論文分析：數(shù)學(xué)抽象與概括方法
所謂抽象，是指從復(fù)雜的事物中，排除非本質(zhì)屬性，透過(guò)現(xiàn)象抽出其本質(zhì)特征的思維過(guò)程，通過(guò)科學(xué)的抽象，人們就能更深刻、更正確、更完全地把握事物的內(nèi)部聯(lián)系和本質(zhì)特性。抽象是數(shù)學(xué)中常用且不可少的思維方法。
所謂概括，就是將個(gè)別事物的本質(zhì)特征綜合起來(lái)推廣到同類(lèi)事物的思維過(guò)程。在數(shù)學(xué)中概括是構(gòu)成概念的一種重要方法，它和抽象相互聯(lián)系，密不可分。
事實(shí)上，數(shù)學(xué)中的任何一個(gè)數(shù)、一個(gè)算式、一種運(yùn)算、每個(gè)概念、公理、定理、法則和有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，無(wú)一不是抽象、概括的結(jié)果。其中，大多數(shù)概念是從直接觀察事物的現(xiàn)象中抽象出來(lái)的。它是對(duì)事物所表現(xiàn)出來(lái)的特征的抽象，故稱(chēng)之為“表征性抽象”。如點(diǎn)、線、面、體、正方形、立方體、回轉(zhuǎn)體等均屬此類(lèi)。而數(shù)學(xué)公理、原理、公式等，乃是在表征性抽象的基礎(chǔ)上形成的一種深一層的抽象，它揭示了事物的因果性和規(guī)律性聯(lián)系，故稱(chēng)之為“原理性抽象”。
至于與抽象相聯(lián)系的概括，在數(shù)學(xué)中常常用于把某類(lèi)事物的部分個(gè)體所具有的特性推廣到該事物的全體上去，或是把某個(gè)特定領(lǐng)域的規(guī)律推廣到其它領(lǐng)域中去。這種概括稱(chēng)之為“外推性概括”，對(duì)于數(shù)學(xué)概念，則常常是采取由對(duì)單一的某個(gè)事物的認(rèn)識(shí)，直接上升概括為一種具有普遍性規(guī)律的認(rèn)識(shí)，這種概括稱(chēng)之為“上升性概括”。由于我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所認(rèn)識(shí)的對(duì)象，主要是已經(jīng)被前人抽象、概括了的間接知識(shí)，盡管它們無(wú)需我們?cè)偃コ橄�、概括，但是我們必須要在�?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，去分析、研究，弄清它們是如何抽象、概括出來(lái)的，不僅僅限于去學(xué)習(xí)這些知識(shí)，重要的是要去學(xué)習(xí)這種抽象概括的思想方法，必須學(xué)會(huì)擺脫具體內(nèi)容，從各種概念、關(guān)系運(yùn)算、定理的結(jié)構(gòu)中去分析，被揚(yáng)棄的非本質(zhì)屬性是哪些？抽出的本質(zhì)特征又是什么？又是怎樣去概括這些本質(zhì)特征的？自己也可以選擇一些適當(dāng)?shù)氖挛镒鲞@種抽象、概括方法的訓(xùn)練，通過(guò)這樣的深究分析，便可在學(xué)習(xí)活動(dòng)中逐步培養(yǎng)抽象、概括的能力。
下面，我們看一個(gè)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的具體問(wèn)題，通過(guò)抽象、概括歸結(jié)出一個(gè)相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模型”的生動(dòng)、有趣的典型例子。
哥尼斯堡七橋問(wèn)題
18 世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡有條普萊格爾河橫貫城區(qū)。這條河流有兩條支流，在城中心匯成大河，中間是島區(qū)。兩個(gè)島與河兩岸建有七座橋把它們聯(lián)系起來(lái)。
哥尼斯堡的大學(xué)生們提出這樣的問(wèn)題：一個(gè)人能否從任何一處為出發(fā)點(diǎn)，一次相繼走遍這七座橋，且每橋只能走一次，然后重返到起點(diǎn)。即所謂七橋問(wèn)題。
大學(xué)生們現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行了多次步行嘗試，終無(wú)一人取得成功。于是他們就寫(xiě)信給當(dāng)時(shí)著名的大數(shù)學(xué)家歐拉，請(qǐng)他幫助解決這個(gè)問(wèn)題。
