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電力變壓器鐵心柱截面的優(yōu)化設(shè)計(jì)(一)
摘要
本文針對(duì)變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立數(shù)學(xué)模型并用matlab函數(shù)constr編程以及使用LINGO編程求解。
最優(yōu)鐵心柱截面設(shè)計(jì)方案指的是在達(dá)到使用標(biāo)準(zhǔn)的情況下，讓鐵心柱橫截面
的有效截面面積最大，從而提高產(chǎn)品的使用性能，提高產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)力。
問(wèn)題一中，鐵心柱外接圓直徑為650Mm，根據(jù)截面級(jí)數(shù)的選擇表，可以確定其級(jí)數(shù)的范圍。根據(jù)制造工藝要求的第一級(jí)厚度最小26和最后一級(jí)寬度要求最小為20，各級(jí)之間寬度依次減少為約束，以有效截面積最大為目標(biāo)，建立起含多個(gè)整數(shù)變量的非線性整數(shù)規(guī)劃模型——模型一，優(yōu)化求解以確定最優(yōu)的多級(jí)硅鋼片階梯形組成方案。
利用MATLAB軟件規(guī)劃求解得到最優(yōu)的多級(jí)階梯形硅鋼片組成方案為：
鐵心柱有效截面積320240，鐵心利用率96.50%，級(jí)數(shù)為13，
各級(jí)的寬度和厚度為：
（640，114）（620，82）（595，66）（570，51）（535，57）（500，46）（460，44）（415，41）（370，34）（315，34）（260，27）（190，26）（110，19）
對(duì)于問(wèn)題二和問(wèn)題三，我們將第一問(wèn)的模型進(jìn)行拓展和延伸。
第二問(wèn)要求線圈內(nèi)筒和鐵心柱外接圓直徑的公差。以有效截面積利用率最大為目標(biāo)，以變壓器設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求為約束，我們?cè)俅谓⒘艘粋�(gè)非線性整數(shù)規(guī)劃模型。
在考慮添加油道的問(wèn)題中，需要確定油道位置，并且分割的各個(gè)面積要求基本相等。我們首先確定油道的位置，然后在分割出來(lái)的各個(gè)小塊里，分別去進(jìn)行多級(jí)階梯形的最優(yōu)化設(shè)計(jì)。各個(gè)分塊里實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)化，整個(gè)設(shè)計(jì)就實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)化。
該過(guò)程中，油道和各個(gè)分塊之間會(huì)產(chǎn)生間隙，針對(duì)此問(wèn)題，我們將油道的位置向圓心靠近調(diào)整，然后新產(chǎn)生的間隙，用下一個(gè)分塊的第一級(jí)硅鋼片進(jìn)行補(bǔ)充。
由于鐵心柱疊片系數(shù)是一個(gè)常數(shù)，在模型求解的過(guò)程中，可以忽略其影響。
在建模的過(guò)程中，我們運(yùn)用了MATLAB和LINGO軟件進(jìn)行求解。
關(guān)鍵詞:非線整數(shù)性規(guī)劃，鐵心利用率，分布填充
問(wèn)題重述
電力變壓器的設(shè)計(jì)中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)就是鐵心柱的截面如何設(shè)計(jì)。我國(guó)變壓器制造業(yè)通常采用全國(guó)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)鐵心設(shè)計(jì)圖紙。根據(jù)多年的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，各生產(chǎn)廠存在著對(duì)已有設(shè)計(jì)方案的疑問(wèn)：能否改進(jìn)及如何改進(jìn)這些設(shè)計(jì)，才能在提高使用效果的同時(shí)降低變壓器的成本。
現(xiàn)在以心式鐵心柱為例試圖進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。
電力變壓器鐵心柱截面在圓形的線圈筒里面。為了充分利用線圈內(nèi)空間又便于生產(chǎn)管理，心式鐵心柱截面常采用多級(jí)階梯形結(jié)構(gòu)，如圖1所示。截面在圓內(nèi)上下軸對(duì)稱(chēng)，左右也軸對(duì)稱(chēng)。階梯形的每級(jí)都是由許多同種寬度的硅鋼片迭起來(lái)的。由于制造工藝的要求，硅鋼片的寬度一般取為5的倍數(shù)（單位：毫米）。因?yàn)樵诙嗉?jí)階梯形和線圈之間需要加入一定的撐條來(lái)起到固定的作用，所以一般要求第一級(jí)的厚度最小為26毫米，硅鋼片的寬度最小為20毫米。
