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初中數(shù)學(xué)經(jīng)驗歸納價值與應(yīng)用小議的論文
人類智慧攀升和有效的認知活動是經(jīng)驗和理性的螺旋循環(huán)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不例外，然而數(shù)學(xué)教學(xué)活動中經(jīng)驗歸納與理性思維既互相支持又矛盾對立，況且初中學(xué)生正處于經(jīng)驗型思維向邏輯型思維過渡的階段，以致在具體教學(xué)中較難正確把握兩者的權(quán)重量綱，容易產(chǎn)生偏頗做法。因而充分認識經(jīng)驗歸納與理性思維的關(guān)系，是完全必要的。也只有把握了它們之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系，才能避免和糾正片面追求的行為。
一、經(jīng)驗歸納教學(xué)的價值
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對生活實際或動手操作進行有意義有目的的分析、探索，進而提煉數(shù)學(xué)中的一般性規(guī)律，即用經(jīng)驗歸納的方法尋求數(shù)學(xué)的事實性結(jié)論。主要有下述教育意義：
1、學(xué)生體驗了經(jīng)驗世界中數(shù)學(xué)知識的形成過程，根據(jù)建構(gòu)主義的認知觀點，是學(xué)生對知識進行意義建構(gòu)的有效途徑。不過這樣建構(gòu)的知識，僅具實證性，還不深刻，是淺層次的。
2、使學(xué)生得到歸納方法的學(xué)習(xí)。歸納方法被譽為發(fā)現(xiàn)的“邏輯”，廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)研究，科學(xué)史上許多重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明主要依賴于歸納方法。例如，開普勒在研究太陽系行星運動時，對十年觀察和計算的數(shù)據(jù)進行歸納，得到天體運動第三定律。孟德爾歸納八年的實驗數(shù)據(jù)，完成了《植物雜交試驗》的偉大論著，為遺傳學(xué)作了科學(xué)奠基。在數(shù)學(xué)研究中，也常借助歸納作出猜想和判斷，著名的哥德巴赫猜想就是通過歸納得到的，又如對數(shù)由類比歸納得到。學(xué)習(xí)歸納方法也就是學(xué)習(xí)了科學(xué)研究的基本方法，對提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力具有十分積極的意義。
3、通過對數(shù)學(xué)知識形成的“情境”性體驗，使得對抽象的數(shù)學(xué)概念有樸素的理解，為進一步進行數(shù)學(xué)抽象思維提供依托和支持。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問題解決中，經(jīng)常對某問題的具體個別情形進行考察、歸納，尋求解決問題的策略和一般方法。
4、增強數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，由此增進數(shù)學(xué)價值的認識，增進數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和能力，提高用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的能力。
5、經(jīng)驗歸納將數(shù)學(xué)與生活融洽，有利于增進學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。興趣是促進自覺能動的動力，特別是通過歸納得到發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造時，使人的心靈深處倍感快慰，將產(chǎn)生濃厚的興趣，有可能達到雖為其“勞苦”而感到樂的境界——樂此不疲。
正基于上述理由，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中凸顯經(jīng)驗歸納教學(xué)，其意義是不言而喻的。但是，也應(yīng)該清楚地認識到歸納有很大的局限性，不僅數(shù)學(xué)知識不可能全由歸納得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的結(jié)論不一定正確。
二、歸納的正確正確應(yīng)用需要邏輯支持
在數(shù)學(xué)王國里，雖然數(shù)學(xué)的某些結(jié)論可由直覺和歸納得到，但要確定結(jié)論的正確與否，歸納幾乎無用武之地。歸納證明有效的命題極其少量，并且還需要邏輯支持。(可用歸納方法證明的主要是代數(shù)恒等式，但借助了代數(shù)基本定理的邏輯支持。至于用機器證明幾何命題，那是對證代數(shù)恒等式的一種應(yīng)用)。通常把直覺和歸納得到的命題不視為真，原因是直覺和歸納往往會出錯。例如：
1、判斷全體正自然數(shù)的個數(shù)多呢還是全體正偶數(shù)的個數(shù)多?從直觀意義上考慮，把全體正自然數(shù)從小到大依次排列，任意取出相鄰的兩個，自然數(shù)有2個，偶數(shù)只有1個，于是得到正自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)個數(shù)的2倍;從歸納的意義上看，在100以內(nèi)進行考察，自然數(shù)99個，正偶數(shù)49個，個數(shù)的比值：99/49≈2。在1000以內(nèi)考察，兩者個數(shù)的比值：999/499≈2。在10000以內(nèi)，在100000以內(nèi)考察……，可得兩者個數(shù)比值的極限是2,與直觀同樣的結(jié)論。凡涉足過超窮數(shù)理論的人都知道上述結(jié)論是錯誤的。事實上，只要構(gòu)造函數(shù)M=2n,顯然值域與定義域有一一對應(yīng)的關(guān)系，便知歸納所得結(jié)論錯誤。
2、“北師大教材八上1.1《勾股定理》中：根據(jù)下面圖形的各條邊的關(guān)系，請你探索出直角三角形的三邊的關(guān)系，結(jié)果大部分學(xué)生根據(jù)32 =4+5、52 =12+13，繼而得出錯誤的結(jié)論：a2=b+c，即較長直角邊與斜邊的和等于較短直角邊的平方�！盵1]
并且更多的事實猶如觀測水中的一根直棍，獲得的感知是彎曲的一樣。為此，大天文學(xué)家開普勒指出：“當(dāng)知識通過感官被直接提供給心靈時，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的�！� 所以對經(jīng)驗得到的東西總要問個為什么?總要有理性的思考。哲學(xué)家叔本華說：“經(jīng)驗從總體來講，是要從這種形而上學(xué)得到解釋的�！睎|漢哲學(xué)家王充說：“是非者，不徒耳目，必開心意”。確定事物的本質(zhì)不能僅憑感覺，一定要有理性思考。特別地經(jīng)驗得到的數(shù)學(xué)命題必須有理論的證明。
實際上，人類在處理數(shù)學(xué)上理由不充足的結(jié)論時，總是小心謹(jǐn)慎的。像哥德巴赫猜想，盡管千萬次驗證都是正確的，但由于沒有得到理論上的證明，人們還是叫它猜想而不叫定理。有時即使得到事實性的結(jié)論，如果理論有缺陷，也會用懷疑的眼光去看待它。如微積分在創(chuàng)立之初，由于理論不完善，人們紛紛質(zhì)疑無窮小量的處理不合理，就連當(dāng)時思想界的巨頭紅衣主教貝克萊、馬克思主義學(xué)說的創(chuàng)立者之一馬克思都參與質(zhì)疑。(微積分從初創(chuàng)到理論完善經(jīng)歷了一百年)。無數(shù)事例充分地反映了人類對數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性所持態(tài)度是嚴(yán)肅、認真的。
參考文獻：
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