以根的分布為題設的線性規(guī)劃問題

時間：2023-03-01 07:18:43 數學畢業(yè)論文我要投稿

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　　【論文關鍵詞】根的分布線性規(guī)劃交匯題

　　【論文摘要】由2007年高考全國卷 = 2 \* ROMAN II（文）第22題看出，我們可以構造一類函數與線性規(guī)劃的交匯題——以根的分布為題設的線性規(guī)劃問題. 這是因為函數在區(qū)間端點的函數值，是討論一元二次方程區(qū)間根的重要參數.由于是關于、、的一次表達式，這就為構造以一元二次方程根的分布為題設的線性規(guī)劃問題創(chuàng)造了條件，同時也符合高考在知識網絡的交匯點處命題的思想.近兩年的高考題、模擬題中以一元二次方程根的分布為題設的線性規(guī)劃問題的常見變式有以下三種：變式一：由函數問題導出根的分布特征的線性規(guī)劃問題；變式二：以根的分布為題設的非線性規(guī)劃問題；變式三：由函數問題導出根的分布特征的非線性規(guī)劃問題.

　　【正文】

　　題目（2007年全國卷Ⅱ，文22）已知函數在處取得極大值，在處取得極小值，且 .（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求的取值范圍.

　　解函數的導數．

　�。á瘢┯珊瘮� 在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個根．

　　所以

　　當時，為增函數，，由，得．

　　（Ⅱ）在題設下，等價于

　　即

　　此不等式組表示的區(qū)域為圖1中的陰影區(qū)域，不難求得 .

[1]

　　評注由這道題看出，我們可以構造一類函數與線性規(guī)劃的交匯題——以根的分布為題設的線性規(guī)劃問題.本題的特征是已知含有兩個參數的三次函數極值點范圍，求關于這兩個參數的線性目標函數的值域.由于三次函數的導函數為二次函數，已知三次函數極值點的范圍，亦即給出了二次導函數根的分布區(qū)間，于是便可得到參數的線性約束條件，從而構造出線性規(guī)劃問題.

　　一般地，解決一元二次方程根的分布問題可按如下三個步驟進行：

　　第一步：分析的符號.

　　若，則方程無實根；

　　若，則方程有兩等根；

　　若，則方程有兩不等實根.

　　第二步：當時，討論函數在區(qū)間端點的函數值符號.

　　若，則方程的兩根在的異側，即；

　　若，則方程的兩根在的同側，即 .

　　第三步：當時，再討論對稱軸與區(qū)間端點的位置關系.

　　若，則方程的兩根在的左側，即；

　　若，則方程的兩根在的右側，即 .

　　由上述解法可以看出，函數在區(qū)間端點的函數值，是討論一元二次方程區(qū)間根的重要參數.由于是關于、、的一次表達式，所以根據方程區(qū)間根列出的不等式，往往是關于、、的線性約束條件，這就為構造以一元二次方程根的分布為題設的線性規(guī)劃問題創(chuàng)造了條件，同時也符合高考在知識網絡的交匯點處命題的思想.

　　由于高考強調“以能力立意”，因此，我們看到的高考題往往是這類問題的拓展與改造，如將線性規(guī)劃問題改為非線性規(guī)劃問題，或由函數問題引出一元二次方程根的分布特征.現(xiàn)結合近兩年的高考題、模擬題談談以一元二次方程根的分布為題設的線性規(guī)劃問題的常見變式及其解法.

　　變式1 由函數問題導出根的分布特征的線性規(guī)劃問題.

　　2007年高考全國卷 = 2 \* ROMAN II（文）第22題就是這類題型.

[2]

　　變式2 以根的分布為題設的非線性規(guī)劃問題.

　　例1 （2006年北京西城區(qū)抽樣測試，理）已知方程的兩根為，，并且，則的取值范圍是（）

　　A. B. C. D.

　　解設，則有：

　　即

　　表示圖2中陰影區(qū)域內的點與點(0,0)連線的斜率.

　　不難得到 .

　　故選D.