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函數(shù)概念的“源”與“流

時(shí)間:2023-03-29 03:17:56 理工畢業(yè)論文 我要投稿
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函數(shù)概念的“源”與“流

函數(shù)概念的“源”與“流
1.1函數(shù)概念的“源”
馬克思曾經(jīng)認(rèn)為,函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中的不定方程的研究,由于羅馬時(shí)代丟番圖對(duì)不定方程已有相當(dāng)?shù)难芯浚院瘮?shù)概念至少在那時(shí)已經(jīng)萌芽。
自哥白尼的天文學(xué)革命以后,運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問題,人們?cè)谒妓鳎杭热坏厍虿皇怯钪娴闹行,它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn),那么下降物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運(yùn)行的軌道是橢圓,原理是什么?還有,研究在地球表面上拋射物體和路線、射程的影響問題,既是科學(xué)家力圖解決的問題,也是軍事家要求解決的問題。函數(shù)概念就是從這些運(yùn)動(dòng)研究中引申出來的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。在伽利略的力學(xué)著作《兩門新科學(xué)》中用文字語言敘述了一些函數(shù)關(guān)系。如:“從靜止開始以定常加速度下降的物體,其經(jīng)過的距離與所用時(shí)間的平方成正比”。“沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體,其下滑時(shí)間與平板的長(zhǎng)度成正比”。[5]等等這些敘述只需引進(jìn)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)就可表示為簡(jiǎn)潔、明確的數(shù)學(xué)關(guān)系,這些文字語言是早期函數(shù)概念的雛形。
17世紀(jì)上半葉,笛卡爾把變量引入數(shù)學(xué),他指出了平面上的點(diǎn)與其數(shù)對(duì) 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),它的 坐標(biāo)和 坐標(biāo)相互依賴并同時(shí)發(fā)生變化,其關(guān)系可由包含 的方程式給出。相應(yīng)的方程式就揭示了變量 和y之間的關(guān)系,但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般函數(shù)概念,因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候,數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義。
從現(xiàn)存文獻(xiàn)中可知,最早提出函數(shù)概念的,是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲。于1673年他用“函數(shù)”一詞表示冪,如  都叫函數(shù)。隨后在他的一部手稿里,他又用“函數(shù)”一詞來表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量——例如:切線、法線、次切線等的長(zhǎng)度以及縱坐標(biāo)等。[6] 萊布尼茲的函數(shù)概念使用范圍狹窄,后續(xù)的數(shù)學(xué)家在此基礎(chǔ)上做了許多擴(kuò)展工作。
1698年,萊布尼茲的學(xué)生,瑞士數(shù)學(xué)家約翰、伯努力提出新的函數(shù)概念:“由變量x和常數(shù)所構(gòu)成的式子叫做x的函數(shù)。”[7]1718年他又進(jìn)一步規(guī)范了這一定義:“一個(gè)變量的函數(shù)指由這個(gè)變量和常數(shù)任意一種方式構(gòu)成的一個(gè)量。”[8]伯努力所強(qiáng)調(diào)的是函數(shù)要用公式表示。后來數(shù)學(xué)家覺得不應(yīng)該把函數(shù)概念局限在只能用公式表達(dá)上,只要一些變量變化就可以,至于這兩個(gè)變量的關(guān)系是否要用公式表示就不作為判別函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。