鐵心柱有效截面的面積，等于多級(jí)鐵心柱的幾何截面積（不包括油道）乘以疊片系數(shù)。而疊片系數(shù)通常與硅鋼片厚度、表面的絕緣漆膜厚度、硅鋼片的平整度以及壓緊程度有關(guān)。設(shè)計(jì)時(shí)希望有效截面盡量大，既節(jié)省材料又減少能量損耗。顯然鐵心柱的級(jí)數(shù)愈多，其截面愈接近于圓形，在一定的直徑下鐵心柱有效截面也愈大。但這樣制造也工藝復(fù)雜，一般情況下鐵心柱的級(jí)數(shù)可參照表1選取。
表1 鐵心柱截面級(jí)數(shù)的選擇
鐵心柱直徑mm 級(jí)數(shù)
80-195 5-7
200-265 8-10
270-390 11
400-740 12-14
760以上 >15
問(wèn)題一：當(dāng)鐵心柱外接圓直徑為650毫米時(shí)，如何確定鐵心柱截面的級(jí)數(shù)、各級(jí)寬度和厚度，才能使鐵心柱的有效截面積最大。
問(wèn)題二：實(shí)際生產(chǎn)中線圈的內(nèi)筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，而留有一定的間隙以便于安裝和維修，設(shè)計(jì)的兩個(gè)直徑的取值范圍稱(chēng)為各自的公差帶。因此可以在設(shè)計(jì)鐵心截面時(shí)稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的截面形狀。請(qǐng)結(jié)合鐵心柱截面的設(shè)計(jì)而設(shè)計(jì)出二者的公差帶。
問(wèn)題三：銅導(dǎo)線在電流流過(guò)時(shí)發(fā)熱造成的功率損耗簡(jiǎn)稱(chēng)為銅損；鐵心在磁力線通過(guò)時(shí)發(fā)熱造成的功率損耗簡(jiǎn)稱(chēng)為鐵損。為了改善鐵心內(nèi)部的散熱，鐵心柱直徑為380毫米以上時(shí)須設(shè)置冷卻油道。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是在某些相鄰階梯形之間留下6毫米厚的水平空隙（如圖2所示），空隙里充滿(mǎn)油，變壓器工作時(shí)油上下循環(huán)帶走鐵心里的熱量。具體油道數(shù)可按表2選取。油道的位置應(yīng)使其分割的相鄰兩部分鐵心柱截面積近似相等。
分別針對(duì)問(wèn)題一和問(wèn)題二的情況，增加油道要求再給出設(shè)計(jì)，并指出油道的位置。
表2 冷卻油道數(shù)的選擇
鐵心柱直徑mm 半圓中6mm油道個(gè)數(shù)
380-410 0
420-500 1
510-690 2
700-840 3
2 條件假設(shè)
1.整個(gè)鐵心柱的硅鋼片出了長(zhǎng)度，其它如厚度，表面絕緣漆膜厚度，平整度都相同；
2.硅鋼片之間是沒(méi)有形變的壓緊；
3.疊片系數(shù)是確定的已知數(shù)；
4.油道對(duì)稱(chēng)分布；
5.不考慮工藝過(guò)程的影響。
3 符號(hào)說(shuō)明
第i級(jí)疊片的的厚度；
第i級(jí)疊片的寬度；
疊片系數(shù)；
鐵心柱理論外接圓的直徑，也等于理論線圈內(nèi)筒直徑；
第i根油道與直徑之間的；
油道分割出來(lái)的分塊面積；
多級(jí)階梯形前i級(jí)厚度之和；
線圈內(nèi)筒的公差值；
4 問(wèn)題分析
4. 問(wèn)題背景
變壓器是一種應(yīng)用電磁感應(yīng)原理把電能從一個(gè)電路傳到另一個(gè)電路的電磁裝置。它在電路中起變壓，變流，變電阻的作用。它由三部分組成：鐵心，起導(dǎo)磁，助磁作用；而是初級(jí)線圈，接電源，起激磁作用；三是次級(jí)線圈接負(fù)載，利用不同次初級(jí)線圈匝數(shù)比，實(shí)現(xiàn)變壓，變流，變電阻的作用。
在變壓器的構(gòu)成里，鐵心柱是很一個(gè)十分重要的組成部件。
因?yàn)殍F心柱的形狀，截面積，疊片的選擇，疊片的相關(guān)工藝過(guò)程都會(huì)影響將來(lái)變壓器的使用效果和壽命，以及使用成本。
我國(guó)變壓器制造業(yè)通常采用全國(guó)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)鐵心設(shè)計(jì)圖紙，根據(jù)多年的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，在長(zhǎng)期的生產(chǎn)研究過(guò)程中，各生產(chǎn)廠產(chǎn)生了對(duì)已有設(shè)計(jì)方案的疑問(wèn)：能否改進(jìn)及如何改進(jìn)這些設(shè)計(jì)，才能在提高使用效益的同時(shí)降低變壓器成本。
4.1.
