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數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法子 的摸索
內(nèi)容提要：本文偏重論述了中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教學(xué)中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法子 的摸索從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度、數(shù)學(xué)本身的角度、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度、數(shù)學(xué)內(nèi)容的性質(zhì)角度等四個方面如何實行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法子 的領(lǐng)導(dǎo)談?wù)勛约旱恼J識。
要害詞：數(shù)學(xué) 學(xué)法 角度 摸索
近幾年來，旨在教會學(xué)生會學(xué)習(xí)、進步學(xué)生自學(xué)能力 的學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)的鉆研和實踐已是根基教導(dǎo)革新的一個熱門 課題。這一課題的提出和鉆研，不僅對當(dāng)前進步根基教導(dǎo)質(zhì)量、實行素質(zhì)教導(dǎo)具有現(xiàn)實意義，而且對培植未來社會發(fā)展所需要 的人才、增進科教興國具有歷史意義。隨著社會、經(jīng)濟、科技的高速發(fā)展，數(shù)學(xué)的利用越來越廣，地位 越來越高，作用越來越大。不僅如此，數(shù)學(xué)教導(dǎo)的實踐和歷史還表明，數(shù)學(xué)作為一種文化，對人的全面素質(zhì)的進步具有龐大的影響。因此，進步根基教導(dǎo)中的數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，就顯得尤為首要。可目前由于受“應(yīng)試教導(dǎo) ”的影響，數(shù)學(xué)教學(xué)中違抗教導(dǎo)規(guī)律的現(xiàn)象和做法時有產(chǎn)生，為此更新數(shù)學(xué)教學(xué)思想、完善 數(shù)學(xué)教學(xué)法子 就顯得更加急迫。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，開展學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)，正是革新數(shù)學(xué)教學(xué)的一個突破口。
一、對數(shù)學(xué)教學(xué)如何實行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法子 的領(lǐng)導(dǎo)，人們進行了許多有益的摸索和實驗 。首先是通過觀察、調(diào)查，歸納總結(jié)了中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的問題，如“學(xué)習(xí)懶惰，不肯動腦；不訂企圖 ，慣性運轉(zhuǎn)；漠視預(yù)習(xí)，坐等上課；不會聽課，事倍功半；逝世記硬背，機械模仿 ；不懂不問，一知半解；不重根基，好高騖遠；趕做作業(yè)，不會自學(xué)；不重總結(jié)，鄙棄復(fù)習(xí) ”等等。針對這些問題，提出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)的道路和法子 ，如數(shù)學(xué)全程滲透式（將學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)滲透于制定企圖 、課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí) 、獨立作業(yè)、學(xué)習(xí)總結(jié)、課外學(xué)習(xí)等各個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)之中）；建立 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)慣例（課堂慣例 ———情境美，參與高，求精彩，求效率 ；課后慣例 ———認真讀書，收拾筆記，沉思熟慮，勇于質(zhì)疑；作業(yè)慣例 ———先復(fù)習(xí) ，后作業(yè)，字跡明確，表述規(guī)范，盤算正確 ，填好《作業(yè)檢測表》，重做錯題）等等。誠然，這對于端正學(xué)習(xí)態(tài)度、養(yǎng)成學(xué)習(xí)習(xí)慣、進步學(xué)業(yè)成績 、優(yōu)化學(xué)習(xí)品德，采勸對癥下藥”的策略，開展對學(xué)習(xí)慣例的領(lǐng)導(dǎo)，無疑會收到較好的效果 。