從高考試題分析函數(shù)教學(xué)思路
一、幾個(gè)高考案例
案例1：(06年四川高考文)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f ′(x)-ax-5，其中f ′(x)是的f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)對(duì)滿足-1≤a≤1的一切的值，都有g(shù)(x)<0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)設(shè)a=-m2，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn).
案例2：(07年四川高考文，本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx+c(a≠0)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x-6y-7=0垂直，導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的最小值為-12.
(1)求a，b，c的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f(x)在[-1，3]上的最大值和最小值.
案例3：(08年四川高考文，本小題滿分12分)設(shè)x=1和x=2是函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+1的兩個(gè)極值點(diǎn).
(1)求a和b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
案例4：(09年四川高考文，本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+2bx2+cx-2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y=5x-10.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+mx，若g(x)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值.
在連續(xù)四年的高考中都考到了高三選修內(nèi)容的函數(shù)求導(dǎo)、極值、單調(diào)性、最值、導(dǎo)數(shù)幾何意義(即導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是這一點(diǎn)切線的斜率).在考查這些知識(shí)的同時(shí)也考查這些知識(shí)的運(yùn)用能力，既考查了教材也考查了教材知識(shí)的運(yùn)用.函數(shù)求導(dǎo)作為數(shù)學(xué)的工具和基礎(chǔ)地位在這幾個(gè)案例中得到了充分的體現(xiàn)和重視，從復(fù)習(xí)的角度來(lái)看，我認(rèn)為高三文科在函數(shù)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做好以下工作.夯實(shí)求導(dǎo)和二次函數(shù)這兩個(gè)工具.
二、夯實(shí)求導(dǎo)這個(gè)工具
函數(shù)求導(dǎo)能解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、切線的斜率、最值等問(wèn)題.函數(shù)求導(dǎo)是數(shù)學(xué)和物理學(xué)的重要工具.在上述四個(gè)案例中都對(duì)函數(shù)的單調(diào)性，極值，切線的斜率和函數(shù)的最值都相當(dāng)重視，因此在高三的復(fù)習(xí)中一定要準(zhǔn)確把握和練習(xí)求導(dǎo)這個(gè)內(nèi)容.其重點(diǎn)有：
1.對(duì)教材中要求的公式進(jìn)行求導(dǎo)強(qiáng)化練習(xí)，如：(c)′=0，(xn)′=nxn-1，(cxn)′=cnxn-1，[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x)，[f(x)g(x)]=f ′(x)g(x)+g′(x)f(x).如上述四個(gè)案例首先涉及到的就是對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再在求導(dǎo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解.
2.利用f ′(x)的意義進(jìn)行解題練習(xí)
(1)f ′(x)>0所對(duì)應(yīng)的區(qū)間是f(x)的遞增區(qū)間，f ′(x)<0所對(duì)應(yīng)的區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間.充分運(yùn)用這一結(jié)論進(jìn)行函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解練習(xí).如上述案例2，本題的第(1)問(wèn)就是利用f ′(x)>0所對(duì)應(yīng)的區(qū)間是f(x)的遞增區(qū)間，利用f ′(x)<0所對(duì)應(yīng)的區(qū)間是f(x)的遞減區(qū)間這一結(jié)論來(lái)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的.
(2)f ′(x)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是這一點(diǎn)切線的斜率，利用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行切線斜率和切線的求解練習(xí)，同時(shí)利用切線的斜率或切線的方程對(duì)切點(diǎn)進(jìn)行求解，或?qū)瘮?shù)的解析式求解.如案例1的第(1)問(wèn)就是利用切線反向求解函數(shù)解析式的運(yùn)用.案例4的第(1)就是利用切線方程反向求試題中的參數(shù)，進(jìn)而進(jìn)一步進(jìn)解函數(shù)的解析式的.利用這一結(jié)論除了要把握導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是這一點(diǎn)切線的斜率外，還要注意這切點(diǎn)同時(shí)在原函數(shù)和切線上，即同時(shí)滿足原函數(shù)和切線的方程.