鐵心柱是安裝在線圈筒里面的，理論上，在線圈的直徑確定了的情況下，鐵心柱的有效面積越大，鐵心的電阻越大，使鐵心的鐵損最小，因而可以減少能量損耗，變壓器的使用性能會(huì)越好，使用壽命較長(zhǎng)。為了充分利用空間和便于生產(chǎn)，鐵心柱截面長(zhǎng)采用多級(jí)階梯形結(jié)構(gòu)，用不同長(zhǎng)度的硅鋼片，堆疊成不同厚度的級(jí)，并且選擇合適的級(jí)數(shù)去逼近與之配合的鐵心線圈圓，期望得到的有效面積最大，獲得更大的電阻。
截面優(yōu)化設(shè)計(jì)是以保證到達(dá)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)為前提，盡可能改善和提高產(chǎn)品的使用效果，使產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)力提升。
4.2
公差是生產(chǎn)中允許工件尺寸和幾何形狀變動(dòng)的范圍，用來(lái)限制誤差。工件的誤差在公差范圍內(nèi)才為合格。規(guī)定公差是為了保證產(chǎn)品使用性能的前提下，給出盡可能大的公差。因?yàn)楣钤叫�，精度越高，生產(chǎn)成本就越高。去較大的公差，有利于控制成本。
設(shè)計(jì)時(shí)要求留有一定的間隙邊緣和維修，因此鐵心柱和外圍線圈的配合應(yīng)該是間隙配合。
我們根據(jù)《變壓器設(shè)計(jì)手冊(cè)》查詢(xún)得到的GB的線圈內(nèi)筒和鐵心柱的直徑差
公差
直徑（mm） 70-200 205-255 260-500 500-650 650-800
公差 (mm) 5 8 10 12 14
理論數(shù)值的鐵心柱外接圓和線圈內(nèi)筒直徑，它們?cè)谂浜系臅r(shí)候，采用間隙配合。由于生產(chǎn)硅鋼片的時(shí)候，是以滿(mǎn)足鐵心柱的設(shè)計(jì)尺寸為參照的，用來(lái)裝配鐵心柱的時(shí)候，它們的寬度是一系列已經(jīng)確定的數(shù)值，不可能因?yàn)榘F心柱的線圈內(nèi)筒的直徑的增大而增大。
即當(dāng)線圈內(nèi)筒的直徑變化的時(shí)候，多級(jí)階梯形的各級(jí)的寬度是不可能變化的。為了獲得更好的截面積，或者增大截面積的值，我們可以將多級(jí)階梯形的某一級(jí)的疊片數(shù)增加，從而增加該級(jí)厚度，去逼近實(shí)際尺寸的線圈內(nèi)筒。
增大線圈內(nèi)筒的直徑，再增大某級(jí)的厚度，獲得更大的有效截面積。我們認(rèn)定有讓效截面積增加率最大的那個(gè)偏差，就是鐵心柱公差的最大值。
據(jù)此選擇合適的公差帶，來(lái)獲得最大的有效面積增加率。
4.3.1
由于變壓器工作時(shí)鐵心柱有鐵心損耗，外圍線圈有電阻，電流通過(guò)的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生熱量。為了改善鐵心散熱，在鐵心柱的直徑達(dá)到380mm以上，就需要增加油道，讓油循環(huán)達(dá)到散熱的目的。
在考慮添加油道的時(shí)候，需要讓油道分割的各部分的面積近似相等。為了達(dá)到這個(gè)要求，我們以各個(gè)分割面積相等為約束，對(duì)稱(chēng)布置油道，建立起方程組，用以先確定下油道的具體位置。
確定油道位置之后，再根據(jù)鐵心柱有效截面積最大的要求，可以分步用硅鋼片將各個(gè)油道之間的分塊堆疊。在各個(gè)分區(qū)里面，在滿(mǎn)足各項(xiàng)設(shè)計(jì)要求的情況下，求堆疊的最優(yōu)方案，使得各個(gè)分區(qū)的截面積最大。最后將各個(gè)面積進(jìn)行疊加，各個(gè)分區(qū)的硅鋼片進(jìn)行參數(shù)匯總，就可得最終的最優(yōu)方案。
4.3.2