但是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法子 的領(lǐng)導(dǎo)，決不能漠視數(shù)學(xué)所特有的學(xué)習(xí)法子 的領(lǐng)導(dǎo)�？梢哉f，這才是數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)之內(nèi)核和要害 。也就是說，數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)該當(dāng)偏重領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生學(xué)會了解數(shù)學(xué)知識、學(xué)會解決數(shù)學(xué)問題、學(xué)會數(shù)學(xué)地思維、學(xué)會數(shù)學(xué)交換、學(xué)會用數(shù)學(xué)解決實際問題等。有鑒于此，筆者首要從“數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”起程，來闡釋數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法子 ，論述 數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)。
二、從數(shù)學(xué)的角度起程，就是要考查。關(guān)數(shù)學(xué)的特性于數(shù)學(xué)的特性，雖仍有爭議，但傳統(tǒng)或者說對比科學(xué)的提法仍是３條：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和利用的廣泛 性。
１．?dāng)?shù)學(xué)鉆研的對象原本是現(xiàn)實的，但由于數(shù)學(xué)僅從空間情勢與數(shù)量關(guān)系方面來反響客觀現(xiàn)實，所以數(shù)學(xué)是逐級抽象的產(chǎn)物。比如三角形形狀的實物模型隨處可見，多種多樣，名目繁多，但數(shù)學(xué)中的“三角形”卻是一種抽象的思維情勢（概念），撇開了人們常見的各種三角形形狀實物的諸多性質(zhì)（如天然屬性、物理性質(zhì)等）。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首當(dāng)其沖的是要學(xué)習(xí)抽象。而抽象又離不開概括，也離不開對比和分類，可以說對比、分類、概括是抽象的根基和前提。比如，要從已經(jīng)過抽象得出的物體運動 速度ｖ＝ｖ０＋ａｔ、產(chǎn)品的成本ｍ＝ｍ０＋ａｔ、金屬加熱引起的長度變更ｌ＝ｌ０＋ａｔ中再次抽象出一次函數(shù)ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，顯然要經(jīng)過對比（它們的異同）和概括（它們的共同特點）。根據(jù) 數(shù)學(xué)高度抽象性的特性，數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)要強調(diào)對比、分類、概括、抽象等思維法子 的領(lǐng)導(dǎo)。
２．?dāng)?shù)學(xué)結(jié)論的可靠性有其嚴峻的請求，觀察和實驗 不能作為論證的根據(jù)和法子 ，而是要經(jīng)過邏輯推理（表現(xiàn) 為證明或盤算），方能得以承認。比如，“三角形內(nèi)角和為１８０°”這個結(jié)論，通過測量的法子 是不能確立的，唯有在歐氏幾何系統(tǒng)中經(jīng)過數(shù)學(xué)證明才干確定其正確 性（斷定性）。在數(shù)學(xué)中，只有通過邏輯證明和符合邏輯的盤算而得到的結(jié)論，才是可靠的。事實上，任何數(shù)學(xué)鉆研都離不開證明和盤算，證明和盤算是極其首要的數(shù)學(xué)運動，而通常所說的“數(shù)學(xué)思想法子 往往是數(shù)學(xué)中證明和盤算的法子 。探求數(shù)學(xué)問題的解法也就是尋找相應(yīng)的證明或盤算的具體法子 。從這一點上來說，證明或盤算是任何一種數(shù)學(xué)思想法子 的組成部分，又是任何一種數(shù)學(xué)思想法子 的目標 和表述情勢 ”。又由于證明和盤算首要依賴的是歸納與演繹、分析 與綜合，所以根據(jù) 數(shù)學(xué)邏輯的嚴謹性特性，數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)要器重歸納法、演繹法、分析 法、綜合法的領(lǐng)導(dǎo)。
