淺析數(shù)值分析在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用
在實際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的模型也是離散的，下面是小編搜集的一篇關(guān)于數(shù)值分析在模型建立中的應(yīng)用探究的論文范文，歡迎閱讀參考。
數(shù)值分析主要解釋了現(xiàn)代科學(xué)計算中使用的數(shù)值計算規(guī)則及它的基本原理，研究并求解數(shù)值問題的近似解，是數(shù)學(xué)原理與計算機(jī)以及實際問題的有機(jī)結(jié)合[1]。隨著現(xiàn)代科技的快速發(fā)展，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決科學(xué)技術(shù)和工程研究領(lǐng)域中的現(xiàn)實問題，已經(jīng)得到廣泛重視。數(shù)學(xué)建模是數(shù)值分析聯(lián)系實際的橋梁。在模型構(gòu)建的過程中，無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、擬合法等。
一、數(shù)值分析在模型建立中的應(yīng)用
在實際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的模型也是離散的。例如，對經(jīng)濟(jì)進(jìn)行動態(tài)的分析時，一般總是根據(jù)一些計劃的周期期末的指標(biāo)值判斷某經(jīng)濟(jì)計劃執(zhí)行的如何。有些實際問題即可建立連續(xù)模型，也可建立離散模型，但在研究中，并不能時時刻刻統(tǒng)計它，而是在某些特定時刻獲得統(tǒng)計數(shù)據(jù)。另一方面，對常見的微分方程、積分方程為了求解，往往需要將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型。將連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成離散模型，最常用的方法就是建立差分方程。
以非負(fù)整數(shù)k表示時間，記xk為變量x在時刻k的取值，則稱Δxk=xk+1-xk為xk的一階差分，稱Δ2xk=Δ(Δxk)=xk+2-2xk+1+xk為xk的二階差分。類似課求出xk的n階差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分給出的方程稱為差分方程[2]。例如在研究節(jié)食與運(yùn)動模型時，發(fā)現(xiàn)人們往往采取節(jié)食與運(yùn)動方式消耗體內(nèi)存儲的脂肪，引起體重下降，達(dá)到減肥目的。通常制定減肥計劃以周為時間單位比較方便，所以采用差分方程模型進(jìn)行討論。記第k周末體重為w(k)，第k周吸收熱量為c(k)，熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)α，代謝消耗系數(shù)β，在不考慮運(yùn)動情況下體重變化的模型為w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)[2]，k=0，1，2，…，增加運(yùn)動時只需將β改為β1+β，β1由運(yùn)動的形式和時間決定。
二、數(shù)值分析在模型求解中的應(yīng)用
插值法和擬合法在模型求解中的應(yīng)用
1.擬合法求解
在數(shù)學(xué)建模中，我們常常建立了模型，也測量了(或收集了)一些已知數(shù)據(jù)，但是模型中的某些參數(shù)是未知的，此時需要利用已知數(shù)據(jù)去確定有關(guān)參數(shù)，這個過程通常通過數(shù)據(jù)擬合來完成。最小二乘法是數(shù)據(jù)擬合的基本方法。其基本思想就是：尋找最適合的模型參數(shù)，使得由模型給出的計算數(shù)據(jù)與已知數(shù)據(jù)的整體誤差最小。
假設(shè)已建立了數(shù)學(xué)模型y=f(x，c)，其中，c=(c1，c2，…，cm)T是模型參數(shù)。已有一組已知數(shù)據(jù)(x1，，y1)，(x2，y2)，…，(xk，，yk)，用最小二乘確定參數(shù)c，使e(c)=∑ki=1(yi-f(xi，c))2最小。函數(shù)f(x，c)稱為數(shù)據(jù)(xi，，yi)(i=1，2，…，k)的最小二乘擬合函數(shù)。如果模型函數(shù)y=f(x，c)具有足夠的可微性，則可用微分方程法解出c。最合適的c應(yīng)滿足必要條件e(c)cj=-2∑ki=1(yi-f(xi，c))f(xi，c)cj=0，j=1，2，…，m。
2.插值法求解
在實際問題中，我們經(jīng)常會遇到求經(jīng)驗公式的問題，即不知道某函數(shù)y=f(x)的具體表達(dá)式，只能通過實驗測量得到該函數(shù)在一些點的函數(shù)值，即已知一部分精確的函數(shù)值數(shù)據(jù)(x1，，y1)，(x2，y2)，…，(xk，，yk)。要求一個函數(shù)
yi=φ(xi)，i=0，1，…，k，(2)
這就是插值問題。函數(shù)yi=φ(xi)稱為f(x)的插值函數(shù)。xi(i=0，1，…，k)稱為插值節(jié)點，式(2)稱為插值條件[2]。多項式插值是最常用的插值方法，在工程計算中樣條插值是非常重要的方法。
3.模型求解中的解線性方程組問題
