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基于函數(shù)概念的認(rèn)知分析的教學(xué)策略研究
基于函數(shù)概念的認(rèn)知分析的教學(xué)策略研究
函數(shù)概念教學(xué)策略可以從各個(gè)角度來闡述、分析，但根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知理論對學(xué)習(xí)與教學(xué)的理解,教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從以下幾方面出發(fā): 用直觀的形式向?qū)W習(xí)者顯示學(xué)科內(nèi)容結(jié)構(gòu)，應(yīng)該讓學(xué)習(xí)者了解教學(xué)內(nèi)容中涉及的各類知識(shí)元之間的相互關(guān)系；學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)應(yīng)適合于學(xué)習(xí)者認(rèn)知發(fā)展水平，按照由簡到繁的原則來組織教學(xué)內(nèi)容。這里所說的由簡到繁是指由簡化的整體到復(fù)雜的整體；學(xué)習(xí)以求理解才能有助于知識(shí)的持久和遷移；向?qū)W生提供認(rèn)知反饋可以確認(rèn)他們的正確知識(shí)和糾正他們的錯(cuò)誤學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)者自定目標(biāo)是學(xué)習(xí)的重要?jiǎng)恿σ蛩�；學(xué)習(xí)材料既要以歸納序列提供，又要以演繹序列提供；學(xué)習(xí)材料應(yīng)體現(xiàn)辯證沖突，適當(dāng)?shù)拿苡兄谝l(fā)學(xué)習(xí)者的高水平思維。因此函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)都必須從學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的心理過程規(guī)律和函數(shù)概念的構(gòu)成基礎(chǔ)出發(fā)，通過教學(xué)情境促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念。即教學(xué)理論應(yīng)從函數(shù)概念的構(gòu)成，學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)實(shí)踐的整體出發(fā)，而不是僅僅從某一側(cè)面出發(fā)。按照現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)同一切學(xué)習(xí)一樣是將外在學(xué)習(xí)材料內(nèi)化的過程。如果學(xué)習(xí)材料與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)有聯(lián)系，則要通過教學(xué)藝術(shù)活動(dòng)使之建立聯(lián)系，使之學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化。 [27]
4.1構(gòu)建以函數(shù)為軸的整體教學(xué)設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)內(nèi)容，本身就是重要的基礎(chǔ)知識(shí)，它貫穿了整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)中的諸多概念或由函數(shù)派生、或由函數(shù)統(tǒng)率，或可歸之為函數(shù)觀點(diǎn)研究。這就要求我們教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從一個(gè)整體來設(shè)計(jì)，應(yīng)瞻前顧后。比如課例1.中指出的教師可舉一些離散的例子，為高中的函數(shù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。又如代數(shù)式的學(xué)習(xí)，可看成帶有變數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，求代數(shù)式的值，實(shí)質(zhì)上就是求函數(shù)值。解方程（組）實(shí)質(zhì)上是求已知函數(shù)的變數(shù)值，使在變數(shù)值上已知函數(shù)有某個(gè)預(yù)先指定的值。如解方程 ,實(shí)質(zhì)上是求函數(shù) 何時(shí)函數(shù)值為1。有些方程的題甚至不轉(zhuǎn)化到用函數(shù)來解將無從下手，或計(jì)算過程相當(dāng)繁鎖。例如這樣一道題：當(dāng) 為何值時(shí)，關(guān)于 的方程 有兩個(gè)、一個(gè)、零個(gè)實(shí)數(shù)解？像這樣一道題我們首先應(yīng)將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程并整理得： ，故原問題等價(jià)于討論函數(shù) 和函數(shù) 的交點(diǎn)問題，并且交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為原方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。接下來利用數(shù)形結(jié)合的思想，作出 的函數(shù)圖像。取圖像中 的部分，容易
得出１．當(dāng) 時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，故原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；
２．當(dāng) 或 ，有一個(gè)交點(diǎn)，故原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
�。常�(dāng) 或 ，無交點(diǎn)，故原方程有零個(gè)實(shí)數(shù)解。同樣解不等式也可類似處理。如解不等式 ，實(shí)質(zhì)上是求函數(shù) 何時(shí)函數(shù)值恒為正數(shù)；數(shù)列也可看成定義在 上的函數(shù)，等差數(shù)列通項(xiàng)公式： 可看成一次函數(shù) ，等差數(shù)列前Ｎ項(xiàng)的和 可看成二次函數(shù) 。等比數(shù)列以及其它許多知識(shí)都可以從函數(shù)的角度來認(rèn)知。這樣使學(xué)生在課堂中能多個(gè)角度來認(rèn)知，更利于知識(shí)的理解和掌握。
此外中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)，一般以基本概念、公式、定義、定理、推論、原理、法則、例題、習(xí)題等形式出現(xiàn)，通常這些為知識(shí)元素。教材編寫者按照邏輯順序把這些知識(shí)元素編成教材，從而形成一條邏輯鏈條。在這個(gè)邏輯鏈條中，知識(shí)元素之間有內(nèi)在的聯(lián)系，它們本是一個(gè)有機(jī)的整體。但在教學(xué)中，教師大都是把這些知識(shí)元素一個(gè)一個(gè)地教給學(xué)生，而沒有一個(gè)整體的教學(xué)設(shè)計(jì)思想。這樣學(xué)生很容易忽視這些知識(shí)元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，用孤立、靜止的觀點(diǎn)看待這些知識(shí)元素。這不僅不利于理解知識(shí)的本質(zhì)，也不利于應(yīng)用這些知識(shí)元素解決實(shí)際問題。因?yàn)槿魏我粋�(gè)復(fù)雜的問題的解決，都需要綜合運(yùn)用各種知識(shí)元素才可能完成。
由函數(shù)所反映的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系的觀點(diǎn)來貫串這些知識(shí)元素，將有助于克服數(shù)學(xué)教學(xué)中易出現(xiàn)的上述問題。例如，銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，在分別學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生不易看出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，但若用函數(shù)所反映的運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)把它們看成由一邊不動(dòng)而另一邊繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的，就把這些角的概念在運(yùn)動(dòng)過程中統(tǒng)一起來了，而且還把角的概念的本質(zhì)，即角的大小與邊長無關(guān)，只由兩邊張開的程度來決定，進(jìn)一步揭示出來了。
4.2函數(shù)概念教學(xué)要注重學(xué)生的情感需求