３．由于任何客觀對象都有其空間情勢和數(shù)量關(guān)系，因而從理論上說以空間情勢與數(shù)量關(guān)系為鉆研對象的數(shù)學(xué)可以利用于客觀世界的一切領(lǐng)域 ，即可謂宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。利用數(shù)學(xué)解決問題，不但首先要提出問題，并用明確 的語言加以表述，而且要建立 數(shù)學(xué)模型，還要對數(shù)學(xué)模型進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證，對數(shù)學(xué)效果進行檢驗和評價。也就是說，數(shù)學(xué)之利用，它不僅表現(xiàn) 為一種工具，一種語言，而且是一種法子 ，是一種思維模式。根據(jù) 數(shù)學(xué)利用的廣泛 性特性，數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)還要領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生建立 和操作數(shù)學(xué)模型，以及進行檢驗和評價。
三從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度起程，就是要通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程的考查，引申出數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)的內(nèi)容和策略。關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷程，對比新鮮的觀點是：“在原有行徑結(jié)構(gòu) 與認知結(jié)構(gòu) 的根基上，或是將環(huán)境對象納入其間（同化），或是因環(huán)境作用而引起原有結(jié)構(gòu) 的轉(zhuǎn)變（順應(yīng)），于是形成新的行徑結(jié)構(gòu) 與認知結(jié)構(gòu) ，如此不斷往復(fù)，直達到成相對的適應(yīng)性平衡”。通過對這一認識的分析 和了解，就數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)而言，可概括出以下３點：
１．行徑結(jié)構(gòu) 既是學(xué)習(xí)新知的目標和效果，又是學(xué)習(xí)新知的根基，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中亦需重視外部行徑結(jié)構(gòu) 形成的領(lǐng)導(dǎo)。由于這種外部行徑首要包孕外部實物操作和外部符號（首要是語言）運動，所以在數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)中，一要器重學(xué)具的操作（可請求學(xué)生盡可能多地制作 學(xué)具，操作學(xué)具）；二要器重學(xué)生的言語表達（給學(xué)生盡可能多地供給言語交換的時機，可以是教師與學(xué)生間的交換，也可以是學(xué)生與學(xué)生之間的交換）。
２．認知結(jié)構(gòu) 同樣既是學(xué)習(xí)新知的目標和效果，也是學(xué)習(xí)新知的根基，故而數(shù)學(xué)教學(xué)要加強 數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu) 形成的領(lǐng)導(dǎo)。所謂數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu) ，是指學(xué)生腦子中的知識結(jié)構(gòu) 按自己的了解深度、廣度，聯(lián)合自己的感到、知覺、記憶、思維等認知特性，組合成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu) 。因此，對于學(xué)生形成數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu) 的領(lǐng)導(dǎo)，要害在于不斷地進步所浮現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗的結(jié)構(gòu) 化程度 。在數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)中，須注意如下幾點：①加強 數(shù)學(xué)知識間接洽的教學(xué)。無論是新知識的引入和了解，還是鞏固和利用，尤其是知識的復(fù)習(xí) 和收拾，都要從知識間的接洽起程。②器重數(shù)學(xué)思想的發(fā)掘和滲透。由于數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)的本色的認識，因而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu) 建立 的根基。常見的數(shù)學(xué)思想有：符號思想、對應(yīng)思想、數(shù)形聯(lián)合思想、歸納思想、公理化思想、模型化思想等等。③重視數(shù)學(xué)法子 的明晰教學(xué)。數(shù)學(xué)法子 作為解決問題的手法，是建立 數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu) 的橋梁。常見的數(shù)學(xué)法子 有：化歸法、結(jié)構(gòu)法、參數(shù)法、變換法、換元法、配法子 、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等。