對(duì)于變壓器鐵心柱的級(jí)寬，都可以通過(guò)已知的直徑算出相應(yīng)的厚度，因此可以轉(zhuǎn)化為以各級(jí)的寬度為變量的數(shù)學(xué)模型。由于現(xiàn)有的各直徑鐵心柱的級(jí)數(shù)都是參照生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為要達(dá)到一定的級(jí)數(shù)才能滿(mǎn)足一定的幾何截面積，而沒(méi)有科學(xué)的精確的求解過(guò)程。因此設(shè)想通過(guò)對(duì)模型的計(jì)算所得出的數(shù)據(jù)，只要在滿(mǎn)足一定的幾何截面積的前提下，如果能減少級(jí)數(shù)，便可減少生產(chǎn)成本。
5 模型建立求解
5.1.1
問(wèn)題一的數(shù)學(xué)模型：
當(dāng)鐵心柱的外接圓直徑為650mm時(shí)，根據(jù)要求可知級(jí)數(shù)應(yīng)該在12到14之間。由變壓器鐵心設(shè)計(jì)的各項(xiàng)要求為約束條件，我們以鐵心柱有效截面積最大為目標(biāo)函數(shù)，建立了一個(gè)非線性整數(shù)規(guī)劃的模型。
約束條件
硅鋼片的寬度為5mm的倍數(shù)：
（ k為正整數(shù)）
多級(jí)階梯形的第一級(jí)厚度最小為26mm:
硅鋼片的寬度最小為20mm，就是最后一級(jí)的寬度最小為20mm
最大寬度為直徑：
多級(jí)階梯形中，每級(jí)的寬度必須是遞減的：
（）
I級(jí)及i級(jí)之前的厚度之和與i級(jí)的寬度之間還必須滿(mǎn)足勾股定理：
該多級(jí)階梯形的幾何截面積為：
其中（n=12，13，14）
目標(biāo)函數(shù)：
我們認(rèn)為所有硅鋼片的疊片系數(shù)是相同的，即是確定的常數(shù)，
求有效截面積最大：
綜上可知：
為確定鐵心柱直徑為650mm時(shí)候的最佳設(shè)計(jì)方案，以有效截面積最大為目標(biāo)，在滿(mǎn)足各項(xiàng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)要求的約束下，我們建立了模型一：
目標(biāo)函數(shù)：
5.1.2 模型一的求解：
將以上模型代入編寫(xiě)的matlab程序中予以求解（程序見(jiàn)附件），得到如下最優(yōu)化
表 I 直徑650mm方案對(duì)比
硅鋼片參數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 面積 面積使用率(%)
寬度（mm） 640 620 590 560 520 480 435 385 330 270 200 115 319405 96.26
長(zhǎng)度（mm） 114 82 78 57 60 48 45 41 36 31 27 21
寬度（mm） 640 620 595 570 535 500 460 415 370 315 260 190 110 320240 96.51
長(zhǎng)度（mm） 114 82 66 51 57 46 44 41 34 34 27 26 19
寬度（mm） 640 625 600 575 545 515 480 440 400 350 300 245 180 105 320230 96.50
長(zhǎng)度（mm） 114 65 71 53 51 42 42 40 34 35 29 25 23 17
對(duì)比可知，所要求的鐵心柱有效截面積最大的最優(yōu)方案為14級(jí)，各級(jí)寬度和長(zhǎng)度可由上表可得
5.2.1問(wèn)題二模型
公差等級(jí)是確定尺寸精度的等級(jí)，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)是按照不同的基本尺寸分為20個(gè)等級(jí)。由于電力變壓器不像機(jī)械設(shè)備那樣需要承受大的負(fù)荷，比如說(shuō)軸承那樣的高速旋轉(zhuǎn)，像發(fā)動(dòng)機(jī)那樣的劇烈復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，承受如此復(fù)雜的力，振動(dòng)，高溫高壓等復(fù)雜嚴(yán)苛的工作狀況，我們認(rèn)為電力變壓器的公差等級(jí)為18，已經(jīng)足夠滿(mǎn)足它的使用了。
