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數(shù)學(xué)問題解決的思維過程論文
摘要:數(shù)學(xué)問題是指不能用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和方法解決的一種情景狀態(tài)。這里所指的“問題”不是指那些與課本例題同類型的常規(guī)習(xí)題,而是指那些非常規(guī)性的或者條件不充分、結(jié)論不確定的開放性、探究性問題。這些問題不能直接套用現(xiàn)成公式獲得解決,而要調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)系統(tǒng),運(yùn)用一定的思維策略,通過一定的思維過程逐步指向問題目標(biāo),使問題在探究中獲解。
關(guān)鍵詞:縷析問題;求解方案;問題解答;解題過程
數(shù)學(xué)問題的解決是一個(gè)復(fù)雜而連續(xù)的心理活動(dòng)過程,其一般思維過程是:縷析問題信息→確定求解方案→實(shí)施問題解答→反思解題過程,下面以實(shí)例加以分析。
一、縷析問題信息
1.理清數(shù)學(xué)問題信息。數(shù)學(xué)問題作為一種有待加工的信息系統(tǒng),它主要由條件信息、目標(biāo)信息和運(yùn)算信息三部分構(gòu)成。理解和感知數(shù)學(xué)問題中的信息元素是解決問題的第一步。這一步主要是要求實(shí)施者明確問題所提供的條件信息和目標(biāo)信息。
對(duì)數(shù)學(xué)問題基本信息的感知要做到全面而完整,特別是對(duì)那些綜合性強(qiáng)、關(guān)系復(fù)雜的問題,要注意發(fā)現(xiàn)問題中的隱性信息,充分挖掘有用的信息,這對(duì)問題解決的順利實(shí)施具有重要的意義。例如,在問題“大數(shù)和小數(shù)的差是80.1,小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移一位,剛好與大數(shù)相等。大數(shù)和小數(shù)各是多少”中,大數(shù)和小數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系這一重要條件信息沒給出,而隱藏在“小數(shù)點(diǎn)向右移”一句話中,需要學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。
二、確定求解方案
在第一步理解分析條件信息、目標(biāo)信息的前提下,在頭腦中已初步形成了數(shù)學(xué)問題的初始狀態(tài),及要解決的問題的目標(biāo)狀態(tài)。這時(shí),解決者的思維就要進(jìn)一步深入,提煉數(shù)學(xué)問題中存在的顯性的或隱性的有用信息,鏈接各信息間的運(yùn)算信息,選擇解題方法,制定合理的求解計(jì)劃,這是實(shí)現(xiàn)問題解決的最關(guān)鍵一步。這一過程由一組復(fù)雜的心理活動(dòng)組成,一般要連續(xù)完成以下幾方面的任務(wù)。
1.類化問題信息。一切數(shù)學(xué)問題的解決過程總是將未知的新問題不斷地轉(zhuǎn)化成已知的問題的過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的基本策略。在這一環(huán)節(jié)就是把數(shù)學(xué)問題中呈現(xiàn)的主要信息同解決者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識(shí)和方法連接起來,并以這些已認(rèn)知的知識(shí)和方法作為解決新問題的依據(jù)和基礎(chǔ),重新組合演化成解決新問題所需的新策略。
2.尋找解題起點(diǎn)。解決問題的切入點(diǎn)往往有所不同,具有因人而異的相對(duì)靈活性。如在解決例1時(shí),學(xué)生一般都會(huì)想到從求科技書入手,求出前后科技書本數(shù)之差即可;另外,學(xué)生想到問題中隱含著文藝書的本數(shù)是一個(gè)穩(wěn)定的不變量,只要抓住文藝書這一拐棍,求出前后總本數(shù)的差,此問題就能順利獲解。這一思路的解題起點(diǎn)就要從求出原來文藝書有多少本開始。如果學(xué)生只能順著已知信息的思路,順向思維來解決問題,這時(shí)學(xué)生的思維起點(diǎn)就會(huì)想到設(shè)出未知數(shù),用方程解。具體從什么地方入手去解決問題,要根據(jù)不同數(shù)學(xué)問題的性狀和學(xué)生擅長的思維習(xí)慣及個(gè)體思維能力而定,不能定式地一概而論。