３．在原有行徑結(jié)構(gòu) 與認知結(jié)構(gòu) 的根基上，無論是通過同化，還是通過順應(yīng)來獲得新知，必須 是在一種學(xué)習(xí)機制的作用下方能實現(xiàn)。而這種學(xué)習(xí)機制首要就是對學(xué)習(xí)新知歷程的監(jiān)控和調(diào)節(jié)，即所謂的元學(xué)習(xí)。本色上，能否會學(xué)，要害就在于這種學(xué)習(xí)是否建立 起來。于是，元學(xué)習(xí)的領(lǐng)導(dǎo)又成為數(shù)學(xué)法子 領(lǐng)導(dǎo)的首要內(nèi)容。為此，在數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)中，需要 注意：①要傳授程序性知識和情境性知識。程序性知識即是對數(shù)學(xué)運動法子 的概括，如遇到一個數(shù)學(xué)證明題該先干什么，后干什么，再干什么，就是所謂的程序性知識。情境性知識即是對具體數(shù)學(xué)理論或技術(shù)的利用背景和條件的概括，如控制換元法的具體步驟，獲得換元技術(shù)，了解在什么條件下利用換元法更有效，就是一種情境性知識。②盡可能讓學(xué)生領(lǐng)會 影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)認知）的各種因素。比如，學(xué)習(xí)材料 的浮現(xiàn)法子 是文字的、字母的，還是圖形的；學(xué)習(xí)任務(wù) 是盤算、證明，還是解決問題，等等。這些學(xué)習(xí)材料 和學(xué)習(xí)任務(wù) 方面的因素，都對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生 影響。③要充沛揭示數(shù)學(xué)思維的歷程。比如，揭示知識的形成歷程、思路的產(chǎn)生 歷程、嘗試摸索歷程和偏差糾正 歷程。④贊助 學(xué)生進行自我診斷，明確 其自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點。比如：有的學(xué)生長于代數(shù)，而認知幾何較差；有的學(xué)生記憶力較強而了解力較弱；還有的學(xué)生口頭表達不如書面表達等。⑤領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)運動進行評價。如評價問題了解的正確 性、學(xué)習(xí)企圖 的可行性、解題程序的簡捷性、解題法子 的有效性等諸多方面。⑥贊助 學(xué)生形成自我監(jiān)控的意識。如監(jiān)控認知方向意識、認知歷程意識和調(diào)節(jié)認知策略意識等等。
四根據(jù) 數(shù)學(xué)內(nèi)容的性質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)一般可分為概念教學(xué)、命題（首要有定理、公式、法則、性質(zhì)）教學(xué)、例題教學(xué)、習(xí)題教學(xué)、總結(jié)與復(fù)習(xí) 等５類。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)的實行亦需分辨 落實到這５類教學(xué)之中。這里僅就例題教學(xué)中如何實行數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)談?wù)勛约旱恼J識。
１．根據(jù) 學(xué)生的學(xué)情布置例題。如前所述，學(xué)習(xí)新知必須 建立 在已有的根基之上，從內(nèi)容上講，這個根基既包孕知識根基，又包孕認知程度和認知能力 ，還包孕學(xué)習(xí)興趣 、認知意識，乃至學(xué)習(xí)態(tài)度等有關(guān)學(xué)習(xí)動力系統(tǒng) 方面的籌辦。因此，無論是選配例題，還是布置例題，都要考慮 到學(xué)生的學(xué)習(xí)情況 ，尤其是要考慮 激發(fā)學(xué)生認知興趣 和認知需求的原則（稱之為動機原則）。在例題選配和布置中，可采納增、刪、調(diào)的策略，力求既突出重點，又符合學(xué)生的學(xué)情。所謂增，即根據(jù) 學(xué)生的認知缺點增補鋪墊性例題，或者為突破某個難點增加過渡性例題。所謂刪，即根據(jù) 學(xué)生情況 ，刪去對比簡略的例題或請求過高的難題。所謂調(diào)，即根據(jù) 學(xué)生的實際程度，將后面的例題調(diào)至前面先教，或者將前面的例題調(diào)到后面后教。