根據(jù)變壓器設(shè)計(jì)即為合格產(chǎn)品的最大范圍區(qū)間，然后在這個(gè)范圍內(nèi)根據(jù)最優(yōu)化截面的思想，即求最大的有效截面增加率的所對(duì)應(yīng)的es值，就是它的公差最大值。
考慮鐵心柱和線圈內(nèi)筒的配合的時(shí)候，我們先以鐵心柱的尺寸完全符合設(shè)計(jì)尺寸，即沒(méi)有誤差。以鐵心柱為參考，考察線圈內(nèi)筒直徑的增加，以及直徑增加引起的多級(jí)階梯形某一級(jí)厚度的增加，最終導(dǎo)致的鐵心柱有效截面積的增加。能夠讓有效截面積增加到達(dá)最大的那個(gè)值就是公差的最大值。
據(jù)此我們建立起了非線性整數(shù)規(guī)劃模型二：
目標(biāo)函數(shù)，線圈內(nèi)同直徑增加，鐵心柱各級(jí)疊片厚度變化之后有效截面積達(dá)到最大 ：
約束條件：
重新計(jì)算的公差要在GB范圍之內(nèi)：
其中D為某個(gè)確定的直徑，
表 公差取值
直徑（mm） 70-200 205-255 260-500 500-650 650-800
公差 (mm) 5 8 10 12 14
硅鋼片的級(jí)數(shù)不會(huì)變化，各級(jí)硅鋼片的寬度和理論最優(yōu)設(shè)計(jì)尺寸相等，且不會(huì)變化
其中，D為之間的任意值，是直徑D所對(duì)應(yīng)的最大公差。
是對(duì)應(yīng)直徑為D的鐵心柱最優(yōu)方案中，多級(jí)階梯形各級(jí)的寬度。
我們根據(jù)鐵心柱有效截面積最大的設(shè)計(jì)要求，讓處于直徑為D的時(shí)候，選擇合適的多級(jí)階梯形的級(jí)數(shù)，各級(jí)的厚度和寬度的最優(yōu)方案，此計(jì)算結(jié)果我們放在附錄里。
改變多級(jí)階梯形各級(jí)厚度之后，鐵心柱在增大直徑后的線圈內(nèi)筒之內(nèi)，即各級(jí)尺寸滿(mǎn)足勾股定理：
因此，建立數(shù)學(xué)模型如下
s.t
模型求解：
運(yùn)用LINGO軟件，求得的結(jié)果如下：
表 公差
直徑（mm） 70-200 205-255 260-500 500-650 650-800
公差 (mm) 4.8 7.5 9.7 10.9 13.5
5.3.1
因?yàn)槲覀儾捎玫姆椒ㄊ牵合雀鶕?jù)油道分割出來(lái)的各小塊的面積基本相等，確定出油道的具體位置，然后在滿(mǎn)足第一小問(wèn)中關(guān)于制造工藝的約束的情況下，用硅鋼片填充各個(gè)分區(qū)塊，使各個(gè)區(qū)塊的鐵心面積最大，即以各個(gè)區(qū)塊鐵心柱面積最大為目標(biāo)，然后面積之和最大為目標(biāo)函數(shù)，求最優(yōu)方案。
Setp.1
確定油道的位置和寬度，根據(jù)幾何關(guān)系可得如下方程組：
方程組
聯(lián)立求解求得油道的位置：
求得的第一根油道的尺寸為：
，
求得的第二根油道的尺寸為：
，
，
在獲得有油道的精確位置之后，然后用硅鋼片去填充每一個(gè)由油道分割出來(lái)的小區(qū)塊，并且讓填充的面積最大：
第一個(gè)區(qū)塊的填充面積為： ,并讓
第二個(gè)區(qū)塊的填充面積為：, 并讓
第三個(gè)區(qū)塊的填充面積為：,并讓
總的填充面積，即為鐵心柱幾何截面積的二分之一
目標(biāo)函數(shù)：
Setp.2
第一根油道與水平的那根直徑之間的填充最優(yōu)方案：
求解上述模型就可得到第一分塊的多級(jí)階梯截面積最大的最優(yōu)方案。
Setp.3
求第一根油道和第二根油道之間，最優(yōu)填充方案：
求解上述模型可以得到第一根油道和第二根油道之間區(qū)塊最佳填充方案。
Setp.4
求解第二根油道和圓頂部之間區(qū)塊的最優(yōu)填充方案：
求解上述模型可求得第二根油道和圓頂之間的最優(yōu)填充方案。
5.3.2 模型求解
利用MATLAB進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算得到如下最優(yōu)設(shè)計(jì)方案