在第三章第一節(jié)已談到學(xué)生對函數(shù)知識(shí)所持的情感會(huì)影響學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知。布魯納也曾指出：“認(rèn)知可以改變情感，情感也可以影響認(rèn)知。”情感在這里是指以興趣、愿望、熱情等形式構(gòu)成學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，作為主要的非認(rèn)知因素制約著認(rèn)知學(xué)習(xí)。教育不僅要側(cè)重認(rèn)知能力的培養(yǎng)，還要兼顧情感的發(fā)展。事實(shí)上，情意行為與認(rèn)知活動(dòng)是分不開的，兩者共生共荗。缺乏情感的學(xué)習(xí)不是真正的學(xué)習(xí)，幾乎所有的認(rèn)知都會(huì)有情感成分，而且相輔相成。[28]教學(xué)過程既是知識(shí)信息的傳輸、反饋過程，也是師生情感融匯的過程。教學(xué)系統(tǒng)是知識(shí)和情感兩個(gè)子系統(tǒng)的交織，兩者應(yīng)是水乳相融、緊密相聯(lián)的。心理學(xué)的情感理論還指出“人的情感具有啟動(dòng)、定向、維持、強(qiáng)化等功能，并具有兩極性、彌散性、感知性、遷移性。因此，重視情感教育，不僅能提高課堂教學(xué)效果，而且還能提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，形成良好的個(gè)性品質(zhì)。
4.2.1加強(qiáng)情感教學(xué)的理論依據(jù)
全日制義務(wù)教育階段國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的提法較以前有較大的改進(jìn)___強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)首先關(guān)注毎一個(gè)學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀和一般能力的發(fā)展，增進(jìn)對數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。[29]這一總目標(biāo)：使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)充滿著探索和創(chuàng)造；感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性；形成實(shí)事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣。
《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的框架設(shè)想（2002，3.18征求意見稿）中可以看出課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)置正朝著以人為本的方向努力，努力拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)面，關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)背景，關(guān)注學(xué)生的自主探索和合作交流，讓學(xué)生通過主動(dòng)參與、積極思考、與人合作交流和創(chuàng)新等過程，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心和方法；關(guān)注學(xué)生的情感和情緒體驗(yàn)，讓學(xué)生投入到現(xiàn)實(shí)的、充滿探索的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中去，體會(huì)數(shù)學(xué)的探索過程，體會(huì)數(shù)學(xué)與自然、社會(huì)和人類生活的聯(lián)系，獲得情感、能力、知識(shí)的全面發(fā)展；新課程標(biāo)準(zhǔn)努力給教材的多樣性創(chuàng)造條件，給教師教學(xué)留有余地，給學(xué)生學(xué)習(xí)提供充分的時(shí)間與空間。
自20世紀(jì)90年代初制定的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱就一直把培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)作為數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一，而且對良好個(gè)性品質(zhì)作了較完整的解釋。而依據(jù)新大綱編寫的新教材更加注重以學(xué)生為本。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體；新教材充分注意到了學(xué)生這個(gè)主體在學(xué)習(xí)過程中的主動(dòng)性和參與性。
4.2.2注重?cái)?shù)學(xué)的科學(xué)性與人文性的融合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)
數(shù)學(xué)不僅具有重要的科學(xué)價(jià)值，同時(shí)還具有豐富的人文價(jià)值。數(shù)學(xué)文化作為一種基本的文化形態(tài)始終與人類文化協(xié)調(diào)發(fā)展，相得益彰。正如美國著名數(shù)學(xué)教育家M.克萊因所說：“數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化主要力量，同時(shí)又是這種文化極其重要的因素，這種觀點(diǎn)在許多人看來是難以置信的，或者充其量來說也只是一種夸張的說法。這種懷疑態(tài)度完全可以理解，它是一種普遍存在的對數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的錯(cuò)誤概念所帶來的結(jié)果。”[30]然而在過去，我們的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主要限于數(shù)學(xué)的知識(shí)成分，很少涉及數(shù)學(xué)思想、精神、學(xué)生情感和價(jià)值觀等人文成份。在數(shù)學(xué)教學(xué)中過于注重?cái)?shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，而忽視對其人文精神的提煉，沒有很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)科學(xué)本身所固有的人文功能。[31]從函數(shù)概念教學(xué)現(xiàn)狀分析，可以看出大部分教師注重了函數(shù)概念的分析和要點(diǎn)的把握。但大都忽略函數(shù)概念所包含的人文精神。函數(shù)概念發(fā)展至今有300多年的歷史，一直處于發(fā)展變化的動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。有著豐富的人文內(nèi)涵。從學(xué)生的調(diào)查和訪談結(jié)果知：都希望老師能重視數(shù)學(xué)的人文性。普遍認(rèn)為在課堂中介紹數(shù)學(xué)史知識(shí)，能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法的產(chǎn)生和發(fā)展過程；能夠促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，消除對數(shù)學(xué)的畏懼感、神秘感，進(jìn)而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣；能夠使學(xué)生學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)家的堅(jiān)毅品質(zhì)和科學(xué)的獻(xiàn)身精神；能夠使學(xué)生了解到祖國和世界的數(shù)學(xué)成就，從而產(chǎn)生民族自尊心、自豪感，并形成其自覺為祖國和世界文化昌盛而奉獻(xiàn)的意愿。從李善良對江蘇省準(zhǔn)陰市區(qū)十所中學(xué)初二年級師生進(jìn)行的一次問卷調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史教育明顯不足；教師普遍認(rèn)為：教材中對數(shù)學(xué)家介紹太少，多數(shù)情況只提名字而無簡歷或故事，教材中對外國數(shù)學(xué)史介紹得太少，此外，教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容未能與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合。教學(xué)中只有40%左右的教師主動(dòng)地將數(shù)學(xué)史內(nèi)容穿插在課堂上講解，有40%的教師要求學(xué)生課外閱讀，而至少有20%的教師從未對學(xué)生進(jìn)行這方面的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，其原因主要為數(shù)學(xué)史知識(shí)不是升學(xué)考試內(nèi)容。[32]從本人的問卷２第５題的調(diào)查結(jié)果來看，教師對數(shù)學(xué)史知識(shí)的教學(xué)重視的力度不夠。就這樣一道題只有少數(shù)同學(xué)注意到了教材上旁邊的注解，能夠回憶起來。有人這樣回答的：“這東西，誰關(guān)心，不知道。”既然數(shù)學(xué)史教育是學(xué)生就歡迎的，而函數(shù)概念又有著３００多年的歷史，在我們的函數(shù)課堂中就應(yīng)重視。值得注意的是：在介紹數(shù)學(xué)史要能和教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合；介紹方法與處理方法可靈活多樣；數(shù)學(xué)史教育內(nèi)容應(yīng)當(dāng)中外兼顧。數(shù)學(xué)史教育應(yīng)時(shí)刻注意教育對象。
