對(duì)數(shù)學(xué)思維與教育的分析的論文
摘要:首先探討了一般意義上的數(shù)學(xué)思維和廣義數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵,將數(shù)學(xué)思維劃分為掌握數(shù)學(xué)體系和運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的方式兩部分,并詳細(xì)分析了兩部分的內(nèi)涵以及教學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題,最后針對(duì)每一部分提出了系統(tǒng)化的合理建議。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu);創(chuàng)造能力;教育
1數(shù)學(xué)思維的組成簡(jiǎn)單介紹
廣義的數(shù)學(xué)思維主應(yīng)該有兩方面組成:
1.1關(guān)于數(shù)學(xué)體系的了解,暨數(shù)學(xué)思維的內(nèi)容
這是關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)容的認(rèn)識(shí),簡(jiǎn)單的說(shuō)就是數(shù)學(xué)“是什么”。對(duì)于數(shù)學(xué)總體結(jié)構(gòu)的理解是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ),也是一切技巧的基礎(chǔ)。這里說(shuō)的不單單是對(duì)數(shù)學(xué)概念和定理的記憶和簡(jiǎn)單運(yùn)用,而是對(duì)數(shù)學(xué)原理的深刻理解。
1.2數(shù)學(xué)思維的方式
數(shù)學(xué)的思維方式,就是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考的習(xí)慣和能力。也就是“怎么做”。解絕問(wèn)題的方式有很多種,最基本的就是運(yùn)用前人總結(jié)出來(lái)的解決問(wèn)題的方式。然而很多時(shí)候,已有的方法是不能完全奏效的。這時(shí)候我們就需要運(yùn)用我們的智慧去分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件,結(jié)論和特點(diǎn)。從而對(duì)題目進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化,最終解決這個(gè)問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的思維技巧和思維習(xí)慣就是數(shù)學(xué)思維方式,這也是我們所說(shuō)的狹義上的“數(shù)學(xué)思維”。
2數(shù)學(xué)體系的內(nèi)涵、問(wèn)題、教學(xué)重點(diǎn)
2.1數(shù)學(xué)體系的內(nèi)涵和特點(diǎn)
(1)了解的必要性。
這里所說(shuō)的“了解數(shù)學(xué)體系”是指對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容的整體把握,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求也是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。
數(shù)學(xué)同所有的科學(xué)一樣,是隨著人類(lèi)的文明的發(fā)展一步步發(fā)展而來(lái)的,本身就有著清晰的發(fā)展脈絡(luò):由簡(jiǎn)單的數(shù)字運(yùn)算發(fā)展到代數(shù)運(yùn)算,由最初的自然數(shù)到復(fù)數(shù),由初等的數(shù)學(xué)方法到分析,數(shù)學(xué)在不斷拓展研究的范圍,豐富研究的手段。這要求我們?cè)趯W(xué)習(xí)和教學(xué)的過(guò)程中不能將數(shù)學(xué)的每一部分分割開(kāi)來(lái),要尊重?cái)?shù)學(xué)的整體性,尊重?cái)?shù)學(xué)本身的傳承關(guān)系。
和其他學(xué)科相比,數(shù)學(xué)更接近純理論性的學(xué)科:數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支往往是從幾個(gè)基本的假設(shè)或者公理出發(fā),通過(guò)歸納、推理、演繹、建立起自身的理論體系。數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科十分強(qiáng)調(diào)邏輯性和嚴(yán)密性,結(jié)構(gòu)十分的清晰嚴(yán)密。要想使這樣的一個(gè)系統(tǒng)稱(chēng)為自己手中有力的武器,必須對(duì)系統(tǒng)本身有整體上的了解。
。2)了解的要求。
如果學(xué)生能夠很好的回答以下四個(gè)問(wèn)題,就可以說(shuō)是達(dá)到了教學(xué)的目標(biāo)。
、侔耸裁矗
學(xué)生必須了解自己所學(xué)數(shù)學(xué)的最大范圍,也就是自己所掌握的所有數(shù)學(xué)工具的范圍。
②每部分的結(jié)構(gòu)是什么?
