數(shù)學(xué)分析課程中數(shù)學(xué)建模思想的融入研究
數(shù)學(xué)分析是鞏固新授知識(shí)，形成技能技巧，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，下面是小編搜集整理的一篇探究數(shù)學(xué)建模思想的論文范文，歡迎閱讀參考。
"數(shù)學(xué)分析"課程是數(shù)學(xué)類(lèi)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等專(zhuān)業(yè)的一門(mén)主干基礎(chǔ)課程。學(xué)好"數(shù)學(xué)分析"課程是學(xué)好其他一些后繼課程如"微分方程"、"復(fù)變函數(shù)"、"實(shí)變函數(shù)"、"泛函分析"與"概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)"等課程的必備基礎(chǔ)。同時(shí)"數(shù)學(xué)分析"課程也是以更高層次、更深入地理解中學(xué)數(shù)學(xué)教材所必需的基礎(chǔ)。通過(guò)"數(shù)學(xué)分析"課程基本知識(shí)的傳授與相關(guān)習(xí)題、實(shí)例的訓(xùn)練，使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的學(xué)風(fēng)，邏輯思維能力，分析和解決問(wèn)題的能力有進(jìn)一步提高。特別是注重學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。力爭(zhēng)為把學(xué)生培養(yǎng)成既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、又有科學(xué)創(chuàng)新精神的人才打下良好的基礎(chǔ)。因此該課程的教學(xué)好壞在一定程度上關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)與提高。
1、數(shù)學(xué)建模及其思想內(nèi)涵
模型是為了一定目的，對(duì)客觀(guān)事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物，集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。
數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的而做的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)。
具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀(guān)事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。
數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling)簡(jiǎn)單理解就是建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程，也就是在深入調(diào)查研究，了解實(shí)際問(wèn)題，做出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)，分析其內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，獲得數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)求解、計(jì)算得到的模型結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模的一般步驟如圖1所示，全過(guò)程如圖2所示。
2、融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"課程中的作用與意義
作為數(shù)學(xué)類(lèi)最重要的基礎(chǔ)課之一，數(shù)學(xué)科學(xué)的邏輯性和歷史繼承性決定了"數(shù)學(xué)分析"在數(shù)學(xué)科學(xué)中舉足輕重的地位，數(shù)學(xué)的許多新思想，新應(yīng)用都源于這一堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。"數(shù)學(xué)分析"由于對(duì)微積分在理論體系上的嚴(yán)格化和精確化，確立了在數(shù)學(xué)科學(xué)中的基礎(chǔ)地位，并運(yùn)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。同時(shí)，數(shù)學(xué)研究的主體是經(jīng)過(guò)抽象后的對(duì)象，數(shù)學(xué)的思考方式有鮮明的特色，包括抽象化、邏輯推理、最優(yōu)分析、符號(hào)運(yùn)算等，這些知識(shí)和能力的培養(yǎng)需要通過(guò)系統(tǒng)、扎實(shí)而嚴(yán)格的基礎(chǔ)教育來(lái)實(shí)現(xiàn)，"數(shù)學(xué)分析"課程正是其中最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。
"數(shù)學(xué)分析"的教學(xué)存在著諸多問(wèn)題。例如，對(duì)于剛進(jìn)入大學(xué)的新生，不太適應(yīng)大學(xué)教師的教學(xué)方法與模式;學(xué)生認(rèn)為"數(shù)學(xué)分析"課程過(guò)于抽象，與實(shí)際生活距離較遠(yuǎn)，對(duì)該課程缺乏學(xué)習(xí)熱情和動(dòng)力[1].融數(shù)學(xué)建模思想方法于"數(shù)學(xué)分析"課程的教學(xué)中，配合適量的數(shù)學(xué)模型內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)的掌握，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用能力，同時(shí)可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與熱情，提高自身素質(zhì)和素養(yǎng)。可以起到以下作用：激發(fā)學(xué)生的參與探索的興趣;增強(qiáng)聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與實(shí)際運(yùn)用的能力;促進(jìn)"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)的改革;提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。
3、融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)
"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)中要求掌握的很多內(nèi)容可以看作是數(shù)學(xué)建模的模型求解階段，比如函數(shù)的可微性、定積分、重積分、曲線(xiàn)積分、曲面積分的計(jì)算等[2].因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)適當(dāng)結(jié)合數(shù)學(xué)模型的建模全過(guò)程來(lái)進(jìn)行講解，使學(xué)生了解問(wèn)題的來(lái)龍去脈，逐步的進(jìn)行分析、求解等，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中系統(tǒng)地了解與掌握分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思想與方法，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更好的培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。