除了傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式影響了學(xué)生對數(shù)學(xué)所持的情感外，我們的大眾傳媒在一定程度上應(yīng)負(fù)一定的責(zé)任。有人做過調(diào)查訪問，“蘇步青和張藝謀哪個(gè)貢獻(xiàn)大？”大都回答“蘇步青”。然而當(dāng)問及他們的生平事跡時(shí)，大多對張藝謀的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都能講出。而對著名的數(shù)學(xué)家蘇步青教授卻知之甚少。誰都能感覺出我們今天的大眾傳媒對娛樂、體育方面消息報(bào)道多于其它的學(xué)術(shù)知識(shí)，比如報(bào)紙整版都是娛樂新聞。而對一些科學(xué)家的生平，學(xué)術(shù)方面的報(bào)道出奇的少，這樣促使我們的學(xué)生情感發(fā)生了轉(zhuǎn)移。我們應(yīng)呼喚“80年代的陳景潤精神”再度掀起。也有望我們大眾傳媒關(guān)注孩子的全面發(fā)展，關(guān)注孩子未來。不能為了一時(shí)的經(jīng)濟(jì)利益，而以犧牲年輕一代為代價(jià)。
4.2.3函數(shù)概念教學(xué)中注重函數(shù)思想的滲透
函數(shù)概念不僅具有豐富的人文歷史，同時(shí)是貫穿數(shù)學(xué)始終一種重要的數(shù)學(xué)思想即函數(shù)思想。隨著社會(huì)的發(fā)展，“終身學(xué)習(xí)”和“人的可持續(xù)發(fā)展”等教育觀念進(jìn)一步得到人們的認(rèn)同，而要想實(shí)現(xiàn)“終身學(xué)習(xí)” 和“人的可持續(xù)發(fā)展”，重要的是教育中發(fā)展學(xué)生的能力，掌握獲得知識(shí)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)的方法。心理學(xué)的研究結(jié)果表明，高度概括的內(nèi)容能夠在學(xué)生頭腦中留下長久的記憶。數(shù)學(xué)的思想方法與具體知識(shí)相比，具有更高的抽象性與概括性。正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏先生曾深刻地指出：“學(xué)生們有初中或高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門以后不到一兩年就忘掉了，然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，即使學(xué)生把所教給的知識(shí)（概念、定理、法則和公式等）全忘了，銘刻在他心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法卻能使他終身受益。”[３3]既然數(shù)學(xué)思想方法影響著一個(gè)人的一生，而函數(shù)又是一種重要的數(shù)學(xué)思想，我們不容再忽視了，然而有些教師僅僅把數(shù)學(xué)概念看作一個(gè)名詞而已，概念教學(xué)就是對概念做出解釋，使學(xué)生能理解、記住。而沒有看到像函數(shù)這樣的概念本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種處理問題的數(shù)學(xué)方法。因此，一節(jié)“概念課”教完，也就完成了它的歷史使命，剩下的是趕緊解題。至于“指數(shù)函數(shù)”，“三角函數(shù)”等等又是另外的概念了，求函數(shù)的定義域等題似乎也與函數(shù)概念沒什么關(guān)系，因此學(xué)生學(xué)了許多具體函數(shù)（在心理上建立了相應(yīng)的心理表征）。解了不少與函數(shù)有關(guān)的題目，卻不能說出函數(shù)的大致意思，這樣的心理表征是不完善的。在這樣的心理表征下，學(xué)生能很好地運(yùn)用函數(shù)思想去處理問題嗎？
函數(shù)思想是函數(shù)相關(guān)知識(shí)的一個(gè)重要組成部分。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能重視函數(shù)思想及其方法的傳授，就有利于幫助學(xué)生掌握開啟知識(shí)的鑰匙，也就有利于加速知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的進(jìn)程。此外在數(shù)學(xué)教學(xué)中還應(yīng)注意函數(shù)思想與其它的模型轉(zhuǎn)化思想、變換思想、概率統(tǒng)計(jì)思想、優(yōu)化思想、方程思想等有較多的聯(lián)系。目前世界各國都很重視數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，許多發(fā)達(dá)國家把函數(shù)思想作為貫穿中小學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。[３4]函數(shù)教學(xué)從小學(xué)開始接觸變量的思想，初中進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)思想，到高中集合對應(yīng)觀點(diǎn)下的函數(shù)理論，使得函數(shù)思想在整個(gè)中小學(xué)教育有一個(gè)鋪墊、過渡、延伸的過程。如在小學(xué)階段，函數(shù)作為數(shù)的運(yùn)算出現(xiàn)，例如，兩個(gè)數(shù)之和看成是一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)對應(yīng)；代數(shù)中函數(shù)表示變數(shù)之間的關(guān)系；在幾何中，函數(shù)表示了幾何變換思想，概率中函數(shù)表示了事件發(fā)生與可能性之間的關(guān)系。以美國為例，美國在其《學(xué)校數(shù)學(xué)課程和評估標(biāo)準(zhǔn)》（1989）中，除“模式與函數(shù)”外，其它章節(jié)內(nèi)容如“代數(shù)”、“統(tǒng)計(jì)”都與函數(shù)思想息息相關(guān)。［１］而在其《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則與標(biāo)準(zhǔn)》（2000）中則提出了更進(jìn)一步要求，在早期數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)階段通過觀察事物的變化，探索模式，合理引入函數(shù)。［３4］然而在中國90年代的義務(wù)教育教學(xué)大綱中，在“教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求”中基本沒有提及函數(shù)思想方法，僅有：“使學(xué)生了解……以及反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)”等字樣，學(xué)生在初三以前很小接觸變量、函數(shù)思想。2000年新頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)中注意到了思想方法提出了“了解函數(shù)的概念和三種表示方法……以及結(jié)合圖像對簡單的實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測。”在認(rèn)識(shí)到函數(shù)思想的重要性方面我們比別人晚，這就有望我們一線的教師們更要加倍重視函數(shù)思想的教育。
4.2.4教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上
新的課程標(biāo)準(zhǔn)提出了新的教學(xué)理念：“要實(shí)現(xiàn)人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”如何將教學(xué)達(dá)到這些新的要求，這就要求我們的教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，滿足各自的學(xué)習(xí)需求。認(rèn)知結(jié)構(gòu)即學(xué)生頭腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu)，是指學(xué)生感知、思考事物的主觀模式結(jié)構(gòu)，是學(xué)生全部觀念的內(nèi)容和組織。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識(shí)，按照自己的理解深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯(lián)想、等認(rèn)知特點(diǎn)，組合成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的結(jié)構(gòu)整體。[35]其中一般的模式可用搞活流通來表示，依據(jù)這一基本模式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)可分為三個(gè)階段：輸入階段，適應(yīng)階段，運(yùn)用階段。