1734年,瑞士另一數(shù)學(xué)家歐拉,首次使用了符號(hào) 表示變量數(shù),他的例子是 ,后人據(jù)此發(fā)明了 表示變量x的函數(shù)值。[9]1755年,歐拉在其論著中把函數(shù)定義為:“如果某些變量以某種方式依賴于另一些變量,即當(dāng)后者變化時(shí),前者本身也發(fā)生變化,則稱前一些變量是后一些量的函數(shù)。”在此定義中,就不強(qiáng)調(diào)要用公式表示了,由于函數(shù)不一定要用公式表示,歐拉曾把畫在坐標(biāo)系里的曲線叫函數(shù),他認(rèn)為:“函數(shù)是隨意畫出的一條曲線。”
  1797,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日,從分析學(xué)的角度對(duì)函數(shù)概念做了擴(kuò)展:“所謂一個(gè)或幾個(gè)變量的函數(shù)是任意一個(gè)適合于計(jì)算的表達(dá)式,這些量以任意方式出現(xiàn)于表達(dá)式中。”無獨(dú)有偶,1822年法國另一個(gè)數(shù)學(xué)家傅里葉,在他的名著《熱的解析理論》中定義為:“通常函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標(biāo),它們中的毎一個(gè)都是任意的……我們不假定這些縱坐標(biāo)服從一個(gè)共同的規(guī)律;他們以任何方式一個(gè)挨一個(gè)。”在該書里,他用一個(gè)三角級(jí)數(shù)和的形式表達(dá)了一個(gè)由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)。[10]證明在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝,級(jí)數(shù)把解析式和曲線溝通了。
19世紀(jì)是數(shù)學(xué)大發(fā)展的時(shí)代,除了創(chuàng)立大批新的數(shù)學(xué)分支和分析基礎(chǔ)嚴(yán)密是其顯著特色。數(shù)學(xué)家他們?cè)诳紤]鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí),對(duì)函數(shù)概念“發(fā)散”狀況也做了種種規(guī)范,主要是突出了變量與對(duì)應(yīng)關(guān)系。
1823年,法國另一數(shù)學(xué)家柯西給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義:“在某些變量間存在一定的關(guān)系,當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值,其它變量的值可隨著而確定時(shí),則將最初的變量叫自變量,其它各變量叫做函數(shù),在柯西的定義中,首次出現(xiàn)了自變量一詞。
1834俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義:“x的函數(shù)是這樣一個(gè)數(shù),它對(duì)于毎一個(gè)x都有確定的值。并且隨著x一起變化,函數(shù)值可以由解析式給出,也可以由一個(gè)條件給出,這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法,函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在,但仍然是未知的。”這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系,可以求出毎一個(gè)x的對(duì)應(yīng)值。
1837年德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系無關(guān)緊要,所以他的定義是:“如果對(duì)于x的任何一個(gè)值,總有一個(gè)完全確定的y值與之對(duì)應(yīng),則y是x的函數(shù)。”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性,變量y稱為x的函數(shù),只需一個(gè)法則存在,使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的任何一個(gè)值,有一個(gè)確定的y值和它對(duì)應(yīng)就行了,不管這個(gè)法則是公式或圖像或表格或其它形式。這個(gè)定義比前面的定義更具有普遍性,為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便,因此這個(gè)定義曾被長(zhǎng)期使用。
19世紀(jì)中葉以后,數(shù)學(xué)家從函數(shù)的適用范圍對(duì)這一概念做了不同程度的擴(kuò)展。例如德國的黎曼1851將變量推廣到復(fù)數(shù);英國的布爾和德國的佛雷格又將變量擴(kuò)展到邏輯符號(hào);德國的戴德金則直接使用“元素”和“映射”表示變量,使函數(shù)概念由具體描述上升到抽象概括。

