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數(shù)學開放題的教育價值與設計藝術
摘 要：數(shù)學開放題有利于學生根據(jù)自己的認知結(jié)構(gòu)對問題作出解釋，實現(xiàn)對知識的主動建構(gòu)，獲得認知結(jié)構(gòu)的改造和重組。由于數(shù)學開放題強調(diào)了學生獲得解答的過程，體現(xiàn)了學生在教學活動中的真正主體地位，從而極大地提高了學生的學習積極性，是克服“灌輸式”教學傾向的解藥。因此，對廣大數(shù)學教師的教學經(jīng)驗進行總結(jié)，主動接受建構(gòu)主義教學理論的指導，構(gòu)建中國式的數(shù)學開放題及其教學模式是對學生進行素質(zhì)教育的一種有效途徑。
關鍵詞：數(shù)學；數(shù)學開放題；開放題的研究；教育價值與設計藝術。
傳統(tǒng)的教師中心“遺傳”基因，直到今天依然存在，而且嚴重地影響著數(shù)學教師的教
學觀念，影響著數(shù)學教育的發(fā)展。
近年來，數(shù)學開放題作為一個具有時代特色的數(shù)學教育改革的亮點，已日益引起我國數(shù)學教育界的注意，逐漸形成為數(shù)學教學改革的一個熱點。1998年的全國高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學試題里“開放題”居然也堂皇入室。
一、何謂開放題？
（1）開放題是指那些答案不唯一，并在設問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的問題。 （2）開放題并不是普通的數(shù)學問題，而是為了達到一定的教育目的而精心編制設計的數(shù)學問題。
一道數(shù)學題的開放性（開放度）在很大程度上取決于這道題采用何種設問方式。即使是一道傳統(tǒng)的封閉性數(shù)學題，也可以通過改變其設問方式而將其改編為具有開放性的習題。要求學生進行多方面、多角度、多層次探索是一種“開放性的解題要求”，通常使用“試盡可能多地……”一類的詞語來提出，它對學生具有“鼓勵參與，激勵優(yōu)化，追 求卓越”的作用。
二、為何研究開放題
目前人們普遍認為素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，而開放題教學是推進數(shù)學素質(zhì)教育的一個切入點和突破口。開放題給學生進行創(chuàng)造性學習提供了寬松、自由的環(huán)境，它的作用體現(xiàn)在以下幾個方面：
1、開放題的教育作用：
① 發(fā)散性 學生必須打破原有的思維模式，展開聯(lián)想和想象的翅膀，從多角度、多方位、多層次進行探討，其思維方向和模式的發(fā)散性有利于創(chuàng)造性能力的形成。
② 探索性 因為開放題易使學生形成原有認知結(jié)構(gòu)和新認知結(jié)構(gòu)的沖突，學生必須通過順應來主動建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu)，因而有利于培養(yǎng)他們的探索意識和創(chuàng)新精神。
③ 趣味性 開放題獨特的敘述方式、寬松的解題環(huán)境和極富挑戰(zhàn)性的解題策略，為學生在迫切要求下進行數(shù)學學習創(chuàng)造了條件，有利于激發(fā)學生的好奇心和好勝心，增強了學習的內(nèi)驅(qū)力，對數(shù)學探索產(chǎn)生濃厚興趣。
④ 多樣性 在開放題教學中，既要有學生獨立思考的個體活動，還需有師生之間、學生之間的合作、討論、交流的群體活動。開放題答案的多樣性，使得其最終的解決只靠個人的力量在有限的時間內(nèi)難以完成，需要依靠集體的智慧和群體的力量。
⑤ 主體性 開放題教學是以學生為中心，有利于保障學生的主體地位，使學生真正成為學習的主人。
⑥ 競爭性 開放題解答的多樣性和差異性，使其有了優(yōu)與劣、多與少、簡與繁的區(qū)別。也正是這種差異的存在，激發(fā)了學生的好勝心，使競爭意識悄然地滲入學生的頭腦，把競爭機制引入開放題的課堂教學。
⑦ 創(chuàng)造性 在開放題的解答過程中，沒有固定的、現(xiàn)成的模式可循，靠死記硬背、機械模仿找不到問題的解答，學生必須充分調(diào)動自己的知識儲備，積極開展智力活動，用多種思維方法（如聯(lián)想、猜測、直覺、類比，等等）進行思考和探索，因而開放題是提高學生創(chuàng)造能力的有效工具，是培養(yǎng)創(chuàng)造人才的搖籃。
2、開放題的轉(zhuǎn)化作用：
（1）開放題對教師觀念的轉(zhuǎn)變： 開放題的出現(xiàn)以及對其教育功能的肯定，一方面反映了人們數(shù)學教育觀念的轉(zhuǎn)變；另一方面適應了飛速發(fā)展的時代的需要。實際上反映了人們對于數(shù)學教學新模式的追求，是人們站在新時代歷史的高度上對數(shù)學教育改革的新探索。