而現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家對知識(shí)的獲得持同化論的觀點(diǎn)，即知識(shí)的獲得是學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有知識(shí)吸收并固定要學(xué)新知識(shí)的過程。新知識(shí)同化到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，促使認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷發(fā)展。奧蘇伯爾把學(xué)生要學(xué)習(xí)的新知識(shí)與其認(rèn)知結(jié)構(gòu)起固定作用的原有觀念分為三種關(guān)系：下位學(xué)習(xí)，并列學(xué)習(xí)，上位學(xué)習(xí)。通過前幾章的討論，可知函數(shù)概念經(jīng)過了三個(gè)世紀(jì)的演變，處于命題網(wǎng)絡(luò)的頂層是上位學(xué)習(xí)。上位學(xué)習(xí)也稱總括性學(xué)習(xí)，是指在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的幾個(gè)觀念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)一個(gè)包容性更高的命題，即原有的觀念是從屬觀念，而新學(xué)習(xí)的觀念是總括性的觀念。其同化模式如下圖。
上位學(xué)習(xí)的同化模式[36]
上位學(xué)習(xí)遵循從具體到一般的歸納概括過程,所以我們在教學(xué)中要注重歸納、類比等方法引導(dǎo)學(xué)生同以前所學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，同時(shí)還要克服思維定勢的影響，從而建立起函數(shù)這一辯證概念，使學(xué)生受到良好的思維訓(xùn)練。例如對函數(shù)記號(hào)“ ”的理解，大多學(xué)生認(rèn)為它只可以是一個(gè)解析式，所以缺乏對對應(yīng)法則“ ”正確理解。那么我們在教學(xué)中要多舉學(xué)生生活中比較熟悉的例子，如銀行利率表，股市走勢圖這樣將抽象問題具體化，幫助學(xué)生對符號(hào)“ ”以及函數(shù)的本質(zhì)有正確認(rèn)識(shí)，起到事半功倍的作用。
此外經(jīng)驗(yàn)證明，學(xué)習(xí)者對知識(shí)的積累是必要的。知識(shí)是思維的材料，掌握知識(shí)是能力發(fā)展的途徑。但作為教師，更應(yīng)重視學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對后繼學(xué)習(xí)的重要意義�，F(xiàn)代認(rèn)知學(xué)習(xí)理認(rèn)為，學(xué)習(xí)新概念的過程是新舊概念相互作用的過程，學(xué)習(xí)者的認(rèn)知能力對學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)、研究和知識(shí)的運(yùn)用更為重要。[37] 因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)目標(biāo)選擇時(shí)，應(yīng)努力將知識(shí)的掌握與形成合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)結(jié)合起來，將掌握知識(shí)與發(fā)展能力和培養(yǎng)學(xué)生的情感有機(jī)地結(jié)合起來。
4.3使函數(shù)概念課堂生活化
第三次全教會(huì)提出必須把培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力作為素質(zhì)教育的重點(diǎn)。這給課堂教學(xué)提出了改革的要求和方向。陶行知說過：“生活即教育，教育只有通過生活才能產(chǎn)生作用并成為真正的教育。”所以數(shù)學(xué)課堂的生活化是加強(qiáng)實(shí)踐能力，推進(jìn)素質(zhì)教育的必要手段。新的課程標(biāo)準(zhǔn)也更多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光從生活中捕捉數(shù)學(xué)問題，主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析生活現(xiàn)象，自主地解決生活中的實(shí)際問題。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生生活體驗(yàn)，把數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)生的生活體驗(yàn)相聯(lián)系，把數(shù)學(xué)問題與生活情境相結(jié)合，讓數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化。生活化是一個(gè)過程，并不是指具體的生活內(nèi)容，所謂生活化即在教學(xué)中一方面從學(xué)生的生活體驗(yàn)和已有知識(shí)背景出發(fā)聯(lián)系生活講數(shù)學(xué)，把生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)問題生活化體現(xiàn)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析、認(rèn)識(shí)社會(huì)去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題。為學(xué)生的終身可持續(xù)發(fā)展奠定良好基礎(chǔ)；另一方面在教學(xué)中突出學(xué)生主體地位（弘揚(yáng)個(gè)性）。正如法國世紀(jì)啟蒙思想家盧梭提出的：“自然教育的教學(xué)目的，其核心就是對學(xué)生進(jìn)行教育時(shí)必須順應(yīng)人的本性，主張采用自然主義（泛愛主義的教育方法）還課堂以生活的本來面目。”[38]
一直以來中外不少教育家強(qiáng)調(diào)要處理好教育與生活的關(guān)系，關(guān)注學(xué)生生活本身。像蘇霍姆林斯基在給教師的建議及杜威在民主主義與教育中就明確指出：“教育是生活的需要，依據(jù)生活而教育。”課堂教學(xué)活動(dòng)和各個(gè)環(huán)節(jié)要盡可能地聯(lián)系生活、貼近生活。只有師生課堂教學(xué)活動(dòng)與現(xiàn)實(shí)生活密切相聯(lián)。教育才能最大體現(xiàn)它的價(jià)值，體現(xiàn)它的自然性、即時(shí)性。這正是學(xué)校教育教學(xué)活動(dòng)的生活本性。如何讓生活進(jìn)入我們的函數(shù)概念教學(xué)課堂呢？
首先轉(zhuǎn)變教師的教育意識(shí)是課堂生活化的前提。 服務(wù)是一種資源，優(yōu)質(zhì)服務(wù)是創(chuàng)設(shè)舒心的環(huán)境，獲取最佳效益有效手段。教學(xué)中學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教者服務(wù)學(xué)生，旨在點(diǎn)拔、引導(dǎo)、創(chuàng)設(shè)情境，必須運(yùn)用現(xiàn)代化教學(xué)手段，精湛教學(xué)藝術(shù)，科學(xué)的教學(xué)方法，“潤物細(xì)無聲”地引導(dǎo)學(xué)生探究，獲取知識(shí)、學(xué)會(huì)思維。在初中函數(shù)概念的講授中，教師可以舉生活中的函數(shù)現(xiàn)象引入。如一天的天氣預(yù)報(bào)中，氣溫與時(shí)間的變化情況，汽車行駛速度與路程的關(guān)系等。還有學(xué)生身高、體重隨年齡的變化情況。分清實(shí)例中出現(xiàn)的常量與變量。此過程教師指導(dǎo)學(xué)生自己思考。在高中的函數(shù)概念教學(xué)中同樣可以從實(shí)例引入，通過實(shí)例來講解。眾所周知，從生活實(shí)踐中培養(yǎng)創(chuàng)新能力這一點(diǎn)上，美國“木匠教學(xué)法”很成功。“木匠教學(xué)法”的核心就是注重知識(shí)來源于生活。讓學(xué)生在實(shí)踐中獲取知識(shí) ，讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)問題和自我解決問題，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。