1.2函數(shù)概念的“流”
 隨著近代數(shù)學(xué)的發(fā)展,人們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)越來越深刻。到了19世紀(jì)70年代,德國數(shù)學(xué)家康托集合論的產(chǎn)生后,建立了函數(shù)的結(jié)合對(duì)應(yīng)定義,也就是用“集合”與“對(duì)應(yīng)”來敘述:“給定兩個(gè)集合A和B,如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)A的每一個(gè)元素,在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng),則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為從A集合到集合B的函數(shù)。類似于現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課本中的函數(shù)定義。
    20世紀(jì)初,生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展,又引起函數(shù)概念新的尖銳的矛盾。20世紀(jì)20年代,人類開始研究微觀物理現(xiàn)象,1930年量子力學(xué)面世,在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)—— -函數(shù),即 。[17]
 - 函數(shù)的出現(xiàn),引起了人們激烈爭(zhēng)論,按照函數(shù)原理定義,只允許數(shù)與數(shù)之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,而沒有把“ ”作為數(shù),另外對(duì)于自變量只有一個(gè)點(diǎn)不為零的函數(shù),其積分值卻不等于零的函數(shù),這也是不可想象的。然而, -函數(shù)確實(shí)是實(shí)際模型的抽象。例如,當(dāng)汽車、火車通過橋梁時(shí),自然對(duì)橋梁產(chǎn)生壓力,從理論上講,車輛的輪子和橋面的接觸點(diǎn)只有一個(gè),設(shè)車輛對(duì)軌道、橋面的壓力為一單位,這時(shí)在接觸點(diǎn) 處壓強(qiáng)是 ,其余點(diǎn) 處,因?yàn)闊o壓力,故無壓強(qiáng),即 ,另外,我們知道壓強(qiáng)函數(shù)的積分等于壓力,即 。
   函數(shù)概念在這樣的歷史條件下能動(dòng)地向前發(fā)展,20世紀(jì)60年代以后,數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念——“關(guān)系”。 設(shè)集合X、Y,我們定義X與Y的積集 (笛卡爾積)為 ,積集中的子集R稱為X與Y的一個(gè)關(guān)系,若 ,則稱x與y有關(guān)系R,記為 ,若 ,則稱x與y無關(guān)系。則從集合X到集合Y的函數(shù) 有如下定義:1) 是X與Y的關(guān)系,即  ,2)如果 ,必有 ,那么 為X到Y(jié)的函數(shù)。[11]在此定義中已在形式上回避了“對(duì)應(yīng)”的術(shù)語,全部便用了集合論的語言了。
   目前,推廣的函數(shù)概念的定義中把諸如“算子”和“泛函”(函數(shù)的函數(shù),包括某些廣義函數(shù))等名詞都包含進(jìn)去了,以適應(yīng)日新月異發(fā)展的數(shù)學(xué)。我們可以預(yù)計(jì)到,關(guān)于函數(shù)的爭(zhēng)論、研究、發(fā)展、拓廣將不會(huì)完結(jié),也正是這些影響著數(shù)學(xué)及相鄰學(xué)科的發(fā)展。
    回顧函數(shù)概念的“源”與“流”,我們看到,函數(shù)概念逐漸從直觀到抽象,從含糊到精確;大致經(jīng)歷了三個(gè)階段:從羅馬時(shí)代到17世紀(jì)中葉:樸素直觀、通俗易懂但不嚴(yán)格的描述階段;17世紀(jì)末到19世紀(jì)60年代:大致為常量與變量的表述階段;19世紀(jì)70年代到當(dāng)今:發(fā)展到集合與對(duì)應(yīng),映射與關(guān)系抽象定義階段。這個(gè)發(fā)展流程與學(xué)生認(rèn)知函數(shù)的過程基本一致。因此歷史上許多定義都對(duì)我們今天的教學(xué)有啟示作用。例如,早期的函數(shù)定義談到的“解析表達(dá)式”、“由曲線確定關(guān)系”、“依賴變化”等,盡管其范圍狹窄、表述不明確,但生動(dòng)直觀,學(xué)生容易理解,所以可以作為正式定義前的鋪墊材料;中期的定義除了“變量”、“對(duì)應(yīng)”這兩個(gè)概念未明確外,總的來說比較嚴(yán)謹(jǐn),學(xué)生也可以接受,所以略加修改就可以作為函數(shù)的正式定義。后期的定義只用到集合概念,嚴(yán)謹(jǐn)抽象,中學(xué)生不易接受,但對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)與研究以及加深對(duì)函數(shù)概念的理解大有用處。
   當(dāng)然,在進(jìn)行數(shù)學(xué)教育時(shí),根據(jù)教育對(duì)象理解程度不同而采取不同的函數(shù)定義是必要的,有時(shí)候還常常借助于幾何直觀(函數(shù)圖像)來理解函數(shù)概念。人們認(rèn)識(shí)由淺入深,由片面到全面,函數(shù)概念也隨著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的進(jìn)步而不斷更新完善的。以上我們分析了函數(shù)概念的整個(gè)發(fā)展歷程,下面我們來看看數(shù)學(xué)中真正使用了哪些定義。

