數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

　　論文關(guān)鍵詞：思維　滲透　思想方法　思維能力　契合點(diǎn)　創(chuàng)新意識

　　論文摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型（主要是方程、不等式或函數(shù)模型），（2）建立幾何模型（或函數(shù)圖象）解決有關(guān)方程和函數(shù)的問題。（3）與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。

　　推行素質(zhì)，培養(yǎng)面向新世紀(jì)的合格人才，使學(xué)生具有創(chuàng)新意識，在創(chuàng)造中學(xué)會學(xué)習(xí)，教育應(yīng)更多的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治.波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)變的過程中，對學(xué)生的考察，不僅考查基礎(chǔ)知識，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法；要求學(xué)生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點(diǎn)。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對學(xué)生進(jìn)行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。

　　數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。

　　“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，數(shù)形結(jié)合的思想，就是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，它是指把代數(shù)的精確刻劃與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象直觀相結(jié)合的一種思想方法。

　　數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型（主要是方程、不等式或函數(shù)模型），（2）建立幾何模型（或函數(shù)圖象）解決有關(guān)方程和函數(shù)的問題。（3）與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。

　　數(shù)形結(jié)合的思想方法，不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。

　　教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對數(shù)形結(jié)合思想的的主動應(yīng)用。

　　一、  滲透數(shù)形結(jié)合的思想，養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合分析問題的意識

　　每個(gè)學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計(jì)與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個(gè)學(xué)生的坐位等等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)與數(shù)軸，一對有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系，一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象，二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會。

　　如：直線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)也有無數(shù)個(gè)，因?yàn)樗鼈兊倪@個(gè)共性所以用直線上無數(shù)個(gè)點(diǎn)來表示實(shí)數(shù)，這時(shí)就把一條直線規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數(shù)軸。建立了數(shù)與直線上的點(diǎn)的結(jié)合。即：數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，每個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的點(diǎn)，建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系，由此讓學(xué)生理解了相反數(shù)、絕對值的幾何意義。建立數(shù)軸后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸來進(jìn)行有理數(shù)的比較大小，學(xué)生通過觀察、分析、歸納得出結(jié)論：通常規(guī)定右邊為正方向時(shí)，在數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的總大于左邊的，正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)。讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用。為下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想奠定基礎(chǔ)。

[1]      

　　例：根據(jù)所給圖形在下列橫線上填上合適數(shù)字，并說明理由：

　

      

　　-1--,--3---,---6--,----10--,--15----,--21----,---28--,--36---…… --- --在講解通過形來說明數(shù)的找規(guī)律問題中應(yīng)該從形中找數(shù)。如第一個(gè)圖形有一個(gè)小正方形，第二個(gè)圖形有三個(gè)小正方形，第三個(gè)圖形有六個(gè)小正方形，那么第四個(gè)圖形將有幾個(gè)小正方形呢？從前三個(gè)中尋找規(guī)律，第二個(gè)比第一個(gè)多兩個(gè)小正方形，第三個(gè)比第二個(gè)多三個(gè)小正方形，那么第四個(gè)就比第三個(gè)多四個(gè)小正方形，第四個(gè)圖形就有十個(gè)小正方形，第五個(gè)比第四個(gè)多五個(gè)小正方形，那么第五個(gè)就有十五個(gè)小正方形，依次類推，第六個(gè)圖形就有二十一個(gè)小正方形，第七個(gè)圖形就有二十八個(gè)小正方形，第八個(gè)圖形就有三十六個(gè)小正方形。那么上面的橫線上分別填上10、15、21、28、36，第n個(gè)圖形就應(yīng)該有1+2+3+4+5+6……+n= 個(gè)小正方形。這也體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。

　　例2:小明的父母出去散步，從家走了20分到一個(gè)離家900米的報(bào)亭，母親隨即按原速返回。父親看了10分報(bào)紙后，用了15分返回家。你能在下面的平面直角坐標(biāo)系中畫出表示父親和母親離家的時(shí)間和距離之間的關(guān)系嗎？