２．根據(jù) 學(xué)習(xí)目標 和任務(wù) 精選例題。例題的作用是多方面的，最根基的莫過于了解知識，利用知識，鞏固知識；莫過于訓(xùn)練數(shù)學(xué)技術(shù)，培植數(shù)學(xué)能力 ，發(fā)展數(shù)學(xué)觀念。為施展例題的這些根基作用，就要根據(jù) 學(xué)習(xí)目標 和任務(wù) 選配例題。具體的策略是：增、刪、并。這里的增，即為突出某個知識點、某項數(shù)學(xué)技術(shù)、某種數(shù)學(xué)能力 等重點內(nèi)容而增補強化性例題，或者根據(jù) 接洽社會發(fā)展的需要 ，增加補充 性例題。這里的刪，即指刪去那些作用不大或者過時的例題。所謂并，即為突出某項內(nèi)容把單元內(nèi)前后的幾個例題合并為一個例題，或者為突出知識間的接洽打破單元界限 而把不同內(nèi)容的例題綜合在一起。
３．根據(jù) 解題的心理歷程設(shè)計例題教學(xué)程序。遵守波利亞的解題理論，一般把解題歷程分為弄清問題、擬定企圖 、實現(xiàn)企圖 、回首等４個階段。這是針對解題歷程本身而言的。但就解題教學(xué)來說，還該當(dāng)增加一個步驟，也是重要環(huán)節(jié)，即要使學(xué)生“進入問題情境”，讓學(xué)生產(chǎn)生 一種認知的需要 。對于“進入問題情境”環(huán)節(jié)，請求教師用簡短的語言，在承上啟下中，提出學(xué)習(xí)目標 ，明確 學(xué)習(xí)任務(wù) ，激起認知沖突。而對其余４個環(huán)節(jié)，教師的行徑可按波利亞的“怎樣解題表”中的請求去構(gòu)思。一般教師和學(xué)生都能夠注意做到做好前３個環(huán)節(jié)，卻容易漠視“回首”環(huán)節(jié)。嚴峻說來，回首環(huán)節(jié)對解題能力 的進步，對例題教學(xué)目標的實現(xiàn)起著不可替代的作用。對回首環(huán)節(jié)來講，除波利亞提出的幾條以外，更為首要的是對解題法子 的概括和反思，并使其能遷移到其它問題的解決之中。
４．根據(jù) 數(shù)學(xué)法子 領(lǐng)導(dǎo)的目標和內(nèi)容適度調(diào)劑例題。通常，人們根據(jù) 問題的條件（Ａ）、解決的歷程（Ｂ）及問題的結(jié)論（Ｃ）的情況 把數(shù)學(xué)題劃分為標準 題和非標準 題兩大類：如果條件和結(jié)論都明確 ，學(xué)生也熟知解題歷程（即Ａ、Ｂ、Ｃ三要素全已知），這種題為標準 題（記為ＡＢＣ）；Ａ、Ｂ、Ｃ三要素中短缺一個或兩個要素的題則為非標準 題。如果分辨 用Ｘ、Ｙ、Ｚ表現(xiàn)對應(yīng)于Ａ、Ｂ、Ｃ的未知成分，則非標準 題的題型（計６種）可表現(xiàn)為：ＡＢＺ，ＡＹＣ，ＸＢＣ，ＡＹＺ，ＸＢＺ，ＸＹＣ。數(shù)學(xué)教材中的例題大多數(shù)是ＡＢＣ型和ＡＢＺ型，有部分的ＡＹＣ型和極少數(shù)的ＡＹＺ型。由于數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)的一項首要任務(wù) 是教學(xué)生會抽象、概括、歸納、演繹，會數(shù)學(xué)地思考和交換，會分析 問題和解決問題，因而例題教學(xué)要特別 重視教材中短缺的幾種類型題的教學(xué)。其中最為首要的是“開放性題”（ＡＢＺ型和ＡＹＺ型例題中，Ｚ不唯一）和“數(shù)學(xué)問題解決”中所指出的“數(shù)學(xué)利用題”（ＡＹＣ型及ＡＹＺ型中所涉及的主題是數(shù)學(xué)以外的內(nèi)容）。對于“開放性題”，由于它的結(jié)論不唯一，對培植學(xué)生數(shù)學(xué)思維有著至關(guān)首要的作用。對于“數(shù)學(xué)利用題”，則由于它的解決要用數(shù)學(xué)模型法，因而對培植學(xué)生運用 分析 問題和解決問題的法子 是十分首要的。從數(shù)學(xué)學(xué)法領(lǐng)導(dǎo)的角度來說，適度調(diào)劑例題很有必要。調(diào)劑的策略有二：一是改，即將已有的題型變換為別的題型；二是增，即增加與知識點有關(guān)的“開放性題”和“數(shù)學(xué)利用題”。
５．重視對例題的全方位反思。例題的作用是多方面的，除上文提到的幾點外，例題教學(xué)還具有傳授新知識，積累 數(shù)學(xué)經(jīng)驗，完善 數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)
參考文獻：
1、曲培富《數(shù)學(xué)教學(xué)中“教為主導(dǎo)、學(xué)為主體”的認識與實踐》（《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》1993年第1期）
2、肖柏榮《數(shù)學(xué)教導(dǎo)設(shè)計的藝術(shù)》（《數(shù)學(xué)通報》 1996年10月）
3、馮克誠《中學(xué)數(shù)學(xué)鉆研：3+x中學(xué)成功 學(xué)法系統(tǒng)》（內(nèi)蒙古出版社，2000年9月）
4、皮連生《學(xué)與教的心理學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社 1997年）
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