(3)當(dāng)f ′(x0)=0時(shí)，若f ′(x)的值在的左右取值的符號(hào)不同，則x0為f(x)的極值點(diǎn)，即f ′(x)在f(x)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是0，利用這一結(jié)論可以求解帶參數(shù)的函數(shù)的解析式，也可以求解函數(shù)的極值和最值.如案例1的第(2)問(wèn)就是利用切線反向求解函數(shù)解析式的運(yùn)用.案例3的第(1)問(wèn)就是例用在極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)的值為零這一結(jié)論求參數(shù)a和b的.
從上面的研究中我們不難發(fā)現(xiàn)，文科類的數(shù)學(xué)高考緊緊把握了教材要求的知識(shí)點(diǎn)：求導(dǎo)公式的要求，導(dǎo)函數(shù)的意義.并對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行正向和逆向的設(shè)計(jì)和考查，當(dāng)然我們?cè)谘芯恐羞�發(fā)現(xiàn)數(shù)在進(jìn)行求導(dǎo)以后，在很大程度上轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題.因此二次函數(shù)是高三函數(shù)復(fù)習(xí)的又一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).
三、強(qiáng)化二次函數(shù)的應(yīng)用
在文科數(shù)學(xué)高考大題求導(dǎo)后一般轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)，由于二次函數(shù)的內(nèi)容在初中作為重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)，在高中作為一個(gè)基本工具直接使用，這本身沒(méi)有任何問(wèn)題，但在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在掌握二次函數(shù)的內(nèi)容和解題方面都存在較大的困難.在高考的函數(shù)大題中通常是以二次函數(shù)作為出題的`背景來(lái)設(shè)計(jì)的，一般設(shè)計(jì)為三次含參求導(dǎo)，在求出解析式后，再圍繞極值，最值和單調(diào)性設(shè)置試題.因此二次函數(shù)的內(nèi)容是函數(shù)考察大題的基礎(chǔ)和工具，在復(fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)該引起足夠的重視.在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)就以下幾方面強(qiáng)化練習(xí)和應(yīng)用.
1.一元二次不等式的解法
形如ax2+bx+c類型的不等式的解法應(yīng)用.在化a為正的情況下，應(yīng)用大于(或大于等于)取兩邊，小于(或小于等于)取中間的原理進(jìn)行求解.特別注意?駐<0(判別式小于零)這種特屬情況的求解.一元二次不等式的解法是求導(dǎo)后求函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ).如案例2的第(2)問(wèn)，案例3的第(2)問(wèn).
2.一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的分布
一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的分布是求解是否存在極值點(diǎn)，有幾個(gè)極值點(diǎn)的基礎(chǔ)，也是求解極值或最值的基礎(chǔ).如案例1的第(2)問(wèn)，案例2的第(2)問(wèn)和案例4的第(2)問(wèn).
3.應(yīng)強(qiáng)化二次函數(shù)以下知識(shí)點(diǎn)的練習(xí)和應(yīng)用：
(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)-;
(2)對(duì)稱軸x=-;
(3)單調(diào)性：a>0時(shí)，對(duì)稱軸的左邊單遞減，對(duì)稱軸的右邊單調(diào)遞增;a<0時(shí)，對(duì)稱軸的左邊單遞增，對(duì)稱軸的右邊單調(diào)遞減;
(4)最值：a>0時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，在對(duì)稱軸處函數(shù)值最小;a<0時(shí)，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大，在對(duì)稱軸處函數(shù)值最大.
4.注意數(shù)形結(jié)合，在解題時(shí)借助直觀的圖形將問(wèn)題具體化和直觀化，協(xié)助學(xué)生理解和運(yùn)用.同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和解題方法.
函數(shù)是高考中分值最大的一部分內(nèi)容，內(nèi)容多，考題可深可淺，文科高三函數(shù)復(fù)習(xí)大題部分，只要把握了上述內(nèi)容，學(xué)生就會(huì)在高考中贏得先機(jī)，考出其理想成績(jī)，教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)就可以順利的進(jìn)行，從而使教學(xué)達(dá)到最佳的效果.
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