數(shù)學(xué)由幾個(gè)相對(duì)獨(dú)立的部分組成,每一部分都有自身的特點(diǎn),相對(duì)獨(dú)立而又自成體系。每一個(gè)體系之內(nèi)的知識(shí)是有前后相繼的關(guān)系的,由簡(jiǎn)單到復(fù)雜,由小的方面擴(kuò)展到更大的方面,引入新的方法和思想。學(xué)生應(yīng)該熟練的掌握每一部分知識(shí)的`結(jié)構(gòu)。
、鄹鞑糠种g的關(guān)系是什么?
數(shù)學(xué)的各個(gè)部分自成體系,但又是相互緊密聯(lián)系的。要真正的了解數(shù)學(xué)就要十分重視數(shù)學(xué)各個(gè)分支之間的關(guān)系,不能將數(shù)學(xué)割裂成幾個(gè)孤立的部分
④數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史是什么?
數(shù)學(xué)的歷史是數(shù)學(xué)思想發(fā)展的真實(shí)體現(xiàn),了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史能夠讓學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)。
2.2存在的問(wèn)題
部分學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的了解主要存在以下兩種問(wèn)題:
孤立。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,割裂知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系,忽略知識(shí)點(diǎn)之間的前后發(fā)展繼承的關(guān)系,不注重?cái)?shù)學(xué)各個(gè)分支之間的交叉運(yùn)用,孤立的記憶每個(gè)知識(shí)點(diǎn),對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有總體觀。由此產(chǎn)生的后果:知識(shí)點(diǎn)極容易遺忘,知識(shí)結(jié)構(gòu)混亂。學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)較為困難,方法使用僵化不靈活。
膚淺。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程沒(méi)有深刻的理解,僅僅停留在表面的概括水平上,不能脫離具體表象而形成抽象的概念,自然也無(wú)法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握事物的本質(zhì)。由此而產(chǎn)生的后果:學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),往往只順著事物的發(fā)展過(guò)程去思考問(wèn)題,注重由因到果的思維習(xí)慣,不注重變換思維的方式,缺乏多方面解決問(wèn)題的能力。
2.3數(shù)學(xué)體系教學(xué)重點(diǎn)
。1)教學(xué)過(guò)程要認(rèn)真“描點(diǎn)”,作好“連線”的準(zhǔn)備。描點(diǎn),即強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn),具體到每課時(shí)、每章節(jié)、每單元。在強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)的同時(shí),要有意識(shí)地把該內(nèi)容向前后延伸,強(qiáng)調(diào)該內(nèi)容是哪些知識(shí)的延續(xù)和,同時(shí)又是以后的哪些知識(shí)的準(zhǔn)備和基礎(chǔ)。
。2)在知識(shí)的復(fù)習(xí)和應(yīng)用時(shí)要盡力“連線”,使“點(diǎn)”成為“線”的元素。在最初的教學(xué)中,學(xué)生學(xué)習(xí)到的知識(shí)點(diǎn)是零散的、不連慣的。為了減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān),教學(xué)時(shí)要力求把知識(shí)歸類(lèi)、連線,使知識(shí)類(lèi)別化、系統(tǒng)化,讓學(xué)生了解一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就可以掌握與之相關(guān)的內(nèi)容。
。3)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生把“線”結(jié)成“網(wǎng)”,以達(dá)到“以點(diǎn)帶面”的記憶效果。數(shù)學(xué)知識(shí)的主線有若干條,副線也有若干條,所有的線橫縱交錯(cuò)。每個(gè)知識(shí)點(diǎn)在前后向同類(lèi)主線無(wú)限延伸的同時(shí),也在向副線延伸或輻射,甚至在向其他科目、其他領(lǐng)域延伸,使眾多的知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)線,密密麻麻地形成一張無(wú)邊無(wú)際的大網(wǎng)。
3數(shù)學(xué)思維方式的內(nèi)涵、問(wèn)題、教學(xué)重點(diǎn)
3.1數(shù)學(xué)思維方式的意義和內(nèi)涵
思維訓(xùn)練是教學(xué)思維論在教學(xué)實(shí)踐中的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思維論是思維科學(xué)的一個(gè)重要分支,它是構(gòu)成數(shù)學(xué)課程論、學(xué)習(xí)論的靈魂。數(shù)學(xué)教材是以邏輯思維為主線,貫穿各個(gè)知識(shí)點(diǎn)。教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生能力的基礎(chǔ)是發(fā)展學(xué)生思維,發(fā)展思維不可能脫離教學(xué)內(nèi)容獨(dú)立進(jìn)行。因此,我們可以有理由認(rèn)為,在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施思維訓(xùn)練是教學(xué)思維論在教學(xué)實(shí)踐中的體現(xiàn)。
