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數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)的論文
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗(yàn)修訂本)將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一"邏輯思維能力"改為"思維能力",雖然只是去掉兩個(gè)字,概念的內(nèi)涵卻更加豐富,人們?cè)诮逃膶?shí)踐中實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變。在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時(shí),還應(yīng)該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺思維能力的培養(yǎng)由于長(zhǎng)期得不到重視,學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)容易造成誤解,認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的;同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也缺乏取得成功的必要的信心,從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng),不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要,是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求。
一、數(shù)學(xué)直覺概念的界定
簡(jiǎn)單的說,數(shù)學(xué)直覺是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。
對(duì)于直覺作以下說明:
(1)直覺與直觀、直感的區(qū)別
直觀與直感都是以真實(shí)的事物為對(duì)象,通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個(gè)底角相等,兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒有一個(gè)嚴(yán)格的證明,只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對(duì)象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說:"直覺不必建立在感覺明白之上.感覺不久便會(huì)變的無能為力。例如,我們?nèi)詿o法想象千角形,但我們能夠通過直覺一般地思考多角形,多角形把千角形作為一個(gè)特例包括進(jìn)來。"由此可見直覺是一種深層次的心理活動(dòng),沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說:"這些富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同的地方,在于他們對(duì)研究的對(duì)象有一個(gè)活全生的構(gòu)想和深刻的了解,這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來,就是所謂#39;直覺#39;……,因?yàn)樗m用的對(duì)象,一般說來,在我們的感官世界中是看不見的。"
(2)直覺與邏輯的關(guān)系
從思維方式上來看,思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長(zhǎng)期以來人們刻意的把兩者分離開來,其實(shí)這是一種誤解,邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為邏輯重于演繹,而直觀重于分析,從側(cè)重角度來看,此話不無道理,但側(cè)重并不等于完全,數(shù)學(xué)邏輯中是否會(huì)有直覺成分?數(shù)學(xué)直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西,人們對(duì)各種事件作出判斷與猜想離不開直覺,甚至可以說直覺無時(shí)無刻不在起作用。數(shù)學(xué)也是對(duì)客觀世界的反映,它是人們對(duì)生活現(xiàn)象與世界運(yùn)行的秩序直覺的體現(xiàn),再以數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺,數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的,問題解決也離不開直覺,下面我們就以數(shù)學(xué)問題的證明為例,來考察直覺在證明過程中所起的作用。
一個(gè)數(shù)學(xué)證明可以分解為許多基本運(yùn)算或許多"演繹推理元素",一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明是這些基本運(yùn)算或"演繹推理元素"的一個(gè)成功的組合,仿佛是一條從出發(fā)點(diǎn)到目的地的通道,一個(gè)個(gè)基本運(yùn)算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個(gè)個(gè)路段,當(dāng)一個(gè)成功的證明擺在我們面前開始,邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達(dá)目的地,但是邏輯卻不能告訴我們,為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實(shí)上,出發(fā)不久就會(huì)遇上叉路口,也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問題。龐加萊認(rèn)為,即使能復(fù)寫出一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明,但不知道是什么東西造成了證明的一致性,……,這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認(rèn)為在數(shù)學(xué)推理中的每一步,直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時(shí)打籃球,要靠球感一樣,在快速運(yùn)動(dòng)中來不及去作邏輯判斷,動(dòng)作只是下意識(shí)的,而下意識(shí)的動(dòng)作正是在平時(shí)訓(xùn)練產(chǎn)生的一種直覺。
在教育過程中,老師由于把證明過程過分的嚴(yán)格化、程序化。學(xué)生只是見到一具僵硬的邏輯外殼,直覺的光環(huán)被掩蓋住了,而把成功往往歸功于邏輯的功勞,對(duì)自己的直覺反而不覺得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來,學(xué)習(xí)的興趣沒有被調(diào)動(dòng)起來,得不到思維的真正樂趣!吨袊(guó)青年報(bào)》曾報(bào)道,"約30%的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后,喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣",這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。
二、直覺思維的主要特點(diǎn)
直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點(diǎn),從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看,筆者以為直覺思維有以下三個(gè)主要特點(diǎn):
(1)簡(jiǎn)約性
直覺思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察,調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn),通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè),猜想或判斷,它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié),而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花,是長(zhǎng)期積累上的一種升華,是思維者的靈感和頓悟,是思維過程的高度簡(jiǎn)化,但是它卻清晰的觸及到事物的"本質(zhì)"。
(2)創(chuàng)造性