其次善于研究生活中的數(shù)學(xué)是課堂生活化的基礎(chǔ)。 知識(shí)是前人在生活中積累的經(jīng)驗(yàn)或是提煉出的規(guī)律，而教學(xué)目標(biāo)是為了掌握規(guī)律及學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法。若教者只是讓學(xué)生掌握知識(shí)，那就是把學(xué)生頭腦當(dāng)成了知識(shí)的容器，“頭腦不是一個(gè)要被填滿的容器而是把需被點(diǎn)燃的火把。”因此，教學(xué)中必須讓學(xué)生了解知識(shí)發(fā)生的過程，但40或45分鐘畢竟有限，因此教者要引導(dǎo)學(xué)生善于捕捉、獲取、積累生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)。
最后善于創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是數(shù)學(xué)課堂生活化的基本途徑。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是數(shù)學(xué)模擬生活，使課堂教學(xué)更接近現(xiàn)實(shí)生活，使學(xué)生如身臨其境，如見其人，如聞其聲，加強(qiáng)感知，突出難點(diǎn)，激發(fā)思維。常見的創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的做法有：運(yùn)用實(shí)例，運(yùn)用實(shí)物（掛圖），動(dòng)手操作，運(yùn)用媒體和模擬生活。
我們可以讓生活走入課堂，同樣也可讓課堂走向生活，走向社會(huì)、走向?qū)嵺`。把課堂搬出教室，搬出校園，。在自然界中，在社會(huì)中，以真實(shí)、生動(dòng)和豐富經(jīng)驗(yàn)……發(fā)展其實(shí)踐能力，發(fā)展對知識(shí)的綜合運(yùn)用和創(chuàng)新能力，養(yǎng)成合作、分享、積極進(jìn)取等個(gè)性品質(zhì)。
早在上世紀(jì)初，美國教育家杜威就提出“在做中學(xué)”的觀點(diǎn)，無疑，“做”與被動(dòng)地“聽”和“看”是無法比擬的。(I hear, I forget；I see,I remember；I do,I understand.)我聽了，我忘；我看了，我記住了；我做了，我明白了。）皮亞杰也曾指出：讓學(xué)生在活動(dòng)中學(xué)習(xí)，這是兒童教育的最重要的原則。[39]著名的數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾也認(rèn)為數(shù)學(xué)教育,它應(yīng)該來源于現(xiàn)實(shí)、寓于現(xiàn)實(shí)、用于現(xiàn)實(shí)。數(shù)學(xué)教育應(yīng)該通過具體的實(shí)際問題來教抽象的數(shù)學(xué)問題，它應(yīng)該是從學(xué)生所經(jīng)歷所能感悟的客觀實(shí)際中提出問題，然后升華為數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則或數(shù)學(xué)思想。
所以我們應(yīng)從教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際出發(fā)，組織實(shí)施“大課堂”教學(xué)。所謂“大課堂”教學(xué)就是組織學(xué)生走出課堂的教學(xué)。如進(jìn)行實(shí)地考察，或由學(xué)生自己通過做社會(huì)調(diào)查、查閱資料等方式學(xué)習(xí)。“大課堂”教學(xué)打破了單一的課堂集中教學(xué)形式。一方面可以開闊學(xué)生的知識(shí)視野，打破課堂學(xué)習(xí)的局限性，促使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值，并通過社會(huì)化、生活化的方式使學(xué)生學(xué)到有用的數(shù)學(xué)。在教學(xué)中要根據(jù)教學(xué)需要讓學(xué)生走出課堂，但是要注意做好組織引導(dǎo)工作，要讓學(xué)生帶著任務(wù)走出課堂，不能放任自流，搞“放手式”教學(xué)。還可布置實(shí)踐作業(yè)。如通過調(diào)查了解函數(shù)知識(shí)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和實(shí)際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活。比如，現(xiàn)在農(nóng)村各地正在進(jìn)行產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，可組織學(xué)生到農(nóng)戶進(jìn)行調(diào)查、收集數(shù)據(jù)，分析產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整帶來的經(jīng)濟(jì)效益。又如電話費(fèi)、水電費(fèi)等都是時(shí)間的函數(shù)。許多科學(xué)也只有用函數(shù)才能表達(dá)清楚。如物體的自由落體運(yùn)動(dòng)，生物學(xué)中的細(xì)胞繁殖速度，生產(chǎn)成本的核算、生產(chǎn)工效的提高等都是相應(yīng)的自變量的函數(shù)。函數(shù)充斥我們生活的方方面面，或者說，我們的生活離不開函數(shù)，函數(shù)與每個(gè)人息息相關(guān)，這便使我們的函數(shù)課堂生活化和讓函數(shù)課堂走向生活、走向社會(huì)實(shí)踐有了保證。
4.4基于函數(shù)概念的抽象性，用問題驅(qū)動(dòng)組織教學(xué)
“問題是數(shù)學(xué)的心臟”沒有問題就沒有數(shù)學(xué)。現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于思維的研究成果表明，思維過程，即思維通常是由問題情境產(chǎn)生的，而且是以解決問題情境為目的的。所謂問題情境是一種有目的的但又不知如何達(dá)到這一目的的心理困境，也就是當(dāng)已有知識(shí)不能解決新的問題而出現(xiàn)的心態(tài)。人們就必須擬出以曾未曾有過的新的活動(dòng)策略。基于函數(shù)概念的抽象性，我們可以試著用問題驅(qū)動(dòng)函數(shù)概念教學(xué)。問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)有其充足的理論依據(jù)：
1）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，目前教育心理學(xué)界正在以一種新的觀點(diǎn)來理解學(xué)習(xí)和教學(xué)，這就是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是獲取知識(shí)的過程，知識(shí)不單單是通過教師的傳授而得到的，而主要是學(xué)習(xí)者在一定的情境（即社會(huì)文化背景）下，借助于其他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料。通過意義建構(gòu)的方式自己獲得的，其核心是“通過問題教學(xué)解決學(xué)習(xí)”。[40]
2）問題教學(xué)理論，20世紀(jì)60年代中期，前蘇聯(lián)教學(xué)論專家馬赫穆托夫創(chuàng)立了問題教學(xué)理論。這理論是前蘇聯(lián)發(fā)展性教學(xué)理論的重要組成部分，具有相對完整的方法體系和鮮明的時(shí)代特色。馬氏認(rèn)為：在這種教學(xué)中，學(xué)生從事的系統(tǒng)的獨(dú)立探索活動(dòng)與其掌握現(xiàn)成的科學(xué)結(jié)論配合進(jìn)行的，其方法體系建立在問題情境的創(chuàng)設(shè)、問題的提出和問題的解決基礎(chǔ)上的。在問題教學(xué)中，學(xué)生不僅要掌握科學(xué)結(jié)論，還要掌握這些結(jié)論獲得的途徑和過程，其目的在于形成思維的獨(dú)立性和發(fā)展創(chuàng)造力。
3）數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)要求，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)的真正組成部分?jǐn)?shù)學(xué)問題。問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有極其重要的意義，它是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和動(dòng)力，數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)不斷提出問題和解決問題的過程。那么具體到函數(shù)這樣一個(gè)抽象的概念的講授課中又如何應(yīng)用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)呢？就中學(xué)課本中的函數(shù)概念進(jìn)行討論：
