(rèn)知策略包括自我提問、自我指導(dǎo)、自我監(jiān)控以及對題目難度的主觀判斷等策略。[19]值得注意的是，關(guān)于學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的影響，多數(shù)研究者認(rèn)為這是一種間接的影響，即主要通過影響學(xué)生的問題解決、思維、遷移等而影響數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績。
三、學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平
研究者通過調(diào)查、解題實驗等實證研究，發(fā)現(xiàn)我國各個層次學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知在三個緯度的水平普遍較低，嚴(yán)重影響了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率和效果。
(一)元認(rèn)知知識缺失
有研究者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，中學(xué)生認(rèn)知個體、認(rèn)知任務(wù)、認(rèn)知策略、認(rèn)知調(diào)控等方面知識的靜態(tài)元認(rèn)知水平總體偏低，且發(fā)展水平不平衡。髙職生也存在類似的情況。譬如：髙職生難以確定自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上存在的問題出在哪里，即使順利完成任務(wù)，也會認(rèn)為是自己運(yùn)氣好；不能對所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和問題有清晰的把握；在解決數(shù)學(xué)問題時，對問題的條件、結(jié)論和與之相關(guān)聯(lián)缺乏清楚認(rèn)識；不能經(jīng)常了解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法；等等。這些現(xiàn)象同樣體現(xiàn)在大學(xué)生群體，很多大學(xué)生對自己解決數(shù)學(xué)問題的興趣、爰好、記憶與思維特點、與他人相比的優(yōu)勢與不足等認(rèn)識還不夠清楚。
(二）元認(rèn)知體驗消極
有研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對題目任務(wù)的難度、熟悉程度、對完成任務(wù)的把握程度、遇到的障礙或面臨的困難等情感體驗比較深刻。[但這種體驗對問題解決的意義是消極的，即對問題解決的促進(jìn)作用不明顯或無效。譬如，一項以“自我效能感”來衡量中學(xué)生元認(rèn)知的認(rèn)知體驗的
研究顯示，學(xué)生的自我效能感普遍較低，且隨著年級升髙而降低。譬如，初二有66%的學(xué)生“認(rèn)為自己有把握做對數(shù)學(xué)練習(xí)”而初三學(xué)生不到30%，髙中生更是在10%左右。22]髙職生與大學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗同樣不容樂觀，許多學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時不清楚自己采用方法的優(yōu)劣，一半左右的學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時缺乏情感體驗和美的享受。
(三）元認(rèn)知監(jiān)控偏弱
多項研究表明，中學(xué)生和髙職生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力發(fā)展速度比較平緩，并落后于其他心理能力的發(fā)展，集中體現(xiàn)在學(xué)生較差的題后反思、計劃、檢驗、調(diào)節(jié)和管理等水平上。譬如，“許多中學(xué)生談到自己看到陌生、難度大的問題時，就把平日里能隨口回答的‘解題前要充分理解題意'‘考慮自己的理解與做法是否合理'‘要進(jìn)行小結(jié)與反思'等元認(rèn)知行為拋到一邊，或一條道走到底，或猛然想到解法后，髙興地寫出答案，而忽略了全面考慮問題”多數(shù)髙職生在解決問題時，沒有定向的意識、計劃或者設(shè)想幾種解題方案，不會使用改變方法、改變方向、特殊化等調(diào)節(jié)策略。大學(xué)生群體也有相似情況，絕大多數(shù)大學(xué)生對學(xué)習(xí)中的漏洞、薄弱環(huán)節(jié)、作業(yè)與考試中的錯誤等缺乏補(bǔ)救意識，很少反思自己存在的問題并進(jìn)行針對性的補(bǔ)缺和補(bǔ)差。
可以看出，我國學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知各個維度的水平較低，尤其表現(xiàn)在數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控上。這種較低水平的數(shù)學(xué)元認(rèn)知，是否存在著一定的.發(fā)展規(guī)律性？研究者深入調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控等能力隨學(xué)生年齡的增長、數(shù)學(xué)知識的積累而不斷發(fā)展，甚至延續(xù)到大學(xué)階段，并具有“從他控到自控、從不自覺經(jīng)自覺到自動化、遷移性逐漸提髙、敏感性逐漸增強(qiáng)、從局部到整體等基本規(guī)律”
四、數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的培養(yǎng)
目前我國學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平普遍較低，如何從學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力已成為數(shù)學(xué)教育需要迫切解決的問題。
(一)自我提示策略
有研究者認(rèn)為，波利亞“怎樣解題表”中蘊(yùn)含大量的元認(rèn)知。譬如，“能聯(lián)想起有關(guān)的定理或公式嗎？還能以不同的方式敘述它嗎？”等等，這些問題不是問別人，而是問自己，稱為“提示語”。教學(xué)中應(yīng)重視運(yùn)用“提示語”來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力。一方面，學(xué)生需要學(xué)習(xí)運(yùn)用波利亞的元認(rèn)知提示語，培養(yǎng)良好的解題元認(rèn)知習(xí)慣；另一方面，學(xué)生還應(yīng)當(dāng)從自己的體驗中提煉和總結(jié)自己在解題監(jiān)控中的經(jīng)驗，形成具有自己風(fēng)格的元認(rèn)知監(jiān)控的“提示語”自我提示策略訓(xùn)練效果得到了干預(yù)性實驗的證實。