3.確定解題步驟。確定解題步驟是指學(xué)生在頭腦里整理出解決問題的詳細(xì)操作程序,即確定先求什么,再求什么,最后求什么,這里只要求學(xué)生能在頭腦中初擬即可,無需寫出書面的解題計(jì)劃。這一環(huán)節(jié),放在整個(gè)解決問題的思維過程中來審視,主要是完成如何確定解題思維發(fā)展脈絡(luò)的問題,在前面已確定的解題起點(diǎn)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步理清完善整個(gè)解題思維沿著什么方向進(jìn)展下去,以保證解題時(shí)思維能朝著數(shù)學(xué)問題目標(biāo)信息的方向順利進(jìn)行,而不至于偏離思維的主航道,影響目標(biāo)信息的最后獲解。
三、實(shí)施問題解答
實(shí)施問題解答就是將前面制定的解題計(jì)劃付諸實(shí)施,使問題達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。這里提倡學(xué)生能用不同的方法來解決問題,數(shù)學(xué)新課標(biāo)中提及:“學(xué)生要能探索出解決問題的有效辦法,并試圖尋找其他方法。”所以,這一環(huán)節(jié)學(xué)生承接第二步驟的思考,運(yùn)用已類化的策略,從某一思維起點(diǎn)出發(fā),按照既定的解題思路,對(duì)數(shù)學(xué)問題實(shí)施有序地推導(dǎo)、運(yùn)算,直到得出正確的問題目標(biāo)結(jié)果為止。
這一步既是一個(gè)執(zhí)行解題計(jì)劃的過程,同時(shí)也是一個(gè)檢驗(yàn)和修正解題計(jì)劃的過程。解題時(shí)若發(fā)現(xiàn)前面制定的求解方案和解題思路不當(dāng)或不簡便,在實(shí)施解答的過程中要及時(shí)加以修正,盡量靠近合理的路子,以減少解題過程的失誤,使問題能較順利地達(dá)成目標(biāo)狀態(tài)。
四、反思解題過程
數(shù)學(xué)問題獲得求解,并不代表整個(gè)解題過程的終結(jié),還需對(duì)上述整個(gè)解決問題的過程作明晰的反思,看解題過程是否合理、簡便,結(jié)果是否正確。更要從解決問題的策略方面來整理思路、提升認(rèn)識(shí),讓合理、有效的解題策略豐富自身解決問題的策略庫。這一環(huán)節(jié),可做好下面兩方面內(nèi)容。
1.檢驗(yàn)求解結(jié)果。將數(shù)學(xué)問題的求解結(jié)果返回到實(shí)際問題中去進(jìn)行檢驗(yàn),看它是否與實(shí)際問題情形相吻合,從而更加確定求解結(jié)果的準(zhǔn)確性。
2.評(píng)價(jià)解題策略。《數(shù)學(xué)新課標(biāo)》提出:“學(xué)生要具有回顧與分析解決問題過程的意識(shí)。”所以在問題解決以后,還要主動(dòng)對(duì)求解過程進(jìn)行反思,特別是對(duì)問題解決過程中的思維策略進(jìn)行評(píng)價(jià),分析甑別多種策略中較為合理的方法,提煉解決同類問題常用的一般策略。如果解決過的問題是一個(gè)具體問題(如例1),就可引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、類比和演化,得到普遍的思維方式,形成解決問題的新策略,以期成為解決其它數(shù)學(xué)問題的又一源動(dòng)力。
解決問題的過程,是從條件信息應(yīng)用一定的運(yùn)算信息尋求目標(biāo)信息的過程,由于問題解決中的問題是學(xué)習(xí)者從未遇到過的新問題,在學(xué)生看來,數(shù)學(xué)信息間的內(nèi)在聯(lián)系是錯(cuò)綜復(fù)雜的,所以必須依據(jù)一定的思維路徑,有序地探尋新的問題解決的方法與途徑,至少要對(duì)已知的解題方法、途徑重新組合,即要尋求合適的新策略。問題一旦得到解決,學(xué)生又可以通過問題解決的過程學(xué)到新的解決問題的策略,這些新的策略又成為解決其它新問題的已知策略,在這一解決問題的過程中,學(xué)生的潛能無形中得到了充分發(fā)揮。
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