① 觀念轉(zhuǎn)變的原因：
a.當技術的發(fā)展已使社會數(shù)學化，數(shù)學的應用已滲透到開放社會的各個方面的時候，我們不應滿足于陳舊的、封閉的教學方法。
b.數(shù)學不能僅僅理解為一門演繹科學，數(shù)學還有其更重要的一面，即它是一門非邏輯的、生動的、有豐富創(chuàng)造力的科學。
c.數(shù)學教學是學生創(chuàng)新活動的過程，僅僅靠教師的傳授，不能使學生獲得真正的數(shù)學知識。
d.在數(shù)學教學活動中，學生是教學認知的主體，沒有學生的積極參與就沒有名副其實的教學活動，教師的作用主要體現(xiàn)在他是教學活動的組織者、指導者和鼓勵者。
② 觀念轉(zhuǎn)變的內(nèi)容：
a.我國教育部基礎教育司明確指出：“課程是一個歷史范疇，課程目標、課程結(jié)構(gòu)、課程內(nèi)容都將隨著時代的發(fā)展而變革。”“教科書”應體現(xiàn)科學性、基礎性和開放性。
b.開放題課堂教學中的數(shù)學觀即對數(shù)學本質(zhì)的認識，教師的數(shù)學觀直接影響著他的教學觀。如果教師能用動態(tài)的、全面的觀點來理解數(shù)學，那么他所采用的教學方法就會是啟發(fā)式的，其教學觀就是以學生為中心。
（2）開放題對教師角色的轉(zhuǎn)變： 在開放題教學中，教師的角色定位，即在教學過程中，教師不是教學活動的主角，而是“編劇”和“導演”；不是知識的傳授者，而是教學內(nèi)容和教學活動的設計者、促進者、示范者、組織者、調(diào)控者。
在開放題教學中，應特別強調(diào)的是教師除要具備傳統(tǒng)意義上的那些專業(yè)素質(zhì)外，還應具有創(chuàng)造能力（尤其是進行創(chuàng)造教學的能力）和自覺反省自身數(shù)學觀、教育價值觀和教學觀的意識。
三、開放題的特點
① 問題的條件常常是不完備的；
② 問題的答案是不確定的，具有層次性。
③ 問題的解決策略具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性。
④ 問題的研究具有探索性和發(fā)展性。
⑤ 問題的教學具有參與性和學生主體性。由于開放題沒有固定的標準答案，這就使教師在課堂教學中難以使用“灌輸式”的教學方法，學生主動參與解題活動不但成為可能，而且是非常自然和必要的。一些學生希望老師與學生一起來分享這種成功的喜悅，任何一個好教師都不會壓制學生的這種愿望，這就使課堂教學自然地走向了以學生主動參與為主要特征的開放式的教學。案例：設計花壇。
四、開放題的分類
（1）設計條件的開放 傳統(tǒng)的答題模式多數(shù)是條件與結(jié)論——對應的定式訓練，解題時不必考慮條件的由來。然而現(xiàn)實生活中人們得到的信息對于某個具體問題而言絕大多數(shù)是無用的，必須善于從大量信息中篩選出有用的信息。因此有意設計一些條件過剩或不足的開放題會更好地完善學生的認知結(jié)構(gòu)。若設計成求一個三角形面積（單位：分米），則效果不大一樣。
（2）設計結(jié)論的開放 這類題的條件和問題都很明確，而結(jié)論卻不惟一，具有發(fā)散性和多面性。例如：將“如一把木塊平均分成三塊完全一樣的長方體后表面積增加了多少（單位：厘米）”的常規(guī)題去掉圖中虛線，則成結(jié)論開放題。
（3）設計策略的開放 這類題解題思路多種多樣。教學時應充分利用其開放功能，引導學生多角度地進行分析思考，以培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和靈活性。
五、開放題的功能
美國加里福尼亞教育部指出了開放性問題的五個功能：
1、開放性問題為學生提供了自己進行思考并用他們自己的數(shù)學觀念來表達的機會，這和他們在數(shù)學學習中的發(fā)展是一致的。
2、開放性的問題要求學生構(gòu)建他們自己的反映而不是選擇一個簡單的答案。
3、開放性問題允許學生表達他們對問題的深層次的理解，這在多項選擇中是無法做到的。
4、開放性問題鼓勵學生用不同的方法去解決問題，反過來要求老師用不同的方法解釋數(shù)學概念。
5、開放性問題的模式是數(shù)學課堂教學的基本成份。
六、開放題的教育價值觀
開放題作為一種具有特殊形式的數(shù)學問題，與一般的數(shù)學問題一樣,也具有知識教育價值。開放題最突出的、人們談論最多的是：它有利于培養(yǎng)學生發(fā)散思維和創(chuàng)造能力。這也是開放題教育價值最核心的內(nèi)容和最主要的體現(xiàn)。目前人們普遍認為素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力，而開放題教學是推進數(shù)學素質(zhì)教育的一個切 入點和突破口。這從一個側(cè)面反映了開放題在培養(yǎng)創(chuàng)造能力方面所具有的巨大教育價值。
