一道課本問題的變式訓練
北師大版教材九年級上冊第一章第二節(jié)提出問題“在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結論嗎?”，這是等腰三角形的性質(zhì)及三角形全等的知識的綜合應用，由于學生在七年級就接觸過這兩個知識點，故對學生來說掌握起來很容易，學生在課堂上的思維訓練沒能達到一定的高度，針對這種情況，筆者在授課的過程中對這一課本問題進行變式，使本節(jié)課的知識達到了一定的梯度，讓學生的思維產(chǎn)生了極大的碰撞，提高了學生的解題能力.現(xiàn)舉例如下：
變式一：如圖，D為等腰三角形ABC的底邊BC上任意一點，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，過點C作CM⊥AB于點M，那么DE、DF、CM之間存在怎樣的數(shù)量關系?并加以說明.
分析：首先引導學生大膽猜想三條線段的數(shù)量關系，學生很容易想到：CM=DE+DF.其次引導學生分析該問題屬于證線段的和差關系，應采用截長補短法.法一：截長法.可以過點C作CN⊥ED并交ED的'延長線于點N，易證四邊形MENC為矩形，可得EN=CM，欲證CM=DE+DF，只須證EN=DE+DF，而EN=DE+DN，故證DN=DF即可.通過證△DFC≌△DNC即可得到DN=DF.法二：補短法.過點D作DI⊥CM并交CM于點I，證CI=DF即可.法三：由于CM是等腰三角形的高，于是聯(lián)想到等積法.可連接AD，因為△ABC的面積等于AB•CM，△ABC的面積還等于AB•DE+AC•DF，又AB=AC，故CM=DE+DF.
通過此題，引導學生歸納出“到等腰三角形底邊上任一點到兩腰距離的和等于腰上的高”這一性質(zhì).
這是一道很常規(guī)的證線段的和差問題，學生想到方法一、二很容易，此題出彩點在引導學生想到等積法及歸納出等腰三角形的又一重要性質(zhì)，并應用該性質(zhì)解題，于是引出變式二、三.
變式二：點D是邊長為2的等邊三角形ABC的邊AB上任一點，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，那么DE+DF的值為_____________.
分析：這是某省市一道中考填空題.有了變式一的基礎，學生很容易知道求DE+DF的值就是求等邊三角形一邊上的高，再利用三線合一及勾股定理可求得DE+DF=.
解：過點B作BG⊥AC于G，連接CD.∵SABC=AC•BG，又∵SABC=AC•DF+BC•DE∴AC•BG=AC•DF+BC•DE，而AC=BC，故DE+DF=BG.
又∵等邊三角形三線合一可知G為AC的中點，∴AG=1.∴BG=.即DE+DF=.
變式三：在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD邊上任意一點，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為____________.
分析：此題是一道全國初中聯(lián)賽試題，在變式二的基礎上又有了一定的難度，分別求出PE、PF有困難，引導學生善于從復雜圖形中找到基本圖形，由矩形的對角線相等且平分知△AOD為等腰三角形，P為其底上任意一點，則P到兩腰的距離和等于腰上的高，故PE+PF的值等于BD邊上的高，則問題迎刃而解.
解：過點A作AI⊥BD于I，連接PO.
∵在矩形ABCD中有AO=DO，
∴△AOD為等腰三角形.
∵SAOD=OD•AI=AO•PF+DO•PE，∴PE+PF=AI.
又∵SABD=AB•AD=BD•AI，∴AI=，∵AD=12，AB=5，∴AI=，即PE+PF=.
通過這一組變式，學生既掌握了大綱要求本節(jié)課應掌握的等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的知識點，同時又回顧了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等積法、截長補短法等知識點，提高了學生歸納知識、綜合運用知識及知識遷移的能力，培養(yǎng)了學生從復雜圖形中抽象出基本圖形的能力，培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維.故恰當?shù)膶φn本問題進行變式對提高課堂效率、提高學生的解題能力不失為一種好辦法.
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