數(shù)學(xué)建模在數(shù)值分析教學(xué)中的實(shí)踐
數(shù)值分析主要研究求解數(shù)學(xué)模型的算法及有關(guān)理論，是求解數(shù)學(xué)模型的不可缺少的途徑和手段，下面是小編搜集整理的一篇探究數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析的論文范文，歡迎閱讀參考。
摘要：為有效地實(shí)施數(shù)值分析課程的實(shí)踐教學(xué)，首先分析了數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析課程教學(xué)有機(jī)融合的必要性，然后針對(duì)數(shù)值分析的不同教學(xué)內(nèi)容，介紹了幾個(gè)精選的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)案例。通過(guò)在數(shù)值分析教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐，不但可以使學(xué)生較好的掌握數(shù)值分析的有關(guān)理論與方法，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。
關(guān)鍵詞：數(shù)值分析;教學(xué)實(shí)踐;數(shù)學(xué)建模;案例教學(xué)
數(shù)值分析作為高等院校應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程和很多理工科專業(yè)的公共課，主要研究求解數(shù)學(xué)模型的算法及有關(guān)理論，是求解數(shù)學(xué)模型的不可缺少的途徑和手段。在信息科學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展的今天，數(shù)值分析課程中所介紹的數(shù)值方法更顯得極其重要。與其它數(shù)學(xué)課程的最明顯的區(qū)別在于，數(shù)值分析是一門更注重應(yīng)用的科學(xué)，特別注意在方法的精確性和計(jì)算的效率之間的平衡。傳統(tǒng)的教學(xué)模式只注重講授數(shù)值方法的原理，算法的理論推導(dǎo)占據(jù)了整個(gè)教學(xué)過(guò)程的大部分時(shí)間，再加上缺乏實(shí)踐環(huán)節(jié)的教學(xué)，就使得學(xué)生不能很好的運(yùn)用所學(xué)的理論去解決實(shí)際問(wèn)題[1]。
既然數(shù)值分析主要研究數(shù)學(xué)模型的求解算法及有關(guān)理論，因此將數(shù)學(xué)建模思想融入到數(shù)值分析的教學(xué)中是可行的[2]。為有效地實(shí)施數(shù)值分析課程的實(shí)踐教學(xué)，本文主要介紹了幾個(gè)針對(duì)數(shù)值分析不同教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)案例，這些精選的案例都涉及到相關(guān)的數(shù)值分析理論和方法。通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立和求解，將數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)值分析教學(xué)進(jìn)行有機(jī)的融合，不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)效率，而且可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)值方法求解實(shí)際問(wèn)題的能力。
1數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析課程教學(xué)有機(jī)融合的必要性
數(shù)值分析是一門理論抽象但實(shí)踐性較強(qiáng)的課程，傳統(tǒng)的教學(xué)模式一般只注重理論證明和公式推導(dǎo)，再加上學(xué)時(shí)的限制，很少會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)踐性教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生只掌握了數(shù)值分析中的基本方法和原理，而運(yùn)用數(shù)值方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力沒(méi)有得到較好的鍛煉。也正因?yàn)槿绱�，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，大部分學(xué)生不知道或者根本沒(méi)有想過(guò)可以利用所學(xué)的數(shù)值方法去解決很多實(shí)際的問(wèn)題。因此，針對(duì)數(shù)值分析課程的特點(diǎn)，采取可行的教學(xué)改革是有必要的'。許多從事數(shù)值分析課程教學(xué)的工作者在這一方面作了很多的嘗試和探索。例如，文獻(xiàn)[3]講述了任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)法在數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課教學(xué)中的實(shí)施步驟及過(guò)程，并給出具體實(shí)例。文獻(xiàn)[4]以MATLAB作為工作語(yǔ)言和開發(fā)環(huán)境，開發(fā)了一個(gè)能有效地輔助數(shù)值分析課程教學(xué)的軟件。