1736 年歐拉研究了這一問(wèn)題。他把人們步行過(guò)橋的問(wèn)題，抽象成為一個(gè)“一筆畫(huà)”問(wèn)題。他是這樣想的：島B 與半島D 無(wú)非是橋梁的連接地點(diǎn)，兩岸陸地 A 與 C 也是橋梁通往的地點(diǎn)，這就不妨把這四處地點(diǎn)縮小，抽象為四個(gè)點(diǎn) A、B、C、D，而把七座橋抽象成七條線段，顯然未改變問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。這樣，原來(lái)的七橋問(wèn)題，就抽象、概括成：能否一筆且無(wú)重復(fù)地畫(huà)出圖中右邊圖形的問(wèn)題。這個(gè)一筆畫(huà)的幾何圖形，就是“七橋問(wèn)題”的數(shù)學(xué)模型。這個(gè)問(wèn)題在拓?fù)鋵W(xué)的歷史發(fā)展中占有重要的地位。
接著，歐拉考慮了“一筆畫(huà)”的結(jié)構(gòu)特征。按照“一筆畫(huà)”中每一點(diǎn)交會(huì)的曲線段數(shù)的奇、偶數(shù)來(lái)分，有：
�、僦炼嘤袃蓚�(gè)點(diǎn)（即起點(diǎn)和終點(diǎn)）有可能通過(guò)奇數(shù)條曲線段；
�、谄渌娜魏我粋�(gè)中間點(diǎn)（交點(diǎn)），每次總是沿著一條曲線段到達(dá)這點(diǎn)，緊接著又必須沿另一條曲線段離開(kāi)這點(diǎn)（用以滿(mǎn)足“無(wú)重復(fù)”的要求）。因此，在這些中間點(diǎn)交會(huì)的曲線段必為偶數(shù)條；
③由于現(xiàn)在所要做的是封閉圖形（即終點(diǎn)與起點(diǎn)必須重合），因此，可以一筆且無(wú)重復(fù)地畫(huà)出某一圖形的條件（充要條件）是：圖中各中間點(diǎn)的曲線段總是偶數(shù)條。
然而，現(xiàn)在得出的圖形中的四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D 處所通過(guò)的曲線段都是奇數(shù)條，這就不符合“一筆畫(huà)”所具有的特征。因此，可以斷言這一圖形是不可能一筆且無(wú)重復(fù)地畫(huà)出。也就是說(shuō)，所提的“七橋問(wèn)題”不可能實(shí)現(xiàn)。
可以看出，歐拉正是運(yùn)用了數(shù)學(xué)抽象的方法，把具體的“七橋問(wèn)題”概括為一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)系，即相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（或數(shù)學(xué)模型），已經(jīng)揚(yáng)棄了具體事物中的非木質(zhì)屬性（如島、河岸、橋等等），僅保留了對(duì)象的'量的特征。這種通過(guò)抽象、概括以建立客觀事物的數(shù)學(xué)模型（即數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)）來(lái)揭示事物的本質(zhì)特征及規(guī)律的方法，叫“數(shù)學(xué)模型方法”。
“七橋問(wèn)題”的模型化方法的思路
分析與綜合是抽象思維的基本方法，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本的方法。它們同對(duì)比、分類(lèi)、類(lèi)比、歸納和演繹等方法并不是相互平行、完全獨(dú)立的，而是彼此聯(lián)系、相互滲透的，在類(lèi)比和歸納中要運(yùn)用分析，在比較分類(lèi)中就有綜合；而分析綜合中又離不開(kāi)比較、歸納和演繹等。
所謂分析，是將被研究對(duì)象的整體分為各個(gè)部分、方面、因素和層次，并分別加以考察認(rèn)識(shí)的一種思維方法，即由整體分解為部分的一種思維方法，從心理學(xué)的角度看，分析過(guò)程是當(dāng)劃分的對(duì)象刺激大腦皮層時(shí)，引起大腦皮層的興奮和抑制，大腦皮層的興奮和抑制就是分析的心理過(guò)程的生理基礎(chǔ)，從而把被認(rèn)識(shí)的對(duì)象劃分出不同的個(gè)體形式。
所謂綜合，是將已有的關(guān)于研究對(duì)象的各個(gè)部分、方面、因素和層次的認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，形成一個(gè)整體認(rèn)識(shí)的一種思維方法，即由部分聯(lián)合為整體的一種思維方法。從心理學(xué)的角度看，綜合過(guò)程是把分析過(guò)程大腦皮層的興奮和抑制的暫時(shí)神經(jīng)聯(lián)系接通，這兩種神經(jīng)聯(lián)系的接通就是綜合的心理過(guò)程的生理基礎(chǔ)，它把分析出來(lái)的不同的個(gè)體形式聯(lián)合起來(lái)。