有研究者在實驗中要求學(xué)生完成三項工作：①做題前用文字寫出問題“目前要解決的問題是什么？”“為了解決這個問題，應(yīng)采取什么樣的策略？②完整地寫出習(xí)題的解答過程。③用文字寫出“運(yùn)用該策略時需要注意什么？”“該策略能否推廣到其他情境？和“還有沒有更好的策略？”實驗表明：元認(rèn)知技能訓(xùn)練顯著提髙了數(shù)學(xué)學(xué)困生的元認(rèn)知技能。
(二）反思策略
反思在當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)中屬于元認(rèn)知的概念范疇，指學(xué)習(xí)者對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程以及活動過程中涉及的有關(guān)事物（材料、信息、思維結(jié)果等）的學(xué)習(xí)特征的反向思考。[24]其實，反思主要涉及元認(rèn)知的核心內(nèi)容一監(jiān)控，譬如怎樣分析問題，怎樣制定、調(diào)整、執(zhí)行方案，采取了哪些方法與策略，發(fā)現(xiàn)問題后采取了哪些補(bǔ)救措施，等等。有研究者認(rèn)為，反思可以將學(xué)生的注意力集中到問題解決過程的執(zhí)行監(jiān)控上，從而有助于預(yù)測、計劃、執(zhí)行計劃的監(jiān)控和評價能力的提髙。
有實驗發(fā)現(xiàn)，題后反思諸如“你是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問題思路的？你運(yùn)用了哪些基本的數(shù)學(xué)思想方法？解題時你走過哪些彎路？解題時容易犯什么樣的錯誤？從中可以吸取什么樣的教訓(xùn)？”等問題，可以大大提髙學(xué)生，特別是學(xué)困生的元認(rèn)知技能水平。
(三）相互講題策略
有研究者對八名學(xué)困生進(jìn)行了為期三周的相互講題實驗研究：每人發(fā)放一張預(yù)先準(zhǔn)備好的習(xí)題卡片（卡片上有兩道難度相當(dāng)?shù)牧?xí)題），接著在半小時內(nèi)做自己卡片上的那兩道習(xí)題，完成后從中隨機(jī)選出兩人，每人講解其他同學(xué)不會做的習(xí)題，講題人講解時需要說明選擇哪種方法，并講清楚先做什么，后做什么，再做什么，最后還要說出解決這個問題易犯的錯誤和解決這個問題的關(guān)鍵。訓(xùn)練后，學(xué)困生的元認(rèn)知技能有顯著提髙。這與國外的一些研究相似，譬如在解決問題的研究中，有研究者發(fā)現(xiàn)，解題時相互提問最多的學(xué)生解決問題的速度也快，相互問答也能提髙被試的元認(rèn)知能力。
不難發(fā)現(xiàn)，相互講題實際上將學(xué)生的注意力部分指向元認(rèn)知加工，即對解題過程的認(rèn)知。因此，通過該訓(xùn)練可以提髙學(xué)生元認(rèn)知技能水平。
可以看出，提髙數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力策略的相關(guān)研究主要以解題活動為載體，既強(qiáng)調(diào)教師有意識地啟發(fā)與訓(xùn)練，也需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中積極積累元認(rèn)知知識、豐富元認(rèn)知體驗、增強(qiáng)元認(rèn)知監(jiān)控，并提髙到自我水平。
五、數(shù)學(xué)元認(rèn)知的研究展望
數(shù)學(xué)元認(rèn)知的研究成果頗豐，但無論從研究的內(nèi)容取向還是研究的方法取向，都急需數(shù)學(xué)教育研究者深入探討。
就研究內(nèi)容的取向而言，縱向看，盡管研究涉及數(shù)學(xué)元認(rèn)知的概念，數(shù)學(xué)元認(rèn)知對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平，數(shù)學(xué)元認(rèn)知的培養(yǎng)等內(nèi)容，但焦點主要在數(shù)學(xué)元認(rèn)知的概念以及數(shù)學(xué)元認(rèn)知與問題解決的研究上，而對數(shù)學(xué)元認(rèn)知與數(shù)學(xué)思維的相互作用機(jī)制、不同年級學(xué)生在數(shù)學(xué)元認(rèn)知各個成分上的水平與發(fā)展情況以及學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的培養(yǎng)等問題，研究缺乏深入和系統(tǒng)。橫向看，諸如對元認(rèn)知與數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)、元認(rèn)知與數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)關(guān)系的研究很少涉及。數(shù)學(xué)元認(rèn)知內(nèi)容縱向與橫向的深入和系統(tǒng)的研究是必要的，這能充分揭示數(shù)學(xué)元認(rèn)知的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)元認(rèn)知理論系統(tǒng)的完善，為學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力的培養(yǎng)提供理論支撐。這預(yù)示著，今后研究的內(nèi)容取向?qū)⒊尸F(xiàn)多元化，各種理論相互滲透、相互補(bǔ)充，為數(shù)學(xué)元認(rèn)知的深入研究提供廣闊的視角。
就研究方法的取向而言，目前研究方法主要涉及量的研究，缺乏多樣性。當(dāng)前，相關(guān)實證研究主要運(yùn)用量表等靜態(tài)方法研究學(xué)生比較穩(wěn)定的數(shù)學(xué)元認(rèn)知，這是十分有價值的。但是，深入揭示數(shù)學(xué)元認(rèn)知實質(zhì)和規(guī)律，有必要運(yùn)用持續(xù)觀察、深入訪談等動態(tài)方法。除問卷調(diào)查研究及一般的實驗研究外，有學(xué)者認(rèn)為，研究數(shù)學(xué)元認(rèn)知還可考慮運(yùn)用以下方法：口語報告法、評價法、假想情景法、認(rèn)知活動操作法等。只有研究方法的多元化，才能從不同角度深入研究學(xué)生的真實數(shù)學(xué)元認(rèn)知實質(zhì)與水平。
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