 

1.3函數(shù)概念的不同表述
初中教材中函數(shù)概念的表述:“一般地設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)自變量 與 ,如果對(duì)于 的毎一個(gè)值, 都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),那么就說 是自變量, 是 的函數(shù)。”[12] 該表述與狄利克雷的函數(shù)定義類似。此表述的特點(diǎn)很直觀,并且明確指出自變量 在某一給定范圍可以取任意值,因變量 按一定規(guī)律也相應(yīng)每次取唯一確定值。而此表述相對(duì)于初中要掌握的常量、變量、函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、及其圖像、反比例函數(shù)和性質(zhì))完全夠用。而且這個(gè)表述對(duì)初中生來說,也是容易理解的。
工具書上的定義:《中國大百科全書、數(shù)學(xué)》為函數(shù)單列一條,在講明“函數(shù)是一類依賴關(guān)系的一種數(shù)學(xué)概括” 后定義:“設(shè)D是一非空的實(shí)數(shù)集, 是某一法則。如果對(duì)于毎一個(gè)數(shù)  , 唯一地確定出一個(gè)相對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù) ,則稱 為定義于D上的一個(gè)函數(shù)。”[13]
《數(shù)學(xué)百科辭典》指出:“目前在數(shù)學(xué)中,函數(shù)一詞一般是在和映射完全相同的意義下使用的。”在集合A、B之間,當(dāng)給出使A的各元素對(duì)應(yīng)B的某幾個(gè)元素的規(guī)則,稱確定了由A到B的映射。映射也稱為函數(shù)或者變換。函數(shù)在這里已不稱其為函數(shù)了,成了映射或變換的代名詞。[14]
高中教材中的定義1:如果A、B都是非空的數(shù)集,那么A到B的映射 : 就叫做A到B的函數(shù),記作: ,其中 ,原象的集合A叫做函數(shù) 的定義域,象的集合  叫做函數(shù) 的值域,函數(shù)符號(hào) 表示“ 是 的函數(shù)”,有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù) 。[15]
高中數(shù)學(xué)教材中定義2:設(shè)A,B是非空的數(shù)集,如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù) ,在集合B中都有唯一確定的數(shù) 和它對(duì)應(yīng),那么就稱 :A  B為從集合A到集合B的函數(shù),記作:  其中 叫做自變量, 的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與 值相對(duì)應(yīng)的 的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.[16] 高中教材中的定義與康托爾集合論出現(xiàn)后所給出的函數(shù)定義類似。是在集合基礎(chǔ)上用對(duì)應(yīng)的方式給出的(先定義映射也是用對(duì)應(yīng)的方式給出的),這兩個(gè)定義更簡(jiǎn)明、嚴(yán)謹(jǐn)。定義2避開了映射這個(gè)定義也避開了映射學(xué)習(xí)對(duì)后繼學(xué)習(xí)的影響。高中要學(xué)的所有函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性奇偶性、反函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù))等均可用這兩個(gè)定義表示,而且這兩個(gè)定義相對(duì)于高中生的認(rèn)知水平,也是可以接受的。
數(shù)學(xué)分析中的定義:給定兩個(gè)實(shí)數(shù)集 和 ,若一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 ,使 內(nèi)每一個(gè)數(shù) ,都有唯一的一個(gè)數(shù) 與它對(duì)應(yīng),則稱 是定義在數(shù)集 上的函數(shù),記作 : ( )。數(shù)集 稱為函數(shù)的定義域。對(duì)于 中的每一個(gè) 根據(jù)法則 所對(duì)應(yīng)的 中的數(shù) ,稱 為在點(diǎn) 的函數(shù)值,常記為 。全體函數(shù)值的集合 稱為函數(shù)的值域。[17]
高等數(shù)學(xué)中的定義:設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量 和 ,若對(duì)于 的取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值,按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則, 有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),則稱 是 函數(shù),記作 ,變量 稱為自變量,變量 稱為因變量。自變量 的取值范圍稱為函數(shù)的定義域。當(dāng)自變量在定義域內(nèi)取定某個(gè)值 時(shí),按照確定的對(duì)應(yīng)法則所得到的因變量的相應(yīng)值 稱為函數(shù) 在 處的函數(shù)值,記作 ,并稱函數(shù) 在 處有定義。當(dāng)自變量 在定義域上取值時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值全體稱為函數(shù) 的值域。[18] 由以上的兩個(gè)定義可以看出,大學(xué)教材中的定義是在中學(xué)教材中的定義的基礎(chǔ)上做了適當(dāng)修改。

1.4引入函數(shù)概念的意義
從人類數(shù)學(xué)發(fā)展的整個(gè)歷程來看,一個(gè)根本的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是17世紀(jì)中葉,笛卡爾引入變量。恩格斯給予了高度評(píng)價(jià)“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù),有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分和積分也就立刻成了必要,而它們也就立刻產(chǎn)生。”[19]也正是由于人們對(duì)變量、函數(shù)概念的認(rèn)識(shí),數(shù)學(xué)科學(xué)由初等數(shù)學(xué)時(shí)期(或稱常量數(shù)學(xué)時(shí)期)進(jìn)入了高等數(shù)學(xué)時(shí)期(或稱變量時(shí)期)。函數(shù)概念不僅使得人類數(shù)學(xué)思維發(fā)生了質(zhì)的飛躍,而且導(dǎo)致了數(shù)學(xué)科學(xué)的蓬勃發(fā)展,數(shù)學(xué)中的許多概念或由函數(shù)派生,或由函數(shù)統(tǒng)率,或可歸之為函數(shù)觀點(diǎn)研究。因此,可以毫不夸張地說,函數(shù)是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。
函數(shù)在數(shù)學(xué)教育中的重要性體現(xiàn)在:函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容中重要的基礎(chǔ)概念之一。進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析,包括極限理論,微分學(xué)、積分學(xué)、微分方程乃至泛函分析等高等學(xué)校開設(shè)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程,無一不是以函數(shù)作為基本的概念和研究對(duì)象的。其他學(xué)科如物理學(xué)等學(xué)科也是以函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)作為研究問題和解決問題的工具。此外函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容還蘊(yùn)涵著極其豐富的辯證思想,是對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育和愛國主義教育的好素材。函數(shù)的思想方法廣泛地滲透到了中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程和其它學(xué)科中。通過對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí),對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有重大作用,它將使學(xué)生通過這一概念的形成引發(fā)對(duì)思維水平質(zhì)的飛躍,并引導(dǎo)其由形式邏輯思維范疇進(jìn)入辯證思維范疇。
 

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