分析與綜合是對(duì)立的統(tǒng)一，它們互相依存、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化。思維既把相互聯(lián)系的要素聯(lián)合為一個(gè)統(tǒng)一體。同樣也把意識(shí)的對(duì)象分解為它的要素。沒(méi)有分析就沒(méi)有綜合。分析的結(jié)果，也就是綜合的出發(fā)點(diǎn)�？茖W(xué)認(rèn)識(shí)的發(fā)展總是沿著分析——綜合——新的分析——新的綜合的軌道不斷前進(jìn)的。
在邏輯學(xué)中，分析與綜合都是思維的方法、發(fā)現(xiàn)的方法，是創(chuàng)造性思維形式的要素，而不是證明的方法，應(yīng)和數(shù)學(xué)中講的兩種推理和證明的方法：
“分析法”和“綜合法”有所區(qū)別。分析與綜合雖然不是完全獨(dú)立的思維方法，但鑒于它們不僅是科學(xué)研究的方法，而且也是一種學(xué)習(xí)方法，并具有其心理特征。為了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更好地理解和運(yùn)用分析與綜合的抽象思維方法，特對(duì)它們作些必要的單獨(dú)討論。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，把分析與綜合的思維方法運(yùn)用到邏輯證明上，就形成了數(shù)學(xué)證明中的分析證法與綜合證法。
1.分析證法
所謂分析證法（簡(jiǎn)稱(chēng)分析法），是從未知到已知的證明方法，其證明過(guò)程是由“題斷”出發(fā)，逐步逆追這個(gè)結(jié)論成立的條件，直到最后找到已知的“題設(shè)”。由于它是從結(jié)果逆追到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的一種思維方法，故也可稱(chēng)為“執(zhí)果索因法”。由于它的思考順序是執(zhí)果索國(guó)，因而它是從結(jié)論出發(fā)去步步尋找結(jié)論成立的充分條件。其證明模式為“要證，只須證”，人們常用分析法來(lái)尋找解題思路，特別是在解應(yīng)用題、證明幾何題和證明三角函數(shù)恒等式時(shí)用得較多。
若在推理過(guò)程中步步可逆時(shí)，即任何兩個(gè)相鄰的論斷都互為充要條件（它們互為等價(jià)命題）時(shí)，把這種特殊情況下的分析法稱(chēng)為“逆證法”。它在代數(shù)恒等式及不等式的證明中常常用到。但由于不能由④推出⑤，即④僅是⑤成立的必要條件，而不充分，即①與⑤不是互為充要條件，它們不可逆，故不能用逆證法。由此可見(jiàn)，逆證法僅是分析法的一種特例，而分析法并不是逆證法。
2.綜合證法
所謂綜合證法（簡(jiǎn)稱(chēng)“綜合法”），是從已知到未知的證明方法，其證明過(guò)程是由“題設(shè)”出發(fā)，逐步推導(dǎo)到這個(gè)題設(shè)可能得出的結(jié)論，直到最后推出未知“題斷”為止。由于它是從原因推導(dǎo)到由原因產(chǎn)生的結(jié)果的一種思維方法，故也可稱(chēng)為“由因?qū)Чā薄Ｓ捎谒乃伎柬樞蚴恰坝梢驅(qū)Ч�，因而它是從題設(shè)和已知的正確命題出發(fā)，步步尋找其必要條件，直至得到探求的正確結(jié)論。其證明模式為：“因?yàn)�，所以”。鑒于從平幾學(xué)習(xí)開(kāi)始，這種綜合法我們已做過(guò)許多次的訓(xùn)練，較為熟悉，就不再贅述。
相對(duì)比較這兩種方法的應(yīng)用，分析法的優(yōu)點(diǎn)是推理方向明確，充分條件易于尋找，但因是逆向思維，故容易敘述不清，且書(shū)寫(xiě)格式較繁；綜合法的優(yōu)點(diǎn)是順向思維，書(shū)寫(xiě)證明簡(jiǎn)潔清晰，但正確推理思路不易尋找，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤思路，因此，學(xué)習(xí)時(shí)我們最好兼取二者之長(zhǎng)：用分析法來(lái)幫助尋找正確的解題思路，而用綜合法來(lái)書(shū)寫(xiě)其證明過(guò)程。
3.分析——綜合證法
分析法和綜合法，可以概括為“執(zhí)果索因”和“由因?qū)Ч�，難度較大的題目單一地使用分析法或綜合法去尋求解題思路難以奏效，而將兩者結(jié)合起來(lái)，交替使用，時(shí)而“由因?qū)Ч�，由已知看可知，再推可知，；時(shí)而“執(zhí)果索出”，由未知尋需知，再找需知，。直至最后溝通可知與需 知的渠道，解題途徑也就找到了。
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