中學(xué)課本要講到一元函數(shù)的定義如下， 是一種對應(yīng)法則，它將定義域 中每個(gè)實(shí)數(shù) 對應(yīng)于唯一實(shí)數(shù) ，記為 ，大部分學(xué)生都能背出這個(gè)定義，但是這種表述能刺激他們?nèi)ニ伎既?yīng)用嗎？讓我們用批判的眼光去審視這個(gè)基本概念。
問題1.函數(shù)的概念是不是一個(gè)最基本的概念？為什么要研究函數(shù)？
在現(xiàn)存的教程中你很難找到答案，因?yàn)榇蠹叶疾魂P(guān)心這個(gè)問題。殊不知這是一個(gè)很重要的問題，如不深究其答案，我們將難以把很多數(shù)學(xué)結(jié)果用活，也不知道為何要學(xué)微積分。設(shè)想你在某公司做事，在公司業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)庫、公司的電腦中有函數(shù)嗎？當(dāng)你的上司希望你完成一項(xiàng)市場分析時(shí)，你能在公司里找到任何函數(shù)公式嗎？我們在數(shù)學(xué)教程上讀到的很多理論都是從函數(shù)出發(fā)的，但是在真實(shí)的業(yè)務(wù)中它卻不存在的！這使學(xué)生、教授、數(shù)學(xué)家們感到茫然。
真實(shí)的生活雖然沒有直接的函數(shù)存在，但是我們不得不面對的是很多有自己內(nèi)涵的變量，例如：商品價(jià)格、需求量、時(shí)間、上證指數(shù)、交易量、信用卡余額、溫度、交通事故數(shù)。我們天天都必需和它們打交道，希望理解變量之間的關(guān)系。這里的關(guān)鍵詞是關(guān)系。
問題2.變量之間的關(guān)系有幾種類型？
這是一個(gè)很具本原性的問題，從實(shí)際生活中我們可歸納出下列類型。
a. 完全不相關(guān)；
b. 變量Y由變量組{ }決定；
c. 變量Y由變量X決定；
d. 不確定關(guān)系。
這些關(guān)系的研究推動(dòng)了各種數(shù)學(xué)的誕生。a推動(dòng)了各種“獨(dú)立性”的數(shù)學(xué)的發(fā)展；b產(chǎn)生多元微積分； c產(chǎn)生一元微積分；d產(chǎn)生了概率論。為什么c產(chǎn)生一元微積分呢？首先為了表達(dá)Y由X決定的關(guān)系，我們才能創(chuàng)造了一元函數(shù) 的概念，它的功能是指出當(dāng)自變量 值時(shí) 。因此一元函數(shù) 是表達(dá)Y如何依賴于X的關(guān)系的工具。而一元微積分的工作對象是一元函數(shù)，所以c產(chǎn)生了一元微積分。 與多元微積分的關(guān)系就亦然。將函數(shù)與它所代表的變量聯(lián)系起來，一切都變活了。
例如，大家都知道指數(shù)函數(shù) ，只看抽象的指數(shù)函數(shù)，你的感覺是冰冷的，但當(dāng)你用它來刻畫某項(xiàng)投資在 時(shí)的現(xiàn)值時(shí)，我們就有了新的思路，將 改寫為 ， 有何意義呢？
原來可理解為一年后的收益率！這時(shí)你對指數(shù)函數(shù)是不是倍感親切呢？因?yàn)槟銘?yīng)該關(guān)注你的 ，當(dāng) 時(shí)，你能掙得更多的鈔票！反之 ，你將承受損失。
總之，當(dāng)我們明白了函數(shù)是表達(dá)變量之間關(guān)系的工具時(shí)，我就能知道為什么要研究學(xué)習(xí)函數(shù)，這一點(diǎn)也啟發(fā)我們?nèi)ビ懻撓旅娴膯栴}。
問題3.如何去分析函數(shù)？
還是用一元函數(shù)為例說明。設(shè)有兩個(gè)變量 ，
——某商品的銷量，
X——該商品的價(jià)格。
在一定的條件下，Y與X的關(guān)系可用價(jià)格——銷售函數(shù) 來指導(dǎo)，作為決策者，銷售經(jīng)理雖然關(guān)心函數(shù) ，但是他首先考慮的問題是，如果現(xiàn)在的價(jià)格是 ，在 的基礎(chǔ)上調(diào)整 時(shí)，市場的反應(yīng)如何？即他應(yīng)研究的是 與相應(yīng)的 的關(guān)系：
對 、 的分析稱為增量的分析，，這是微積分的靈魂，在中學(xué)里對函數(shù)的研究出發(fā)點(diǎn)是 的表達(dá)式，在微積分中是對 和 的關(guān)系研究。接下來的問題是：如何研究 與 的關(guān)系呢？……
對其它比較復(fù)雜的概念，均可采用問題教學(xué)法�？偨Y(jié)一下問題教學(xué)法的基本操作程序：1）創(chuàng)設(shè)問題情境；2）引導(dǎo)活動(dòng)探索；3）討論反饋問題；4反思深化問題。即從問題出發(fā)——引導(dǎo)探究——解決問題——歸納反思——發(fā)現(xiàn)新問題——再探究新問題，這樣一個(gè)開放式的教學(xué)模式。
4.5將案例教學(xué)法運(yùn)用于函數(shù)概念教學(xué)中
所謂案例是指包含有某些決策或疑難問題的教學(xué)情境故事，這些故事反映了典型的教學(xué)思考水平及其保持、下降或達(dá)成現(xiàn)象。[41]在新的課程理念的課堂教學(xué)案例，應(yīng)考慮從以下諸方面選擇主題：
1）學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的教與學(xué)方式；
2）體現(xiàn)教師幫助學(xué)生自主探究、合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如數(shù)學(xué)活動(dòng)中，如何關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”，即如何讓學(xué)生分析和研究活動(dòng)中出現(xiàn)的種種現(xiàn)象，并加以整理和組織的過程，經(jīng)歷歸納、概括、抽象，將客觀事物數(shù)學(xué)化或數(shù)學(xué)本身邏輯化的過程；
3） 體現(xiàn)讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程；采用“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式教學(xué)的成功經(jīng)驗(yàn)。
4） 體現(xiàn)數(shù)學(xué)與信息技術(shù)整合的教與學(xué)的方法；
5） 體現(xiàn)教師在教學(xué)過程中的組織者、引導(dǎo)者與合作者作用；
6）體現(xiàn)教學(xué)中對學(xué)生情感、態(tài)度的關(guān)注和過程評價(jià)，以及怎樣幫助不同的人在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展等等。[42]
從以上幾方面編寫的案例在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生，并運(yùn)用它開展探究教學(xué)，從此案例成了取之于學(xué)生又用于學(xué)生的一種難得的課堂資源，探究教學(xué)途徑也得到了很好的拓寬。課堂教學(xué)案例實(shí)錄：
案例1:世界著名的水都威尼斯，有個(gè)馬爾克廣場。廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂。教堂的前面是一方闊地，這片闊地經(jīng)常吸引著四方游人到這里做一種奇特的游戲；先把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達(dá)教堂的正前面。奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運(yùn)地做到這點(diǎn)！他們?nèi)甲叱闪嘶【�，或左或右，偏斜到了一邊。
公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝爾對此問題進(jìn)行了深入的探討，他收集了大量的事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿作怪！長年累月養(yǎng)成的習(xí)慣，使每一個(gè)人一只腳伸出的步子要比另一只腳伸出的步子長一段微不足道，而正是這一段很小的步差 ,導(dǎo)致了人們走出了一個(gè)半徑為 的大圈子！設(shè)某人的腳踏線間相隔為0.1米，平均步長為0.7米, 當(dāng)人打圈子時(shí),兩只腳實(shí)際上走出兩個(gè)半徑相差為0.05米的同心圈�？傻� 。通過此案例可作為初中函數(shù)定義的引入，也可作為高中復(fù)習(xí)初中定義�？蓪⒆鞒烧n件，同時(shí)也可用學(xué)生自己來做這個(gè)游戲。這可大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，生活中這些微不足道的現(xiàn)象，竟然都能用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)來解釋。
案例2：（國外的一堂課）
問題1：這里一共有35個(gè)（yo-yos）在一個(gè)盒子里，有20個(gè)學(xué)生來上課，他們每人自帶了4個(gè)（yo-yos）放在盒子里；問一共有多少個(gè)（yo-yos）在盒子里？
得出： 。
問題2：盒子里一共有166個(gè)（yo-yos），今天有22個(gè)學(xué)生來上課，他們每人帶了6個(gè)（yo-yos）放在盒子里，問盒子里原來有多少個(gè)（yo-yos）？
得出：166=22*6+ 。
