數學史與數學教育( HPM) 的一個案例-—劉徽的“割圓術”與微

[摘　要]劉徽的“割圓術”是中國數學史上的重要成就之一,其中包含著中國數學家對無限問題的獨特認識和致用的處理方式.很多高等數學教科書在講述極限概念時大都提及,但所述,并未體現劉徽本意.劉徽的“割圓術”是為證明圓面積公式而設計出來的一種方法,其融合了莊、墨兩家理解和處理無限問題的方法,并且使用了數列極限的“夾逼準則”和不可分量可積的預設.通過這些相關知識的歷史考察,試圖以HPM的方法來輔助解決極限概念教學的難題.

[關鍵詞]劉徽;割圓術;無限;可積

《高等數學》[1]在講授數列極限概念之前,介紹了我國古代數學家劉徽的割圓術中極限思想,進而引入數列極限的描述定義.實際上,劉徽借“割圓術”方法,憑借其高超的對無限問題的理解和致用的處理方式,以“不可分量可積”前提、“夾逼準則”等知識證明了圓的面積公式,運算中包含著微積分的思想.另外要指出的是,他利用證明圓面積公式所設計出的機械性的算法程序,求得的圓周率的近似值———徽率（157÷50）.郭書春先生認為,劉徽在世界上最先把無窮小分割和極限思想用于數學證明.[2]
1　劉徽的“割圓術”
我國古代數學經典《九章算術》第一章“方田”中有我們現在所熟悉圓面積公式“半周半徑相乘得積步”.魏晉時期數學家劉徽為證明這個公式,于公元263年撰寫《九章算術注》,在這一公式后面寫了一篇長約1800余字的注記———“割圓術”.
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