1級(jí) 2級(jí) 3級(jí) 4級(jí) 5級(jí) 6級(jí) 7級(jí) 8級(jí) 9級(jí) 10級(jí)
第一分塊 645
40
第二分塊 620 600 570
82 55 62
第三分塊 635 630 625 615 610 600 595 585 580 570
25 21 19 32 14 26 12 22 10 19
第一模塊面積
51600
第二模塊面積
mj=59590
第三模塊面積
mj =60720
總面積（不包括油道）
292220
面積占用比
88.1%
7 模型評(píng)價(jià)與擴(kuò)展
本文建立的模型屬于含多個(gè)整數(shù)變量的非線性整數(shù)規(guī)劃模型。對(duì)于問(wèn)題中的約束，針對(duì)性地將其表示為程序容易讀取和識(shí)別的約束條件，在設(shè)立變量時(shí)，考慮了變量下標(biāo)與已知數(shù)據(jù)以及與算法的匹配，使得程序有較大的可移植性和通用性。例如僅將第模型一中的的變量下標(biāo)數(shù)字改變就能移植到第三問(wèn)中進(jìn)行優(yōu)化求解。同時(shí)，對(duì)于題目中所建立的含多變量的非線性整數(shù)規(guī)劃模型，采用matlab 和LINGO軟件進(jìn)行編程求解。
建立模型的時(shí)候，我們沒(méi)有充分考慮
模型的不足在于，由于LINGO軟件的限制，沒(méi)有效率較高的算法，使得軟件在求解程序時(shí)的速度受限。此外，可以采用MATLAB軟件進(jìn)行遍歷搜索，結(jié)果與LINGO結(jié)果進(jìn)行比較，從而判斷模型和LINGO算法的正確性。
模型推廣
本模型還可以推廣到鋼材，布料分割等要求原材料能夠充分利用，節(jié)約成本，改善產(chǎn)品使用性能等其他的生產(chǎn)活動(dòng)中去，也可以應(yīng)用的有關(guān)分配的問(wèn)題中，具有較強(qiáng)的實(shí)用性，可操作性。
8 參考文獻(xiàn)
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[6]羅建軍 楊琦 MATLAB 西安：西安交通大學(xué)出版社 2002
[7]張立衛(wèi) 最優(yōu)化問(wèn)題的擾動(dòng)分析 北京：科學(xué)出版社 2007
9 附錄
第一問(wèn)MATLAB程序
第二問(wèn)MATLAB程序
第二問(wèn)鐵心柱多級(jí)階梯形設(shè)計(jì)最優(yōu)方案
第三問(wèn)LINGO 程序
第一問(wèn)程序
程序：
funf='f=-1*(x(1)*sqrt(325^2-x(1)^2)+x(2)*(sqrt(325^2-x(2)^2)-sqrt(325^2-x(1)^2))+x(3)*(sqrt(325^2-x(3)^2)-sqrt(325^2-x(2)^2))+x(4)*(sqrt(325^2-x(4)^2)-sqrt(325^2-x(3)^2))+x(5)*(sqrt(325^2-x(5)^2)-sqrt(325^2-x(4)^2))+x(6)*(sqrt(325^2-x(6)^2)-sqrt(325^2-x(5)^2))+x(7)*(sqrt(325^2-x(7)^2)-sqrt(325^2-x(6)^2))+x(8)*(sqrt(325^2-x(8)^2)-sqrt(325^2-x(7)^2))+x(9)*(sqrt(325^2-x(9)^2)-sqrt(325^2-x(8)^2))+x(10)*(sqrt(325^2-x(10)^2)-sqrt(325^2-x(9)^2))+x(11)*(sqrt(325^2-x(11)^2)-sqrt(325^2-x(10)^2))+x(12)*(sqrt(325^2-x(12)^2)-sqrt(325^2-x(11)^2)));' ;% 最大鐵芯柱柱截面面積函數(shù)