從結(jié)構(gòu)形式上看，開放題具有組成要素的非完備性和解題答案的不確定性；從解答過程和解題策略看，開放題具有發(fā)散性、探究性、層次性、發(fā)展性、創(chuàng)新性等特性。開放題的特性決定了開放題教學的開放性，因而在這種教學環(huán)境中，學生是以知識的主動發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者的身份出現(xiàn)，學生不再是“裝”數(shù)學，而是“搞”數(shù)學，這就可以使他們在一定程度上去體驗數(shù)學家進行數(shù)學研究的活動過程，深切領會數(shù)學的實質(zhì)，有利于形成正確的數(shù)學觀念和數(shù)學意識，掌握數(shù)學的靈魂——思想方法，為今后的學習以及成人后用數(shù)學的思想方法、思維方式來解決問題做準備。
開放題在激發(fā)學生學習的興趣，樹立學習的自信心，凸現(xiàn)學生的主體意識，形成獨立的人格和克服困難、勇于探索的意志品質(zhì)，培養(yǎng)群體意識和合作精神，增強競爭機制，培養(yǎng)探索意識和創(chuàng)新意識，形成正確的科學態(tài)度等方面，具有極大的優(yōu)勢。可見開放題的人文教育價值也很大。
七、開放題的設計藝術：
數(shù)學開放題的教學需要開放和設計大量的開放性問題，與當前的數(shù)學教學實際密切相關且被廣大數(shù)學教師認可的開放性問題。 開放題設計模型的優(yōu)點和誤區(qū)可由下面的框圖描述：
開放題的優(yōu)點 開放題認識誤區(qū)
① 開放題順應開放化的社會需要 ②開放題教學可以使全體學生主動參與，符合素質(zhì)教育面向全體學生的要求③開放題可以使學生更全面地理解數(shù)學的本質(zhì)，體會數(shù)學的美感④開放題可以給予學生更多的體驗成功的機會，增強學習自信心，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣 ⑤開放題有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)新能力⑥開放題追求卓越，有助于培養(yǎng)學生的優(yōu)化意識，提高解決問題的能力 ⑦開放題教學是以學生為中心，有利于實現(xiàn)教學民主，建立新型的師生關系⑧學生解答開放題時不但要綜合運用、重組已學的知識，而且時常需考慮問題解決的策略，對自己的解題活動進行認識、評價和監(jiān)控，這有助于發(fā)展學生的元認知⑨教師在研究開放題的過程中，可以在教學觀念、解題能力、擴大知識面等多方面得到提高，這有利于提高教師素質(zhì) ①開放題在單一的技能訓練、知識學習上費時費力，效率較低 ②開放題教學易受課時的制約，在課堂上常常出現(xiàn)學生的思維在低層次上重復，不易進行深入的研究 ③開放題教學對教師的要求較高，不易推廣 ④對有些開放題很難制定出客觀公正的評分標準，故在用開放題作考試題時困難重重 ⑤現(xiàn)有的適合教學使用的開放題數(shù)量太少，開發(fā)和設計更多的數(shù)學開放題又面臨較多困難 ⑥受考試文化的影響，要使更多的教師重視、認識、接受開放題，還有一段艱巨漫長的道路要走
在開放題的編制、開發(fā)中，要十分重視開放題的設問方式。語言的暗示性要恰當，防止將思維導入歧途；要把握問題的開放度，不同水平的學生應采用不同的設問方式，提出不同的解題要求；開放題中所包含的事件應為學生所熟悉，其內(nèi)容是有趣的，是學生所愿意研究的，是通過學生現(xiàn)有的知識能夠解決的可行的問題；要注意問題的可發(fā)展性，給學生一個提問題的機會，也許比解題本身更重要。
八、開放題的解題藝術：
1、傳統(tǒng)教學法解題摸式
這種解題模式，學生在得出結(jié)論后沒有自我反饋的過程，去發(fā)現(xiàn)總練習題的內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)經(jīng)驗，找出規(guī)律，舉一反三，因而浪費了大量的寶貴信息。
2、反饋教學法的解題模式
在反饋教學法解題模式中特別注重解題后的自我反饋和自我小結(jié)。引導學生去發(fā)現(xiàn)習題中潛在的知識信息，去聯(lián)想、歸納、類比，以尋找知識間的聯(lián)系、鞏固和發(fā)展教學思想方法和處理技巧，重視培養(yǎng)學生的獨立思維與創(chuàng)造思維能力
。
結(jié)束語
數(shù)學開放題不應該排斥傳統(tǒng)教學，它是傳統(tǒng)教學的一種補充。通過教學開放題實踐體會到：數(shù)學開放題只是為學生高層次思維的發(fā)展提供了一種可能性；數(shù)學開放題對學生的要求很高，不僅要求學生有較高認知水平，還要有較強的主動參與意識，才能有開放的氣氛；在教學過程中，不僅要求教師能放開，還要求教師收得回來，這樣才能收放自如。只有在教學實踐中逐步摸索經(jīng)驗，才能真正有效地體現(xiàn)數(shù)學開放題的教育價值。
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