數(shù)學(xué)思維方式包含兩個(gè)方面:
。1)對(duì)于數(shù)學(xué)基本技巧的掌握比如換元,數(shù)形結(jié)合,極限法,拆分結(jié)合等等。很多新問(wèn)題可以通過(guò)基本技巧的轉(zhuǎn)化或者組合來(lái)解答。這些基本的技巧是前人在長(zhǎng)期實(shí)踐中對(duì)數(shù)學(xué)思維方式的經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和歸納,他們不但是解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具,同時(shí)也很好的反應(yīng)了數(shù)學(xué)的基本思維原理。
。2)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。在生活中每當(dāng)我們遇到新的問(wèn)題,我們都需要運(yùn)用我們的智慧去分析問(wèn)題,然后去選擇一個(gè)最好的方法解決問(wèn)題。這就是在運(yùn)用我們的思維能力。良好的思維習(xí)慣能夠幫助我們更快更好的解決問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題也不例外。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)我們需要養(yǎng)成分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題、將未知轉(zhuǎn)化為已知等良好數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。同時(shí)能夠熟練運(yùn)用方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等思想解決問(wèn)題。這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)于思維的鍛煉。關(guān)于數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,G?波利亞在他的經(jīng)典作品《怎樣解題》中有很好的闡釋。
3.2存在的問(wèn)題
分析中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),部分學(xué)生存在著一些明顯的缺陷,具體表現(xiàn)為以下幾點(diǎn)。
僵化。指學(xué)生思維不夠靈活,缺乏聯(lián)想,只停留在課上的內(nèi)容和解題思路,只會(huì)模仿、套用模式解題,一旦題型有變化,就無(wú)從下手,不能做到“舉一反三”。
遲鈍。指學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),一方面不大注意挖掘所研究問(wèn)題中的隱含條件,抓不住問(wèn)題中的確定條件,影響問(wèn)題的解決。
消極。指學(xué)生習(xí)慣于依賴(lài)教師的思路,往往在已做過(guò)的題型中找思路,并且很難放棄一些陳舊的解題經(jīng)驗(yàn),思維僵化,不能根據(jù)新問(wèn)題的特點(diǎn)作出靈活的反應(yīng)。
造成這樣的思維特點(diǎn)與學(xué)生過(guò)去所受的思維訓(xùn)練有很大關(guān)系:有些教師在教學(xué)過(guò)程中過(guò)分強(qiáng)調(diào)程式化和模式化,教學(xué)中給學(xué)生歸納了各種類(lèi)型,并要求學(xué)生按部就班地解題,不許越雷池一步,或要求學(xué)生解答大量重復(fù)性練習(xí)題,減少了學(xué)生自己思考和探索的機(jī)會(huì),導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)模仿、套用模式解題。灌輸式的教學(xué)使學(xué)生的思維缺乏應(yīng)變能力。心理學(xué)家認(rèn)為,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口。思維品質(zhì)包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性,它們反映了思維不同方面的特征,在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該有不同的培養(yǎng)手段。
3.3數(shù)學(xué)思維方式教學(xué)重點(diǎn)
培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式的重點(diǎn)是養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。我們可將數(shù)學(xué)思維方式訓(xùn)練的課堂教學(xué)基本模式概括為:提出問(wèn)題——展示新課——思維擴(kuò)展——思維訓(xùn)練——思維測(cè)評(píng)。在這一模式中,教師是問(wèn)題暴露、思維點(diǎn)撥、啟迪和誘導(dǎo)者,學(xué)生是思維的主體,是知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)和獲取者。
。1)提出問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題“是數(shù)學(xué)的心臟”,是思維的起點(diǎn)。有問(wèn)題才會(huì)有思考,思維是從問(wèn)題開(kāi)始的。巧妙恰當(dāng)?shù)靥岢鰡?wèn)題,創(chuàng)設(shè)良好的思維情境,能夠迅速集中學(xué)生注意力,激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。這是上好數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練課的首要環(huán)節(jié)。