 

   [2]     

　　結(jié)合探索規(guī)律和生活中的實(shí)際問題，反復(fù)滲透，強(qiáng)化中的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意識。并能在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候注意一些基本原則，如是知形確定數(shù)還是知數(shù)確定形，在探索規(guī)律的過程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，從而歸納出一般性的結(jié)論。

　　二、學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)解決問題的靈活性，提高分析問題、解決問題的能力

　　在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)對象的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。

　　數(shù)形結(jié)合的結(jié)合思想主要體現(xiàn)在以下幾種：

　�。�1）用方程、不等式或函數(shù)解決有關(guān)幾何量的問題;

　　(2)用幾何圖形或函數(shù)圖象解決有關(guān)方程或函數(shù)的問題；（3）解決一些與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題；

　�。�4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。

　　例1：一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角余角的3倍，求這個(gè)角的度數(shù)。

　　解：設(shè)這個(gè)角為X⁰，則它的余角為（90⁰-x⁰）,它的補(bǔ)角為（180⁰-x⁰）根據(jù)題意得：

　　180⁰-x⁰=3（90⁰-x⁰）

　　解這個(gè)方程得：x⁰=45⁰

　　所以這個(gè)角為45⁰

　　例2：一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長為8m,寬為5m。如果地毯中央長方形圖案的面積為18m²,那么花邊有多寬?

　　

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    [3]    

　　如果設(shè)花邊的寬為xm,那么地毯中央長方形圖案的長_ (8-2x)_________m,寬為___(_5-2x)________m.根據(jù)題意，可得方程

　　______(8-2x)(5-2x)=18_______。

　　解這個(gè)方程得出x的值

　　這就是用方程的方法來解決有關(guān)幾何圖形的問題

　　例4：A、B 兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B 兩地相向而行。假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).

　　1 時(shí)后乙距A地120千米,

  　2 時(shí)后甲距A地 40千米.

　　問 經(jīng)過多長時(shí)間兩人相遇 ?                       

　�。鄯治觯菘梢苑謩e作出兩人s 與t 之間的關(guān)系圖象，

　　找出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就行了。

 

　　例5：下圖中 L₁ ，L₂ 分別表示 B 離岸起兩船相對于海岸的距離ｓ與追趕時(shí)間ｔ之間的關(guān)系。

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     [4]   

　　根據(jù)圖象回答下列問題：

　　當(dāng)時(shí)間t等于多少分鐘時(shí)，我邊防快艇B能夠追趕上A。

　　 SHAPE  \* MERGEFORMAT

　　分析：可先根據(jù)圖象給出的信息，確定L₁,L₂的函數(shù)表達(dá)式，然后把兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式組成方程組，解這個(gè)方程組就得到了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為所得結(jié)論。

解：由圖象知：直線L₂過點(diǎn)（0，6）和點(diǎn)（10，8）直線L₂過點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（10，6）設(shè)直線L₁的表達(dá)式為s=k₁t;直線L₂的表達(dá)式為s=k₂t+b

　　所以    10k₁=6      k₁=           s= t

      

　　 10k₂+b=8      

     b=6       10k₂+6=8   10k₂=2    k₂=  b=6

　　s= t+6

　　s= t                          t=15

             解這個(gè)方程組得：

　　S= t+6                         s=9

　　所以，當(dāng)時(shí)間t等于15分鐘時(shí)，我邊防快艇B能夠追趕上A  。 

　　由以上的幾個(gè)例子，我們可以看出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得直觀，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

　　利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的和時(shí)間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會使學(xué)生在認(rèn)識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。

　　參考文獻(xiàn)：

　　[1] 《全日制義務(wù)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》。北京師范大學(xué)出版社

　　[2] 《初中生學(xué)習(xí)法與能力培養(yǎng)》任勇

　　[3] 《2008年陜西中考全程》中考命題研究組

      [5] 

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