fung='g=[x(2)-x(1)+2.5;x(3)-x(2)+2.5;x(4)-x(3)+2.5;x(5)-x(4)+2.5;x(6)-x(5)+2.5;x(7)-x(6)+2.5;x(8)-x(7)+2.5;x(9)-x(8)+2.5;x(10)-x(9)+2.5;x(11)-x(10)+2.5;x(12)-x(11)+2.5];';%寬度逐級(jí)遞減的約束條件
fun=[funf fung];
x0=[ 37.5 35 32.5 30 27.5 25 22.5 20 17.5 15 12.5 10]; %初始值
options=[];
vlb=[ 37.5 35 32.5 30 27.5 25 22.5 20 17.5 15 12.5 10]; %取值下限
vub=[322.5 320 317.5 315 312.5 310 307.5 305 302.5 300 297.5 295]; %取值上限
[x,options]=constr(fun,x0,options,vlb,vub);
y=zeros(1,12);
x=x.*2;
x=(round(x./5)).*5; %以5為倍數(shù)的寬度
for i=1:12
yy=sum(y',1);
y(i)=sqrt(650^2-x(i)^2)-yy;
end
y=round(y);
x
save 1-12x.txt x -ASCII -TABS
y
save 1-12y.txt y -ASCII -TABS
s=x.*y;
mj=sum(s',1);
mj
save 1-12mj.txt mj -ASCII -TABS
zhan=mj/((325^2)*pi);
zhan
save 1-12zhan.txt zhan -ASCII -TABS
結(jié)果輸出：
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\optim\constr.m at line 55
第二問(wèn)程序
1）
MODEL:
DATA:
N=12;
d=650;
ENDDATA
SETS:
can/1..N/:x ,Y,T;
ENDSETS
@FOR(can:X^2+Y^2<0.25*d^2);
@FOR(can(I)|I#GT#1:X(I-1)>X(I););
@FOR(can(I)|I#GT#1:Y(I-1)<Y(I););
@FOR(can:T=X/2.5);
@FOR(can:@GIN(T));
Y(1)>13;
X(1)<325;
X(N)>20;
)| I #GT# 1:X(I)*Y(I-1));
END
表 鐵心柱多級(jí)階梯形最優(yōu)方案
直徑D 1級(jí)寬 2級(jí)寬 3級(jí)寬 4級(jí)寬 5級(jí)寬 6級(jí)寬 7級(jí)寬 8級(jí)寬 9級(jí)寬 10級(jí)寬 11級(jí)寬 12級(jí)寬 13級(jí)寬 14級(jí)寬 Ｓ Ｓ 面積利用率
80 65 70 65 60 55 50 40 5027 4520 90%
110 105 100 95 85 75 60 40 9503 8796 93%
140 135 130 115 100 85 65 40 15394 14320 93%
170 165 150 130 115 95 70 40 22698 21144 93%
195 185 165 145 130 110 90 55 29865 27740 93%
200 195 158 170 155 135 115 95 70 40 31416 29936 95%
230 225 215 205 190 170 150 130 110 80 45 41548 39588 95%
265 260 250 235 195 185 150 125 90 55 55154 52564 95%
270 265 250 230 230 105 180 155 155 125 95 55 57256 54236 95%
330 325 315 300 285 285 260 230 200 165 125 75 85530 81456 95%
390 395 370 350 330 305 275 245 210 170 125 75 119459 114360 96%
400 395 385 370 350 350 335 300 275 245 215 195 150 110 65 125664 121104 96%