3.1融數(shù)學(xué)建模思想于概念、定義教學(xué)之中
從恰當(dāng)?shù)陌咐幸敫拍钍菍?shù)學(xué)建模思想融入"數(shù)學(xué)分析"課程教學(xué)的重要形式[3]."數(shù)學(xué)分析"課程中有很多非常重要的概念，如函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、重積分、級(jí)數(shù)等，這些概念都是從一些具體問(wèn)題出發(fā)，抓住其在數(shù)量關(guān)系等方面的共同本質(zhì)和特性而加以概括、抽象出來(lái)的。在一些重要概念教學(xué)過(guò)程中，對(duì)概念的引入，任課教師要精心設(shè)計(jì)，這樣在知識(shí)傳授過(guò)程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想、方法，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)，知曉知識(shí)點(diǎn)的來(lái)龍去脈，使學(xué)生明白那些看似枯燥無(wú)味的概念不是頭腦中所固有的，而是有著很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)背景，有其特有的物理原型和表象的。
例如，對(duì)于定積分概念，初學(xué)時(shí)學(xué)生倍感這一概念很抽象。其實(shí)，這一概念是在很多具體原型的基礎(chǔ)之上抽象而得到的，如求曲邊梯形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等。在教學(xué)過(guò)程之中可以將求曲邊梯形面積作為原型，借助"不變代變"的思想，通過(guò)"分劃→近似→求和→取極限"4個(gè)步驟，最終將無(wú)限細(xì)分所得的近似值的極限定義為曲邊梯形面積的值，從而這個(gè)幾何問(wèn)題得到解決[4].通過(guò)這一數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行教學(xué)，可以使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)并理解這一概念，比把概念用抽象、不易理解的數(shù)學(xué)符號(hào)直接呈現(xiàn)給學(xué)生要生動(dòng)、形象、有趣的多，更容易使學(xué)生記住、理解、掌握知識(shí)點(diǎn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情勢(shì)必會(huì)更高，可以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。
又例如，在講授無(wú)窮級(jí)數(shù)這一概念時(shí)，為了引入該概念，任課教師可以介紹"阿基里斯追龜悖論".對(duì)于該悖論，教師在分析完該悖論的內(nèi)容、產(chǎn)生的原因、哲學(xué)辨析之后，可建立簡(jiǎn)單的模型來(lái)解釋?zhuān)湓敿?xì)過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5].芝諾悖論涉及到了無(wú)窮項(xiàng)求和，這是學(xué)生先前并未接觸到的，只是熟知有限項(xiàng)求和的相關(guān)內(nèi)容。教師引導(dǎo)學(xué)生利用已學(xué)的有限項(xiàng)求和概念，結(jié)合已學(xué)的極限理論，逐漸給出無(wú)窮項(xiàng)求和的可能性及基本方法，極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
3.2融數(shù)學(xué)建模思想于定理、結(jié)論教學(xué)之中
"數(shù)學(xué)分析"中有很多較為抽象、不易理解的定理，如何講授這樣的定理，使學(xué)生更容易理解、掌握與靈活運(yùn)用定理解決一些實(shí)際問(wèn)題，這是教學(xué)過(guò)程的一大難點(diǎn)[6].對(duì)于定理的證明，可將定理的.結(jié)論視為是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，將定理的條件視為模型的假設(shè)條件，即可根據(jù)預(yù)先設(shè)置好的問(wèn)題情景逐步地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，最終建立相應(yīng)的模型。這樣融入數(shù)學(xué)建模思想于教學(xué)的方法，一方面使學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)知識(shí)，另一方面讓他們體驗(yàn)到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生意識(shí)與創(chuàng)新能力的好途徑。
多年來(lái)，在講授數(shù)學(xué)課程的過(guò)程中，常常會(huì)遇到學(xué)生提出這樣一個(gè)問(wèn)題：數(shù)學(xué)知識(shí)究竟有什么用?許多學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識(shí)有用，必須學(xué)好，但在實(shí)際生活中似乎又看不到數(shù)學(xué)有什么用，也不知道怎樣用，在什么時(shí)候用，尤其是數(shù)學(xué)中的定理結(jié)論之類(lèi)。這樣一來(lái)，學(xué)生會(huì)喪失學(xué)習(xí)的興趣。為了提高學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，在一些定理、結(jié)論的教學(xué)過(guò)程中，適時(shí)增加一些數(shù)學(xué)模型的實(shí)例。
案例：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎[7]
模型的假設(shè)：①4條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，4只腳連線(xiàn)呈正方形;②地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;③地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少3只腳同時(shí)著地。
模型的構(gòu)成：利用正方形的對(duì)稱(chēng)性，以椅腳連線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)，椅腳按O點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)示意圖如圖3所示，用θ(對(duì)角線(xiàn)與x軸的夾角)表示椅子位置，4只腳著地表明4個(gè)椅腳與地面的距離為零，其中這4個(gè)距離都是θ的函數(shù)。根據(jù)正方形對(duì)稱(chēng)性，4個(gè)距離中可以進(jìn)行組合，實(shí)際考慮兩個(gè)距離：A,C兩腳與地面距離之和，用f(θ)表示;B,D兩腳與地面距離之和，用g(θ)表示。根據(jù)假設(shè)②可知，f(θ)與g(θ)為連續(xù)函數(shù)，椅子在任意位置至少3只腳著地，于是正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)任意θ，f(θ)，g(θ)中至少一個(gè)為0.這樣，椅子能不能在不平的地面上放穩(wěn)這一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：已知f(θ)與g(θ)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意θ，f(θ)·g(θ)=0,且g(θ)=0,f(θ)>0,證明存在θ0,使f(θ0)=g(θ0)=0.
