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多層次教學(xué)法對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的影響
一、大學(xué)數(shù)學(xué)分層次教學(xué)勢(shì)在必行
大學(xué)數(shù)學(xué)是理工科、經(jīng)濟(jì)學(xué)科等專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，它是所有理工科學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后需要首先接觸的基礎(chǔ)課程，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的重要工具，它提供的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法不僅僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的重要工具，還是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和創(chuàng)新能力的重要途徑，所以我們必須要做好大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)工作。大學(xué)教育已經(jīng)從昔日的精英教育轉(zhuǎn)為了大眾化教育，進(jìn)入了一個(gè)高速膨脹、全面快速發(fā)展的階段。在當(dāng)今高校教育的新形勢(shì)下，我覺(jué)得目前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在如下問(wèn)題：
(1)各高校招生數(shù)量大，生源分布廣，學(xué)生的知識(shí)水平差異也越來(lái)越大，有的學(xué)生在高中就學(xué)會(huì)了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，而有的學(xué)生甚至不會(huì)求函數(shù)的定義域。
(2)當(dāng)今社會(huì)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度之快，數(shù)學(xué)被應(yīng)用于各個(gè)經(jīng)濟(jì)和科學(xué)領(lǐng)域，但是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的作用程度卻有很大不同，不同的專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)要求也有不同。這樣不同的專業(yè)實(shí)施同層次的數(shù)學(xué)教學(xué)，就不能滿足社會(huì)的需求，也無(wú)法達(dá)到應(yīng)有的教學(xué)效果。因此，根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)不同、專業(yè)不同、個(gè)人發(fā)展方向不同，因材施教，因材施學(xué)，實(shí)施分層次教學(xué)勢(shì)在必行。
二、大學(xué)數(shù)學(xué)分層教學(xué)的實(shí)施
大學(xué)數(shù)學(xué)的分層次教學(xué)是指通過(guò)分層教學(xué)層次的確定，制定各層次教學(xué)的教學(xué)大綱，設(shè)定各層次教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，讓基礎(chǔ)不同、專業(yè)不同、個(gè)人發(fā)展方向不同的學(xué)生有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)。所以，教學(xué)目的分層是實(shí)施分層教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。教學(xué)目標(biāo)應(yīng)依據(jù)教學(xué)大綱和教學(xué)內(nèi)容，從基礎(chǔ)不同、專業(yè)不同、個(gè)人發(fā)展方向不同的學(xué)生的實(shí)際出發(fā)來(lái)進(jìn)行確定，同時(shí)要符合各層次學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和能力，通過(guò)有針對(duì)性地學(xué)習(xí)目標(biāo)初步預(yù)計(jì)到各個(gè)層次學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果。針對(duì)差、較差、好三個(gè)層次的學(xué)生對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)和基本技能的把握程度和接受能力的不同，具體設(shè)計(jì)三個(gè)層次教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)。對(duì)于數(shù)學(xué)功底好且具有強(qiáng)烈的求知欲和較強(qiáng)的自學(xué)能力的學(xué)生，教學(xué)目標(biāo)需要有高的要求。定義、性質(zhì)略講，重講內(nèi)涵和外延，拓寬其知識(shí)面，增補(bǔ)近年來(lái)名高校在相應(yīng)章節(jié)的考研題，同時(shí)還給一些綜合性思考題，指導(dǎo)學(xué)生刻苦鉆研數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，積極參加全國(guó)每年一度的數(shù)學(xué)建模大賽和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，旨在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力。