530 520 505 485 455 425 390 355 355 315 270 220 160 95 220618 211996 96%
740 650 630 605 580 540 505 505 470 450 385 340 280 205 120 430084 399728 93%
2）
model:
data
l=37.5,35,32.5,30,27.5,25,20;
d=80;
enddata
sets:
m/1..7/:w,l;
endsets
));
@for(m(i):4w(i)^2+4*@sum(m(i):d(i))*@sum(m(i):d(I))<=d^2+2*d*es+es^2);
es<=5;
end
第三問(wèn)程序
1）
s1-a1*r*r-0.5*w1*h1=0;
s2-a2*r*r-0.5*w2*h2+s1=0;
s3-0.5*pi*r*r+s1+s2=0;
2*s1-s2=0;
s2-s3=0;
0.25*w1*w1+h1*h1-r*r=0;
0.25*w2*w2+h2*h2-r*r=0;
pi=3.1416;
r=325;
s1>0;
a1>0;
a2>0;
a1<0.5*pi;
a2<0.5*pi;
h1-w1* @TAN(a1)=0;
h2-w2* @TAN(a2)=0;
2）
程序：
1.求油道大致位置
eq1=sym('x2*y2*1/2+atan(y2/x2)*325^2=0.3*((325^2)*pi)/5');
eq2=sym('x1*y1*1/2+atan(y1/x1)*325^2=0.1*((325^2)*pi)/5');
eq3=sym('x1^2+y1^2=325^2');
eq4=sym('x2^2+y2^2=325^2');
[x1,y1,x2,y2]=solve(eq1,eq2,eq3,eq4)
2.最優(yōu)化取數(shù)
funf='f=-1*(x(1)*sqrt(325^2-x(1)^2)+x(2)*(sqrt(325^2-x(2)^2)-sqrt(325^2-x(1)^2))+x(3)*(sqrt(325^2-x(3)^2)-sqrt(325^2-x(2)^2))+x(4)*(sqrt(325^2-x(4)^2)-sqrt(325^2-x(3)^2))+x(5)*(sqrt(325^2-x(5)^2)-sqrt(325^2-x(4)^2))+x(6)*(sqrt(325^2-x(6)^2)-sqrt(325^2-x(5)^2))+x(7)*(sqrt(325^2-x(7)^2)-sqrt(325^2-x(6)^2))+x(8)*(sqrt(325^2-x(8)^2)-sqrt(325^2-x(7)^2))+x(9)*(sqrt(325^2-x(9)^2)-sqrt(325^2-x(8)^2)));' ;% 最大鐵芯柱柱截面面積函數(shù)
fung='g=[x(2)-x(1)+2.5;x(3)-x(2)+2.5;x(4)-x(3)+2.5;x(5)-x(4)+2.5;x(6)-x(5)+2.5;x(7)-x(6)+2.5;x(8)-x(7)+2.5;x(9)-x(8)+2.59];';%寬度逐級(jí)遞減的約束條件
fun=[funf fung];
x0=[305 302.5 300 297.5 295 292.5 290 287.5 285]; %初始值
options=[];
vlb=[305 302.5 300 297.5 295 292.5 290 287.5 285]; %取值下限
vub=[320 317.5 315 312.5 310 307.5 305 302.5 300]; %取值上限
[x,options]=constr(fun,x0,options,vlb,vub);
y=zeros(1,9);
x=x.*2;
x=(round(x./5)).*5; %以5為倍數(shù)的寬度
for i=1:9
yy=sum(y',1);
y(i)=sqrt(650^2-x(i)^2)-yy;
end
y=round(y);
x
y
s=x.*（y-156）;
mj=sum(s',1);
mj
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