模型求解：由連續(xù)函數(shù)的根的存在定理解決此問(wèn)題。
這樣把理論應(yīng)用到實(shí)踐中去，解決一些實(shí)際問(wèn)題，可以達(dá)到加深理解，深化、鞏固所學(xué)理論的作用。
3.3融數(shù)學(xué)建模思想于作業(yè)之中
作業(yè)是學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，自覺(jué)、有目的地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，將學(xué)得的知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際的智力活動(dòng)過(guò)程，是鞏固新授知識(shí)，形成技能技巧，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生智力的重要途徑，是課堂教學(xué)過(guò)程中不可跨越的一環(huán)。通過(guò)寫(xiě)作業(yè)可以檢查學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，加深對(duì)知識(shí)的理解和記憶，充分發(fā)揮學(xué)生的智慧和潛力，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。針對(duì)"數(shù)學(xué)分析"理論性較強(qiáng)的特點(diǎn)，有目的讓學(xué)生解決一些實(shí)際問(wèn)題。只有把理論應(yīng)用到實(shí)踐中去，解決幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題，才能達(dá)到理解、深化、鞏固所學(xué)理論的效果[8].在"數(shù)學(xué)分析"的習(xí)題課教學(xué)中，教師可根據(jù)實(shí)際情況適時(shí)將教材中的一些純數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行改編、加工成一些具有實(shí)際意義的應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)分析有關(guān)理論知識(shí)以及思想、方法來(lái)解決問(wèn)題。這一過(guò)程事實(shí)上就是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。通過(guò)這樣應(yīng)用題目的解決，使學(xué)生能夠更加深刻地體會(huì)到學(xué)習(xí)"數(shù)學(xué)分析"的樂(lè)趣和意義。
4、融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題
融數(shù)學(xué)建模思想于"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)中，一定要把握度的問(wèn)題，在一些問(wèn)題上不要刻意去追求。由于課時(shí)有限，課堂教學(xué)過(guò)程中"插入"內(nèi)容課時(shí)不宜安排過(guò)多，否則將會(huì)影響課程教學(xué)計(jì)劃;但又不能"蜻蜓點(diǎn)水",沒(méi)有一定的深度。這就要求教師要充分研究"數(shù)學(xué)分析"教學(xué)內(nèi)容，精選合適的案例，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的思想，并將之作為"數(shù)學(xué)分析"課程教學(xué)的延伸性和推廣性?xún)?nèi)容來(lái)講授。在這過(guò)程中，需注意以下幾條：注意循序漸進(jìn)性，切記急功近利;案例要精，反映主題;正確處理好與數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)的關(guān)系。
5、結(jié)語(yǔ)
目前，在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽活動(dòng)的影響與推動(dòng)下，"數(shù)學(xué)建模"與"數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)"等課程已是各個(gè)高校高年級(jí)的選修或必修課程。"數(shù)學(xué)分析"是大一年級(jí)的基礎(chǔ)課程之一，融數(shù)學(xué)建模思想、方法于"數(shù)學(xué)分析"課程的教學(xué)中，這對(duì)教育教學(xué)改革具有積極的意義，這將有助于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與能力，逐漸提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)理論與原理解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在具體實(shí)施的過(guò)程中，教師應(yīng)處理好教學(xué)內(nèi)容的"嚴(yán)謹(jǐn)性"和"實(shí)用性"的關(guān)系，以促進(jìn)教育教學(xué)改革的持續(xù)良性發(fā)展。
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