在線性規(guī)劃模型的.求解過程中，常遇到線性方程組求解問題。線性方程組求解是科學(xué)計算中用的最多的，很多計算問題都?xì)w結(jié)為解線性方程組，利用計算機(jī)求解線性方程組的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于求解的三角線性方程組，再求三角線性方程組，理論上直接在有限步內(nèi)求得方程的精確解，但由于數(shù)值運(yùn)算有舍入誤差，因此實際計算求出的解仍然是近似解，仍需對解進(jìn)行誤差分析。直接法不適用求解n≥4的線性方程組，因此當(dāng)n≥4時，可以采用迭代法進(jìn)行求解。
迭代法先要構(gòu)造迭代公式，它與方程求根迭代法相似，可將線性方程組改寫成便于迭代的形式。迭代計算公式簡單，易于編制計算程序，通常都用于解大型稀疏線性方程組。求解線性方程組的一般設(shè)計思想如下，假設(shè)建立一個線性規(guī)劃模型
Ax=b
其中A=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即A∈Rn×n，可將A改寫為迭代的形式
x=Bx+f
并由此構(gòu)造迭代法
xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，…，
其中B∈Rn×n，稱為迭代矩陣。將A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩陣B，也就的帶不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-賽德爾迭代法[5]、超松弛迭代法等。
由于計算過程中有舍入誤差，為防止誤差增大，就要求所使用的迭代法具有穩(wěn)定性，即迭代收斂，收斂速度越快，誤差越小。若x=Bx+f中，ρB<1，則認(rèn)為此迭代法收斂。
4.數(shù)值積分在模型求解中的應(yīng)用 模型求解過程中可能遇到積分求解問題，用求積公式If=∫bafxdx=Fb-Fa，使定積分計算變得簡單，但在實際應(yīng)用中很多被積函數(shù)找不到用解析時表示的原函數(shù)，例如∫10e-x2dx，或者即使找到表達(dá)式也極其復(fù)雜。另外，當(dāng)被積函數(shù)是列函數(shù)，其原函數(shù)沒有意義，因此又將計算積分歸結(jié)為積函數(shù)值的加權(quán)平均值。
假設(shè)a≤x0≤x1≤…≤xn≤b，則積分的計算公式[5]為∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi，稱其為機(jī)械求積公式，其中xi(i=0，1，2，…，n)稱為求積節(jié)點，αi與f無關(guān)，稱為求積系數(shù)或權(quán)數(shù)，機(jī)械求積公式是將計算積分歸結(jié)為計算節(jié)點函數(shù)值的加權(quán)平均，即取∑ni=0αifxi≈fξ
得到的。由于這類公式計算極其便捷，是計算機(jī)計算積分的主要方法，構(gòu)造機(jī)械求積公式就轉(zhuǎn)化為求參數(shù)xi及αi的代數(shù)問題。
5.數(shù)值分析在求解微分方程中的應(yīng)用
在數(shù)學(xué)建模中，所建立的模型很多時候是常微分方程或者偏微分方程，這些方程求解析解是很困難的，而且即使能夠求得解析解，由于所用數(shù)據(jù)的誤差得到的解也是近似值，所以大部分情況下會采取數(shù)值的方法進(jìn)行求解。
三、誤差分析
在數(shù)學(xué)模型中往往包含了若干參變量，這些量往往是通過觀察得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差稱為觀察誤差[4]。這些誤差是不可避免的，所以我們只能在模型建立和模型求解中避免誤差擴(kuò)大。目前已經(jīng)提出的誤差分析方法有向前誤差分析法與向后誤差分析，區(qū)間分析法，及概率分析，但在實際誤差估計中均不可行。不能定量的估計誤差，因此在建模過程中更著重誤差的定性分析，也就是算法的穩(wěn)定性分析。
在誤差分析中，首先要分清問題是否病態(tài)和算法是否穩(wěn)定，計算時還要盡量避免誤差危害。為了防止有效數(shù)字的損失，應(yīng)該注意下面若干原則：一是避免用絕對值小的數(shù)作除數(shù);二是避免數(shù)值接近相等的兩個近似值相減，這樣會導(dǎo)致有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失;三是注意運(yùn)算次序，防止“大數(shù)”吃“小數(shù)”，如多個數(shù)相加減，應(yīng)按照絕對值由小到大的次序運(yùn)算;四是簡化步驟，減少算術(shù)運(yùn)算的次數(shù)。
四、結(jié)論
隨著電子計算機(jī)的迅速發(fā)展、普及以及新型數(shù)值軟件的不斷開發(fā)，數(shù)值分析的理論和方法無論是在高科技領(lǐng)域還是在傳統(tǒng)學(xué)科領(lǐng)域，其作用和影響都越來越大，實際上它已成為科學(xué)工作者和工程技術(shù)人員必備的知識和工具，所以把數(shù)值分析的知識正確的應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模中去不僅是一種趨勢，更是用數(shù)學(xué)的理論解決實際問題的關(guān)鍵
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