現(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才,我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn),過多的注重培養(yǎng)邏輯思維,培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī),缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對(duì)象整體上的把握,不專意于細(xì)節(jié)的推敲,是思維的大手筆。正是由于思維的無意識(shí)性,它的想象才是豐富的,發(fā)散的,使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無限擴(kuò)展,因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。
伊恩.斯圖加特說:"直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西",許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺,從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈;哈密頓在散步的路上進(jìn)發(fā)了構(gòu)造四元素的火花;阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法;凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分了環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺思維的成功典范。
(3)自信力
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種,一種是教師的人格魅力,其二是來自數(shù)學(xué)本身的魅力。不可否認(rèn)情感的重要作用,但筆者的觀點(diǎn)是,興趣更多來自數(shù)學(xué)本身。成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信,直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的"自信心"。相比其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì),這種自信更穩(wěn)定、更持久。當(dāng)一個(gè)問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得,那么成功帶給他的震撼是巨大的,內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力,從而更加相信自己的能力。
高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問題"1+2+ …… +99+100=?",這是基于他對(duì)數(shù)的敏感性的超常把握,這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學(xué)生極少具有直覺意識(shí),對(duì)有限的直覺也半信半疑,不能從整體上駕馭問題,也就無法形成自信。
三、直覺思維的培養(yǎng)
一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維,判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出:"數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的,實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的。"數(shù)學(xué)直覺是可以通過訓(xùn)練提高的。
(!)扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉
直覺不是靠"機(jī)遇",直覺的獲得雖然具有偶然性,但決不是無緣無故的憑空臆想,而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)。若沒有深厚的功底,是不會(huì)進(jìn)發(fā)出思維的火花的。阿提雅說:"一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西,而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問題的足夠多的經(jīng)驗(yàn).對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺。"阿達(dá)瑪曾風(fēng)趣的說:"難道一只猴了也能應(yīng)機(jī)遇而打印成整部美國(guó)憲法嗎?"
(2)滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點(diǎn)及審美觀念
直覺的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握,而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建鄰的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱性等。例如(a+b)2= a2+2ab-b2 ,即使沒有學(xué)過完全平方公式,也可以運(yùn)用對(duì)稱的觀點(diǎn)判斷結(jié)論的真?zhèn)巍?/p>
美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì),提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識(shí),審美能力越強(qiáng),則數(shù)學(xué)直覺能力也越強(qiáng)。狄拉克于1931年從數(shù)學(xué)對(duì)稱的角度考慮,大膽的提出了反物質(zhì)的假說,他認(rèn)為真空中的反電子就是正電子。他還對(duì)麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑,他曾經(jīng)說,如果一個(gè)物理方程在數(shù)學(xué)上看上去不美,那么這個(gè)方程的正確性是可疑的。
(3)重視解題教學(xué)
教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型,有利于培養(yǎng),考察學(xué)生的直覺思維。
例如選擇題,由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來,省略解題過程,容許合理的猜想,有利于直覺思維的發(fā)展。實(shí)施開放性問題教學(xué),也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明確,可以從多個(gè)角度由果尋因,由因索果,提出猜想,由于答案的發(fā)散性,有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。
(4)設(shè)置直覺思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)
這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念,把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定,對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì),愛護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維,以免挫傷學(xué)生直覺思維的積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo),解除學(xué)生心中的疑惑,使學(xué)生對(duì)自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。
"跟著感覺走"是教師經(jīng)常講的一句話,其實(shí)這句話里已蘊(yùn)涵著直覺思維的萌芽,只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應(yīng)該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學(xué)中明確的提出,制定相應(yīng)的活動(dòng)策略,從整體上分析問題的特征;重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué),諸如:換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等,對(duì)滲透直覺觀念與思維能力的發(fā)展大有稗益。
四、結(jié)束語
直覺思維與邏輯思維同等重要,偏離任何一方都會(huì)制約一個(gè)人思維能力的發(fā)展,伊思.斯圖爾特曾經(jīng)說過這樣一句話,"數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起,受控制的精神和富有靈感的邏輯。"受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在,也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。
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