問題3：盒子里一共有151個(gè)（yo-yos），盒子里原來有58個(gè)（yo-yos），今天來有31個(gè)學(xué)生來上課，問他們每人帶了多少個(gè)（yo-yos）？
得出： 。
問題4：盒子里一共有109個(gè)（yo-yos），盒子里原來有46個(gè)（yo-yos），每個(gè)學(xué)生帶了7個(gè)（yo-yos），那么來上課的學(xué)生人為多少個(gè)？
得出： 。
問題5：（1） ；（2）166=22*6+ ；
（3） ；（4） 。
將以上四個(gè)式子用一個(gè)模型概括出來。得出： 即 。
問題6：在將來的某個(gè)時(shí)候，學(xué)生每人帶了2個(gè)（yo-yos）放在盒子里，盒子里原來有3個(gè)（yo-yos），那么盒子里的（yo-yos）數(shù)為多少？
這里有兩個(gè)數(shù)不知道，得出： 。
練習(xí)1：瑪麗有6盒口香糖，每一盒里有5片，那么她一共有多少片口香糖？
練習(xí)2：特德有15條魚，他把每3條放一個(gè)魚罐，那么他一共放了多少個(gè)魚罐？
此案例完全用學(xué)生自己在經(jīng)歷一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的過程，包括最后的練習(xí)都是通過操作可以解決的。比起我們國內(nèi)直接舉出我們見過這樣的式子： 來引入要更能滿足學(xué)生的內(nèi)在需求。這樣整個(gè)教學(xué)活動(dòng)都融入了社會(huì)這個(gè)群體中。如下圖所示： 此案例可作為一次函數(shù)的引入講解，也可用于方程的學(xué)習(xí)。[43]
案例3：2000年5月11日《解放日報(bào)》第6版題為《“發(fā)福”不是福，肥胖是“殺手”》的文章指出：目前國際流行的體重指數(shù)法（MBI）和最新的亞太地區(qū)肥胖指標(biāo)，將體重（千克）除以身高（米）的平方，結(jié)果大于23即為超重，大于25即為肥胖，介于18.5至22.9之間屬于正常。請根據(jù)自己的體重（千克）及身高（米）設(shè)計(jì)一道數(shù)學(xué)題并加以解答。
教師分析題意：找出問題中關(guān)鍵關(guān)系式是肥胖指標(biāo)與體重、身高之間的等式關(guān)系，它們?yōu)椋悍逝种笜?biāo)= 。能否用符號(hào)來表示？讓我們選定符號(hào)。
學(xué)生回答，教師認(rèn)同：肥胖指標(biāo)用 ，體重用 ，身高用 表示，那么上述關(guān) 系式即為： 。
師：符號(hào)可以簡化我們的思考。好，現(xiàn)在讓我們設(shè)計(jì)問題、提出問題。
問題1：我的身高為1.78米，體重為75千克，是否屬于正常范圍內(nèi)？如果我們把問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，那么相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題是什么？
學(xué)生1：（數(shù)學(xué)問題1）：計(jì)算 ，并判斷是否大于或等于18.5而小于22.9。
計(jì)算的結(jié)果 值為23.67，屬于超重范圍，所以我認(rèn)為要制定計(jì)劃減肥，由于一般情況下我的身高不會(huì)有什么變化，即保持在1.78米，那么我必須把體重減下來，使肥胖指標(biāo)屬于正常范圍。
問題2：那么我的體重必須在什么范圍內(nèi)呢？從數(shù)學(xué)的角度來看是什么問題？
學(xué)生（數(shù)學(xué)問題2）：已知 , ,如果 ,那么 在什么范圍內(nèi)？
師生共同解決： , ,則 ,即 。
這說明我的體重介于58.6154千克與72.55636千克之間的話為正常范圍。
師:我們還能提出什么問題？
學(xué)生：作一個(gè)直角坐標(biāo)系。
師：好，我在黑板上畫一個(gè)直角坐標(biāo)系。下面呢？
學(xué)生：（討論）
師：作一個(gè)直角坐標(biāo)系有什么用？
學(xué)生：作出函數(shù)圖像。
師：什么函數(shù)？
學(xué)生：（討論）
師：我們看到關(guān)系式 中有三個(gè)量，而我們黑板上畫的是平面直角坐標(biāo)系，也是我們僅僅學(xué)過的坐標(biāo)系，在這個(gè)坐標(biāo)中只能表示兩個(gè)維度，這里的x軸、y軸，那么這里的x軸、y軸分別表示什么呢？
學(xué)生：x軸表示k(肥胖指標(biāo))，y軸表示w（體重）。
師：那么h是什么？還能不能是一個(gè)變量？
學(xué)生:只能是一個(gè)常數(shù)，不妨設(shè)為1.78。
師：那么我們就得到函數(shù) ,即 ，是一個(gè)一次函數(shù)，當(dāng)然，這個(gè)函數(shù)的自變量k應(yīng)當(dāng)有一個(gè)取值范圍，例如，上面我們提到介于18.5與22.9之間，那么函數(shù) (體重)就應(yīng)有一個(gè)范圍，就是上面的問題，從圖像上看就是一條直線的一段。受此啟發(fā)，我們是否可以考慮x軸、y軸分別代表其它的變量？
眾生：可以。
師：讓我們進(jìn)一步思考下去。
學(xué)生：x軸表示 （身高）, y軸表示 (體重)。
師： 是否需要是一個(gè)確定的值？
學(xué)生： 為20吧。
師：這樣我們就得到 ，這里 是 的二次函數(shù)，當(dāng)然 也是有取值范圍的，據(jù)此，我們可以設(shè)計(jì)怎樣的問題？
學(xué)生：我小學(xué)畢業(yè)時(shí)身高為1.40米，現(xiàn)在的身高約為1.60米，如果我要保持我的肥胖指標(biāo)一直為20的話，那么我的體重應(yīng)當(dāng)從多少到多少？
師：指你的體重在什么范圍內(nèi)變化？
學(xué)生：對。
學(xué)生：解決他的問題只要計(jì)算出當(dāng) 和 時(shí)的函數(shù) 時(shí)的函數(shù)值。
師生共同：我們算出當(dāng) 和 時(shí)函數(shù) 的函數(shù)值分別為39.2和51.2。
學(xué)生：這說明他的體重應(yīng)從39.2千克到51.2千克。
師:從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看,我們是應(yīng)當(dāng)注意到二次函數(shù) 在自變量取1.40到1.60的范圍內(nèi),函數(shù)值隨著 的增大而增大,這樣我們才有理由說他的體重應(yīng)從39.2千克不斷增加到51.2千克。
好,讓我們繼續(xù)挖掘這里的寶藏吧。
學(xué)生：對于關(guān)系式 中的三個(gè)量確定任何一個(gè)量，我們可得到另外兩個(gè)量的函數(shù)關(guān)系。
師：非常好，具體一點(diǎn)。
學(xué)生：例如對于上面的 ，可變形得到 ，可變形得到 。
師：由一次函數(shù) 得到的 仍為一次函數(shù)，由二次函數(shù) 得到的 是根式函數(shù)（為他們以后的反函數(shù)學(xué)習(xí)作鋪墊）。
如果 為定值，我們設(shè) ，那么可得到什么呢？
學(xué)生： , ,是什么函數(shù)不知道。
師：像 這樣，由若干個(gè)多項(xiàng)式的和、差、積、商所構(gòu)成的函數(shù)（做除法時(shí)除數(shù)恒不為零）叫做有理函數(shù)，在初等函數(shù)中，像 這樣，不是有理函數(shù)的代數(shù)函數(shù)叫無理函數(shù)。
再從另外一個(gè)角度看待以上討論的問題，我們看到今天共解決三類問題：一是求值；二是求范圍；三是兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。而前兩類問題可分別歸結(jié)為求函數(shù)值和值域問題，因此可以用函數(shù)來統(tǒng)一以上所述。[44]
案例4小明的父親是被派往西北某地區(qū)扶貧的一名干部,在他爸爸扶貧的兩村莊在河岸(一段長長的直河)的同一側(cè),由于兩村所在的地勢高于河床,因此,盡管河里水源充足,但兩村莊的水源卻非常緊張。經(jīng)小明的爸爸考察發(fā)現(xiàn)這正是導(dǎo)致兩村莊貧困的主要原因)。要想兩村莊脫貧致富，必須首先得解決水源問題。小明的爸爸想到了一個(gè)方案，在河岸修建一個(gè)抽水站，（需要１０萬元），然后鋪設(shè)管道（鋪管道每米需要２.５萬元）到兩村。經(jīng)測量兩村莊距離河岸分別為４千米和８千米，兩村之間距離為５千米；通過小明的爸爸和當(dāng)?shù)卣驀矣嘘P(guān)部門申請，爭取到了撥款４０萬元。小明的爸爸在想能否用這些資金來完成這一任務(wù)？如果不能完成，那又最少還需要籌集資金多少萬元？在他不是很有把握估算出來時(shí)，想到了在上高中的兒子，馬上打電話給小明，把這一情況向兒子說了一遍，希望能幫他正確預(yù)算出來。
小明接了電話后，想到可以幫老爸一個(gè)大忙，立即開始思考。能否用這些資金完成任務(wù)，取決于完成任務(wù)的最小資金能否不超過４０萬元，修建抽水站和鋪管道每米所需要的資金是固定的，因此能想到的辦法只能是抽水站修建在何處，使給兩村莊所鋪管長最少，于是小明想到了構(gòu)造函數(shù)模型求解。
設(shè)兩村莊分別為Ａ和Ｂ，它們到河岸的距離分別為 ，其中 ，而且 ，并作出了右圖１.的示意圖形，過Ａ作 于 ， ，
又設(shè)抽水站修好建在Ｄ處， ，所要鋪設(shè)總管道長為 ，則有 ，于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 的最小值問題。
圖1.