對(duì)于數(shù)學(xué)功底較差，學(xué)生的整體素質(zhì)一般的學(xué)生，基本知識(shí)點(diǎn)作為講解重點(diǎn)，要求學(xué)生掌握基本理論知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思維方法，適當(dāng)?shù)貙⒉糠纸虒W(xué)內(nèi)容進(jìn)行外延，同時(shí)給一些中等難度的思考題，旨在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。對(duì)于數(shù)學(xué)功底差且對(duì)新事物的接受與反應(yīng)能力較慢的學(xué)生，基本知識(shí)點(diǎn)作為講解重點(diǎn)，要求學(xué)生掌握基本理論知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思維方法，反復(fù)練習(xí)高教大綱要求的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，合理控制好教學(xué)的進(jìn)度，本著夠用的原則，達(dá)到高教大綱規(guī)定的基本要求。下面是筆者運(yùn)用分層次教學(xué)來(lái)講解知識(shí)點(diǎn)的實(shí)例。(1)在全微分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，老師對(duì)于基礎(chǔ)層次的學(xué)生的要求就是掌握全微分的定義及利用求函數(shù)的全微分。對(duì)于中間層次的學(xué)生老師要求不僅要掌握以上內(nèi)容還要掌握函數(shù)的可微性的充要條件、充分條件、必要條件。即：充要條件：函數(shù)在點(diǎn)可微的定義。充分條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域上存在偏導(dǎo)數(shù)，并且偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，那么f在點(diǎn)可微。必要條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微分，那么該函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)存在。對(duì)于高層次的學(xué)生在掌握以上知識(shí)后還要掌握函數(shù)的以下關(guān)系式：關(guān)系圖中帶→表示由前者可以推出后者，如果沒(méi)有→則表示前者不一定能夠推出后者。在掌握以上關(guān)系式的同時(shí)還能夠舉出實(shí)例證明上述關(guān)系。如：我們?cè)谧C明函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)但不一定能夠推出偏導(dǎo)存在的關(guān)系時(shí)可以舉以下實(shí)例：證明函數(shù)在(0，0)點(diǎn)處連續(xù)但偏導(dǎo)不存在。證明：函數(shù)在(0，0)點(diǎn)有定義且所以函數(shù)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在(0，0)點(diǎn)對(duì)于x的偏導(dǎo)：所以在點(diǎn)(0，0)處不存在。同理可知：在點(diǎn)(0，0)處不存在。故函數(shù)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)但偏導(dǎo)不存在。我們?cè)谧C明函數(shù)在某一點(diǎn)偏導(dǎo)存在但不連續(xù)可以舉下面的例子：證明函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處偏導(dǎo)存在但不連續(xù)。證明：在點(diǎn)(0，0)處：所以該函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處偏導(dǎo)存在。該函數(shù)沿y=x路徑趨于(0，0)時(shí)，極限值為：而該函數(shù)沿y=0路徑趨于(0，0)時(shí)，極限值為：由于該函數(shù)在沿不同路徑趨于(0，0)時(shí)極限值不同，所以該函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)。所以函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處偏導(dǎo)存在但不連續(xù)。對(duì)于高層次的同學(xué)來(lái)說(shuō)以上的關(guān)系圖中的關(guān)系都要能舉出實(shí)例來(lái)證明。(2)為了更好地實(shí)施分層教學(xué)，我們針對(duì)不同的專業(yè)，實(shí)施不同的教學(xué)方法。以教授物理學(xué)專業(yè)和數(shù)學(xué)專業(yè)為例。方法：由于數(shù)學(xué)的概念和定義一般都比較抽象，不容易理解和掌握，因此，在介紹數(shù)學(xué)的概念和定義之前，有必要先講它的物理學(xué)背景。在物理學(xué)背景下，對(duì)物理數(shù)量進(jìn)行分析、歸納，最后抽象上升為數(shù)學(xué)的概念和定義。這種以物理學(xué)實(shí)際出發(fā)講授數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法，首先能激發(fā)物理學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動(dòng)其積極性;其次，能加深其對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，使其更容易掌握概念，理解并熟記公式;最后能提高物理學(xué)學(xué)生分析和解決物理學(xué)數(shù)量問(wèn)題的能力，為其將來(lái)的科學(xué)研究奠定良好的基礎(chǔ)。與此同時(shí)，《高等數(shù)學(xué)》的重要性也顯而易見(jiàn)了。