。2)研究問(wèn)題,展示新課的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程是由表象的具體到思維的抽象,再由思維的抽象上升到思維的具體的過(guò)程。研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程首先是由具體到抽象的過(guò)程,在此環(huán)節(jié)中,將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化加工為例題形式,使被抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題再回到實(shí)踐中去驗(yàn)證,這一階段是學(xué)生的思維定向階段,是運(yùn)用思維探索規(guī)律學(xué)會(huì)抽象的過(guò)程。
。3)解決問(wèn)題,思維擴(kuò)展這一環(huán)節(jié)是知識(shí)的形成階段,屬抽象思維的高級(jí)階段。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是由一連串的轉(zhuǎn)化過(guò)程所構(gòu)成的。學(xué)生接受新知識(shí)要借助于舊知識(shí),而舊知識(shí)的思維形式往往會(huì)成為新知識(shí)思維形式的障礙(如思維定勢(shì)),因此,教師首先要抓好教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)思想方法的滲透,在數(shù)學(xué)知識(shí)的質(zhì)變(往往是重點(diǎn))過(guò)程中,幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維活動(dòng)的轉(zhuǎn)折,排除思維活動(dòng)的障礙(往往是難點(diǎn)),渡過(guò)思維操作的“關(guān)卡”,以實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展。
。4)發(fā)展問(wèn)題,思維訓(xùn)練教學(xué)中,注意結(jié)合學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)識(shí)水平從不同角度、不同層次、不同側(cè)面有目的、有針對(duì)性地不斷設(shè)計(jì)組編一些探索型、開(kāi)放型、判斷改錯(cuò)型、歸納與綜合型等題目,為學(xué)生提供多種類(lèi)型的思維訓(xùn)練素材,這是發(fā)展學(xué)生的思維能力所不可缺少的。這要求教師注重挖掘課本典型題例的潛在功能,充分發(fā)揮它的導(dǎo)向、典型、發(fā)展和教育作用,反復(fù)滲透與運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法,把數(shù)學(xué)知識(shí)溶入活的思維訓(xùn)練中去,并在不斷的“問(wèn)題獲解”過(guò)程中深化、發(fā)展學(xué)生的思維。
。5)總結(jié)問(wèn)題,思維測(cè)評(píng)是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的檢測(cè)與評(píng)定形式。測(cè)評(píng)方法可小型多樣,因課堂內(nèi)容及學(xué)生實(shí)際情況而定,如選編一些口答、搶答、限定時(shí)間解答等題型對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)單項(xiàng)測(cè)評(píng)或多項(xiàng)綜合測(cè)評(píng)。學(xué)生可先自我評(píng)價(jià),體驗(yàn)成功的樂(lè)趣。
4結(jié)語(yǔ)
現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為,數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。思維活動(dòng)的強(qiáng)弱,決定一個(gè)人的思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,探求問(wèn)題的思考、推理論證的過(guò)程等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)都以邏輯思維為主線。這是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施思維訓(xùn)練的理論依據(jù)之一。
數(shù)學(xué)教學(xué)的核心就是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。教學(xué)中,教師要千方百計(jì)地通過(guò)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí),全面揭示數(shù)學(xué)思維過(guò)程,啟迪和發(fā)展學(xué)生思維,將知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程與學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的心理活動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)。課堂教學(xué)中充分有效地進(jìn)行思維訓(xùn)練,是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心,它不僅符合素質(zhì)教育的要求,也符合知識(shí)的形成與發(fā)展以及人的認(rèn)知過(guò)程,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的實(shí)質(zhì)性?xún)r(jià)值。
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