小明解到此，對于這個(gè)函數(shù)的最小值，無法求解。有沒有其它解決辦法呢？小明想了一夜沒有想出更好的辦法。第二天來請教數(shù)學(xué)老師。數(shù)學(xué)老師沒有給他直接回答。說到數(shù)學(xué)課上一起來就這一問題展開討論：
數(shù)學(xué)課上，老師先講了一點(diǎn)內(nèi)容，然后才把問題拿出來討論的。過了十分鐘后，有同學(xué)沿著小明的思路，想到這里問題的實(shí)質(zhì)是在直線 上求一點(diǎn)Ｄ，使Ｄ到直線同一側(cè)的兩點(diǎn)Ａ、Ｂ的距離之和最小，這正是平面幾何中我們已前所解決過的問題，于是有了思路了。作Ａ關(guān)于直線 的對稱點(diǎn) ，過 作 于 ，連結(jié) B, B交EF的于點(diǎn)D，則D到A、B兩點(diǎn)距離之和最小（如圖2）所示，
此時(shí) （萬米）
故最小費(fèi)用為， （萬元）。 圖2.
故小明的爸爸還需自籌資金約９２５０元。
同學(xué)們仔細(xì)再想一想，此時(shí)下課鈴響起來了，于是老師要求同學(xué)們課后再去想一想，明天再繼續(xù)討論，是否還有更好的辦法，不需要自籌資金是最好的。
第二天，數(shù)學(xué)課上繼續(xù)討論，要求同學(xué)們想一想上面問題解法有沒有問題？還有沒有更好辦法？
同學(xué)們紛紛討論，上面的問題解法沒有什么疑問？我們在學(xué)平面幾何時(shí)老師就特別提醒過這一知識(shí)點(diǎn)的用途。有同學(xué)還說“記得很清楚呢不會(huì)有錯(cuò)”？數(shù)學(xué)老師提醒要同學(xué)們聯(lián)系生活實(shí)際，自已家的自來水管是怎樣來的？
過了約１０分鐘，有同學(xué)想到了，日常生活中的水管多數(shù)是從一戶連到一戶。由此自然想到下面的解法如圖3：
圖3.
把抽水站建在Ｅ處，水管沿Ｅ——Ａ——Ｂ，途徑４＋５＝９千米，比上述解法少了約３.３２７千米。
故沿Ｅ——Ａ——Ｂ途徑的總費(fèi)用為 （萬元）
因此，用這些資金可以完成任務(wù)，而且還有節(jié)余７.５萬元可作為開發(fā)其它項(xiàng)目使用。
老師又讓同學(xué)們仔細(xì)想想這一解法，有沒有問題？
下面請同學(xué)們思考：
（1）在前面問題的解決中理論上應(yīng)該是成立的，為什么反而所鋪管道不是最短呢？
（2）對于類似的問題是否總有第二種方案最佳呢？若不是請同學(xué)們舉例說明。
同學(xué)們對問題（１）有了明確答案：這是因?yàn)�，解法１將問題轉(zhuǎn)化為“抽水站”建在何處，使抽水站到兩村的距離之各最小的問題？而實(shí)際中的目標(biāo)是：把水送到兩村的最小管道長為多少？
對問題（２）同學(xué)們又陷入了困境了，
老師再次提醒，如果當(dāng)兩村莊到河岸的距離不變，而兩村莊的距離改變，（設(shè)為 ），情形如何？
同學(xué)們在演算，不同方法所需的費(fèi)用。
按第一種方法，有 ，其中最短的管道長為 （千米）；
按第二種方案：最短長為 （千米）；
現(xiàn)要比較兩種方法，只需比較兩個(gè)的最短長度即可。
而將上面兩式平方后作差得： ；
故當(dāng) 時(shí)，第二種方案好；
當(dāng) 時(shí)，兩種方案一樣；
當(dāng) 時(shí)，第一種方案好。
通過這種方式的學(xué)習(xí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情調(diào)動(dòng)起來了，而且用學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。通過學(xué)生的討論和自己想辦法解決，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的過程。案例實(shí)錄分析具有思辨性認(rèn)證不可替代性，多種形式、不同層次的個(gè)案可以對實(shí)際課堂實(shí)施情況有清晰的了解，“它以豐富的具體教學(xué)情境為理論與實(shí)踐的結(jié)合提供生動(dòng)的注解”。[45]
案例教學(xué)中的問題來自于學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際，又通過學(xué)生解決問題，從思維激發(fā)的角度看最具有價(jià)值，能真正培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、批判性和深刻性。真正體現(xiàn)了以學(xué)生的學(xué)為本，以學(xué)生的發(fā)展為本的現(xiàn)代教學(xué)理念，學(xué)生在課堂上相互啟發(fā)、交流、接納、贊賞、合作、分享、互助，能經(jīng)歷挫折與失敗，曲折與迂回、成功與興奮，這其中有許多感受和體驗(yàn)是他們理解科學(xué)的本質(zhì)、理解科學(xué)精神的意義與價(jià)值的基礎(chǔ)，可以說學(xué)生的角色完全從傳統(tǒng)教學(xué)中的配角變?yōu)樘骄拷虒W(xué)中的主角，變被動(dòng)接受學(xué)習(xí)為主動(dòng)探究學(xué)習(xí)，學(xué)生真正成了學(xué)習(xí)的主體，探究的主體以及自我發(fā)展的主體。
運(yùn)用案例教學(xué)，有一點(diǎn)需要特別強(qiáng)調(diào)的是：案例的運(yùn)用有一個(gè)適度的問題，整堂課都運(yùn)用案例易使學(xué)生產(chǎn)生厭倦心理。在教學(xué)實(shí)踐中，教師宜根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，有意編制教學(xué)案例，適度運(yùn)用案例，有機(jī)結(jié)合其他教學(xué)方法，能收到相輔相成，互相取長補(bǔ)短，相得益彰的教學(xué)效果。
結(jié) 束 語
函數(shù)的多種表征形式要求教師在從事教學(xué)活動(dòng)時(shí)采取多種教學(xué)方式，以促成學(xué)生對函數(shù)概念的多維度的理解。注重函數(shù)教學(xué)的過程性和建構(gòu)性。函數(shù)就其概念而言，既表現(xiàn)為過程操作又表現(xiàn)為對象結(jié)構(gòu)，而且函數(shù)的多種定義決定了對函數(shù)概念的理解應(yīng)有層次性。同時(shí)函數(shù)的產(chǎn)生來源于其他科學(xué)，教學(xué)時(shí)將其鑲嵌于一定的知識(shí)背景中，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)函數(shù)。此外函數(shù)內(nèi)容的豐富性，不僅具有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還具有豐富的人文歷史，這就要求我們在教學(xué)時(shí)要注重科學(xué)性與人文性的平衡與融合。通過函數(shù)概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)情感、學(xué)習(xí)自信心與數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)思想。此外通過案例創(chuàng)新，撰寫有我國特色的函數(shù)教學(xué)案例將為我們的數(shù)學(xué)教學(xué)改革指明了前進(jìn)的方向。
但由于本人的理論水平、實(shí)際操作水平和時(shí)間有限，本課題的研究也存在一些不足之處：
（１） 調(diào)查實(shí)驗(yàn)的對象涉及的范圍不夠廣，選取的樣本容量不大；
（２） 測試材料雖是經(jīng)過筆者的精心選擇，但是否完全科學(xué)可信還有證明；
（３） 函數(shù)內(nèi)容的豐富性和復(fù)雜性，教學(xué)策略的研究也有待于實(shí)踐來證明。
（４） 由于本人的理論水平還不夠，教學(xué)案例的認(rèn)知分析還不夠深刻。
此外，對于本課題還可以進(jìn)行以下幾方面的研究：
（1）基于新課程標(biāo)準(zhǔn)下的新教材中的函數(shù)教學(xué)內(nèi)容做理論分析和實(shí)踐研究；
（2）如何將函數(shù)教學(xué)與現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行有效整合。
（3）函數(shù)內(nèi)容的豐富性和學(xué)習(xí)的開放性。
注 釋
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