實(shí)例：數(shù)學(xué)上，導(dǎo)數(shù)的概念就比較抽象，它是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限：如果把這個(gè)概念介紹給物理學(xué)學(xué)生，他們只能死記這個(gè)極限式，而不容易理解其意義，在教學(xué)過(guò)程中可選擇這樣一個(gè)物理學(xué)實(shí)例進(jìn)行分析討論：研究質(zhì)點(diǎn)M沿直線作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律(函數(shù))為s=s(t)，其中t是時(shí)間，s是路程，求其在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以先求出在時(shí)間間隔t0到t0+△t之間質(zhì)點(diǎn)M的平均速率：當(dāng)△t變化時(shí)，平均速度也隨之變化，當(dāng)|△t|較小時(shí)，平均速度是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的“瞬時(shí)速度”的近似值。這時(shí)，可通過(guò)取極限將近似值精確化，即當(dāng)△t小到無(wú)限地趨近于零的時(shí)候，若趨于確定值，該值就是質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度v，即在此時(shí)，便可引入導(dǎo)數(shù)的定義如下：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量在x0附近有增量△x時(shí)，函數(shù)值也有增量△y，如果極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)處可導(dǎo)，此極限值稱為函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，用f'(x0)表示，于是，質(zhì)點(diǎn)M沿直線作變速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度即為質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)間段t類的路程在t0處的導(dǎo)數(shù)s'(x0)。這樣講授，加深了物理學(xué)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，使物理學(xué)學(xué)生掌握了導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)上定義為增量比的極限，在物理學(xué)上表示物理量的變化率。這種從物理學(xué)實(shí)際出發(fā)，通過(guò)分析解決物理學(xué)數(shù)量問(wèn)題、引入數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法，能激發(fā)學(xué)生興趣，形象具體，深入淺出。他們?cè)趯W(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)到了用數(shù)學(xué)知識(shí)去分析和解決物理學(xué)數(shù)量問(wèn)題的方法。這些，正是我們期望培養(yǎng)的專門人才所必須具備的知識(shí)和能力。就這一問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生就會(huì)從連續(xù)曲線上的割線MN的斜率(K`=)入手，N沿曲線不斷移向M，其極限位置與M重合，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成連續(xù)曲線上過(guò)點(diǎn)M的斜率問(wèn)題K=，事實(shí)上，這就是函數(shù)在點(diǎn)M的導(dǎo)數(shù)。這種從數(shù)學(xué)實(shí)際出發(fā)，通過(guò)分析學(xué)生們熟知的老問(wèn)題、引入數(shù)學(xué)新概念的教學(xué)方法，使數(shù)學(xué)變得神奇、相通、水到渠成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，從而激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。
三、大學(xué)數(shù)學(xué)分層次教學(xué)法的意義和作用
在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中采用分層次教學(xué)，我認(rèn)為意義重大，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：
(1)分層次教學(xué)有利于學(xué)生個(gè)性的發(fā)展。
(2)分層教學(xué)法的針對(duì)性很強(qiáng)，這有利于課堂上的教學(xué)和課后的輔導(dǎo)，真正實(shí)現(xiàn)因材施教。
(3)分層次教學(xué)有助于教學(xué)質(zhì)量的提高。總地來(lái)說(shuō)，分層次教學(xué)法充分體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位，通過(guò)師生之間、學(xué)生之間的互動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，能夠形成良好的學(xué)風(fēng)和教風(fēng)，使得師生關(guān)系更加和諧、融洽。分層次教學(xué)法為不同層次的學(xué)生創(chuàng)造出了相應(yīng)的學(xué)習(xí)條件，使不同層次的學(xué)生都能夠找到適合自己的學(xué)習(xí)方式，這樣教學(xué)需求和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性真正做到了相互適應(yīng)，從而每個(gè)學(xué)生都能夠在原有的基礎(chǔ)上有進(jìn)步、有發(fā)展。分層次教學(xué)法真正實(shí)現(xiàn)了“人人學(xué)數(shù)學(xué)，人人愛(ài)數(shù)學(xué)”。
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