求二次函數(shù)關(guān)系式的技巧
求二次函數(shù)的關(guān)系式，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.學(xué)會(huì)求二次函數(shù)的關(guān)系式，可使許多問(wèn)題迎刃而解，怎樣求二次函數(shù)的關(guān)系式呢?有什么技巧呢?現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.
一、用二次函數(shù)的性質(zhì)求
例1 已知某二次函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且過(guò)點(diǎn)(0，8)，其形狀和y=2x2+3x+5的圖像形狀相同，位置不同，開(kāi)口方向相反.求此二次函數(shù)的關(guān)系式?
分析與解：此題必須熟知二次函數(shù)關(guān)系式中的系數(shù)和圖像的關(guān)系.二次項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值決定它的形狀，只要其絕對(duì)值相等，其形狀就形同，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定它的開(kāi)口方向，二次項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則圖像開(kāi)口向上，是負(fù)數(shù)則開(kāi)口向下.一次項(xiàng)的系數(shù)決定圖像的左右位置：開(kāi)口向上時(shí)，一次項(xiàng)的系數(shù)增大，圖像向左平移，一次項(xiàng)的系數(shù)減小，圖像向右平移;開(kāi)口向下時(shí)，一次項(xiàng)的系數(shù)增大，圖像向右平移，一次項(xiàng)的系數(shù)減小，圖像向左平移;一次項(xiàng)的系數(shù)為零時(shí)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.常數(shù)項(xiàng)就是圖像與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo).知道了如上知識(shí)，不難知道，本題中的二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)2，一次項(xiàng)系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為8，所以此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2x2+8.此題的技巧在于弄清并利用系數(shù)與圖像的關(guān)系.
二、用一般式求
例2 已知某二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(0，0)，(1，-6)和(2， -8).求此二次函數(shù)的關(guān)系式.
分析與解：此函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(0，0)，說(shuō)明其常數(shù)項(xiàng)為0，所以，可設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為：y=ax2+bx，把點(diǎn)(1，-6)和點(diǎn)(2，-8)代入得方程-6=a+b和-8=4a+2b，這二個(gè)方程組成方程組，解之可得：a=2，b=-8.所以此函數(shù)的表達(dá)式為y=2x2-8x.此方法的技巧是利用坐標(biāo)與圖像的關(guān)系，推出常數(shù)項(xiàng)為0，使列的方程組較簡(jiǎn)便.
三、用頂點(diǎn)式或兩根式求
例3 已知某二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1，0)，(5，0)和(3，8).求此二次函數(shù)的關(guān)系式.
1. 用頂點(diǎn)式求
分析與解：仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)，給出的三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1，3，5.其中3恰好在1和5的中間，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性可知，3就是它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，那么(3，8)就是它的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以此題也可用頂點(diǎn)式來(lái)求，設(shè)它的'關(guān)系式為：y=a(x-3)2+8.把點(diǎn)(1，0)代入得0=a(1-3)2+8 解此方程可得a=-2，所以此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-2(x-3)2+8，化為一般形式為y=-2x2+12x-10.此方法的技巧在于：利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)(3，8)是頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式求解，又快又對(duì).
2.用兩根式求
分析與解：仔細(xì)觀察還可發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)(1，0)，(5，0)都在x軸上，所以還可用兩根式求解，設(shè)y=a(x-1)(x-5)，把點(diǎn)(3，8)代入此關(guān)系式得8=a(3-1)(3-5)，解得a=-2，所以此二次函數(shù)關(guān)系式為y=-2(x-1)(x-5).化為一般形式為y=-2x2+12x-10 此方法的技巧是：仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)兩根，再用兩根式求解.
四、用實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系求
有些問(wèn)題無(wú)法用上面的方法求函數(shù)關(guān)系式，但是可利用題中的數(shù)量關(guān)系求出其函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)一步用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解.常見(jiàn)的有以下兩種情況.
1.有關(guān)商品銷(xiāo)售的問(wèn)題
例4 已知某商場(chǎng)銷(xiāo)售某商品，該商品的進(jìn)價(jià)是每件90元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若定價(jià)為每件100元，每天可售出500件，在此基礎(chǔ)上，價(jià)格每上漲1元，每天就少售出20件，求定價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最多?為多少元?
分析：本題無(wú)法用上面的關(guān)系求關(guān)系式，但可根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系求出二次函數(shù)關(guān)系式，本題中的數(shù)量關(guān)系是：日利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×日銷(xiāo)售的件數(shù).
解：設(shè)定價(jià)為每件x元時(shí)，日獲利為y元，由題意得：
y=(x-90)[500-20(x-100)]
=-20x2+4 300x-225 000
=-20(x-107.5)2+6 125
所以當(dāng)x=107.5時(shí)，y有最大值6 125，即每件定價(jià)為107.5元時(shí)，日獲利潤(rùn)最多，為6 125元.
2.有關(guān)面積的問(wèn)題
例5 用100米長(zhǎng)的籬笆，圍一個(gè)矩形雞舍，求長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，雞舍的面積最大，最大面積為多少平方米?
分析：此題根據(jù)長(zhǎng)×寬=面積.即可求出二次函數(shù)關(guān)系式.
解：設(shè)長(zhǎng)為x米時(shí)面積為y米.由題意得
y=(100÷2-x)x
=-x2+50x
=-(x-25)2+625
所以，當(dāng)長(zhǎng)為25米時(shí)，面積最大，最大面積為625平方米.此時(shí)，寬為100÷2-25=25米，即此時(shí)為正方形.
以上幾種方法和技巧，是求二次函數(shù)關(guān)系式常用的方法和技巧，學(xué)會(huì)上面的方法和技巧，做二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)會(huì)又快又對(duì)，望各位同學(xué)認(rèn)真學(xué)習(xí)以上方法和技巧，真正理解其精髓，達(dá)到能靈活運(yùn)用和熟能生巧的程度，那么您的中考成績(jī)肯定因?yàn)閷W(xué)習(xí)這篇文章而漲不少分?jǐn)?shù)的.這是我二十多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的精華，若能認(rèn)真研讀，肯定受益許多!
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