從數(shù)值分析課程的特點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)來(lái)看，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)值方法解決問(wèn)題的能力是該課程的重點(diǎn)所在[5]。而數(shù)學(xué)建模主要考察的是學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，然后利用綜合知識(shí)求解數(shù)學(xué)模型的能力。通過(guò)對(duì)歷年來(lái)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，許多數(shù)學(xué)模型的求解都會(huì)用到數(shù)值分析課程中的各種數(shù)值方法。因此，將數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)值分析課程教學(xué)進(jìn)行有機(jī)的融合是非常必要的。在數(shù)值分析課程的各個(gè)教學(xué)模塊中，通過(guò)實(shí)際的數(shù)學(xué)建模案例進(jìn)行數(shù)值方法與理論的講解，讓學(xué)生覺(jué)得所學(xué)的知識(shí)在實(shí)際工程問(wèn)題中具有很大的應(yīng)用價(jià)值，這樣既可以吸引學(xué)生的眼球，提高學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)值方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
由表2可知兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式計(jì)算斷面面積的誤差最小，其次是三次樣條插值多項(xiàng)式，誤差最大的是三次Lagrange插值多項(xiàng)式，即所得結(jié)論與理論是相符的。
通過(guò)此案例，不但可以讓學(xué)生掌握不同插值法的基本原理，而且還可以讓學(xué)生體會(huì)到不同插值法的特征：三次Lagrange插值多項(xiàng)式(三次Newton插值多項(xiàng)式)分段光滑，兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式整體一階光滑，而三次樣條插值多項(xiàng)式整體二階光滑。
2數(shù)據(jù)擬合的案例教學(xué)實(shí)踐
所謂數(shù)據(jù)擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值，通過(guò)調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)，使得該函數(shù)與已知點(diǎn)的差距最小，最常用的數(shù)據(jù)擬合方法為最小二乘法。在數(shù)據(jù)擬合的教學(xué)中，可采用下列數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的求解進(jìn)行案例教學(xué)。
例2：數(shù)據(jù)擬合教學(xué)案例――上海市就業(yè)人口預(yù)測(cè)
已知2000年～2009年上海市每年的就業(yè)人口數(shù)，如表3所示，現(xiàn)要預(yù)測(cè)2010年上海市的就業(yè)人口數(shù)，并與2010年真實(shí)的就業(yè)人口數(shù)(1574.6萬(wàn)人)進(jìn)行對(duì)比分析。
表3上海市就業(yè)人口統(tǒng)計(jì)(單位:萬(wàn)人)
圖2上海市就業(yè)人口數(shù)擬合圖形
通過(guò)此案例的教學(xué)，不但可以讓學(xué)生理解最小二乘曲線擬合的基本原理與步驟，而且還可以為學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理打下基礎(chǔ)。
2.3數(shù)值微分的案例教學(xué)實(shí)踐
所謂數(shù)值微分是指根據(jù)函數(shù)在一些離散點(diǎn)的函數(shù)值，構(gòu)造一個(gè)較為簡(jiǎn)單的可微函數(shù)近似代替該函數(shù)，并將簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)作為該函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的近似值。常用的數(shù)值微分公式有差商公式、兩點(diǎn)公式、三點(diǎn)公式等。在數(shù)值微分的教學(xué)中，可采用下列數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的求解進(jìn)行案例教學(xué)。
例3數(shù)值微分教學(xué)案例――人口增長(zhǎng)率[7]
已知1950年～2000年每10年中國(guó)人口的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示，試計(jì)算這些年份的人口增長(zhǎng)率。
表4中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)(單位：億人)
3結(jié)束語(yǔ)
為有效地實(shí)施數(shù)值分析課程的實(shí)踐教學(xué)，本文主要介紹了幾個(gè)針對(duì)數(shù)值分析不同教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)案例。通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的建立和求解，將數(shù)學(xué)建模思想融入到數(shù)值分析的教學(xué)中，不但可以讓學(xué)生較好的掌握數(shù)值分析的有關(guān)理論與方法，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，為參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)打下一定的基礎(chǔ)。
參考文獻(xiàn)：
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