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各向異性介質(zhì)中的Maxwell方程離散化
各向異性介質(zhì)中的Maxwell方程離散化
2.1 電磁場基礎(chǔ)知識(shí)
2.1.1 電磁場的Maxwell方程
電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象并非是孤立的,它們是一矛盾統(tǒng)一體整體,麥克斯韋方程組成功完美地再現(xiàn)了宏觀電磁場交互變化的全部規(guī)律。在任意交變的電磁場中,麥克斯韋方程組[6]表達(dá)為:
(2.1.1.1)
它具有以下的特性:
A. 電磁場擾動(dòng)的傳播可以不依賴于電荷及電流而獨(dú)立存在。方程中的第一式和第三式,決定了磁場在其周圍激發(fā)渦旋性的變化磁場,而變化的磁場又在其周圍激發(fā)渦旋性的變化的電場,因此任何一處發(fā)生電磁擾動(dòng),都會(huì)自動(dòng)地激發(fā)起緊鄰介質(zhì)中的電磁場,在這些如此繼續(xù)下去。因而,電磁擾動(dòng)的傳播是不依賴于電荷及電流而獨(dú)立存在的。
B.方程的完備性。若電磁場在體積V內(nèi)各點(diǎn)的初始值,及全部時(shí)間內(nèi)電場和磁場在V的邊界上的值為已知,則任何時(shí)刻各點(diǎn)的電磁場由麥克斯韋方程唯一確定,該性質(zhì)體現(xiàn)了麥克斯韋方程的完備性。
C.方程的一致性。方程組中第一式和第四式可以互相推導(dǎo),兩式相一致。類似地第二式和第三式是一致的。
媒介中的電磁性質(zhì)方程,媒介中的電磁場分布除了與場源有關(guān)外,還決定于媒介的性質(zhì)。我們知道在恒定的場中,對于無限的均勻的各向同性的非鐵磁性介質(zhì)有
(2.1.1.2)
(2.1.1.3)
在導(dǎo)體中則有: 式子中分別為媒介的電導(dǎo)率、介電常數(shù)和磁導(dǎo)率,均為坐標(biāo)函數(shù)。 是來自其它外來力的等效電場。
實(shí)際上,變化電磁場的頻率,以及介質(zhì)溫度的變化都會(huì)起到這些媒質(zhì)參數(shù)的變化,因而使得介質(zhì)中的變化電磁場求解問題變得十分復(fù)雜,通常為了反映問題的主要方面,可以忽略這些變化因素,從而假定這些參數(shù)都是不隨頻率、溫度和時(shí)間變化的。
2.1.2 Yee式網(wǎng)格
葉(Yee)式網(wǎng)格是用于解決直角網(wǎng)格中的矢量電磁場問題的一種方法。如圖(2.1.2.1)選取直角坐標(biāo)系XOYOZ,其中Ex、Ey、Ez、分別是為E在各坐標(biāo)上的投影,Hx、Hy、Hz則分別是H在各坐標(biāo)軸上的投影,可見葉(Yee)式網(wǎng)格為一空心的立方元,所涉及到的分量交替并存,并可注意到在葉(Yee)式網(wǎng)格中,電場分量總被指定在立方體的邊線中心,而磁場分量總被指定在立方體的面之中心。它顯示了麥克斯韋方程組中頭兩個(gè)方程表達(dá)式的電磁場相互作用的特征關(guān)系。
圖2.1葉(Yee)式網(wǎng)格圖
2.2 Maxwell方程的離散化
2.2.1各向同性介質(zhì)中Maxwell方程的Yee式網(wǎng)格離散化
在離散化過程中,三維介質(zhì)離散成正六面體單元,每個(gè)單元為一個(gè)各向同性均勻電性體。將離散電場分量定義在正六面體單元邊的中點(diǎn),離散磁場分量定義在正六面體單元每個(gè)側(cè)面面元的中心,如圖(2.1)所示。
假設(shè)場的時(shí)間變化為 , 其中 , 是圓頻率,頻率域中的Maxwell 方程[7]為:
. (2.2.1.1)
(2.2.1.2)
式中 是磁導(dǎo)率, 是各向同性電導(dǎo)率; 表示電場, 表示磁場; 是電流密度。
對式子(2.2.1.1)兩邊取旋度得:
代入式子(2.2.1.2)整理得:
(2.2.1.3)
把 分為背景場 和二次場 ,即 代入式子(2.2.1.3)整理得:
(2.2.1.4)
又因: 代入式子(2.2.1.4)整理得:
(2.2.1.5)
由:
(2.2.1.6)
為了簡化書寫,將 中的下標(biāo)“s”省去,將式子(2.2.1.6)代入式子(2.2.1.5)
得電場的三個(gè)分量方
(2.2.1.7a)
(2.2.1.7b)
(2.2.1.7c)
分別對上述三式離散化:
以方程(2.2.1.7a)為例導(dǎo)出場分量的離散化方程。按圖(2.2.1.1)的場分布離散化,式子(2.2.1.6)右端第一個(gè)分量式得到:
(2.2.1.8)
(2.2.1.9)
把上式代入方程(2.2.7a)整理的:
式中, , 是相鄰網(wǎng)格長度的平均值;其他兩個(gè)分量的離散化關(guān)系式可輪換下腳標(biāo)和坐標(biāo)變量得到。
2.2.2各向異性介質(zhì)中Maxwell的方程Yee式網(wǎng)格離散化
在離散化過程中,三維介質(zhì)離散成正六面體單元,每個(gè)單元為一個(gè)各向異性均勻電性體。同上將離散電場分量定義在正六面體單元邊的中點(diǎn),離散磁場分量定義在正六面體單元每個(gè)側(cè)面面元的中心,如圖(2.1)所示。
假設(shè)場的時(shí)間變化為 , 其中 , 是圓頻率,頻率域中的Maxwell 方程[7,8,9]為
, (2.2.2.1)
, (2.2.2.2)
, (2.2.2.3)
式中 是磁導(dǎo)率,等于 ; 是各向異性電導(dǎo)率; 表示電場, 表示磁場; 和 分別是電流密度和磁流密度。
下邊以磁偶極子 ( 和 ) 為例導(dǎo)出Maxwell方程的離散化形式。由(2.2.2.1)和(2.2.2.2)得到二階電場矢量的Helmholtz方程,在似穩(wěn)態(tài)條件下有
, (2.2.2.3)
為了便于處理源點(diǎn)附近的奇異性、開放區(qū)域的邊界條件以及源為有限大小時(shí)的情形,將總場 分離成背景場 和二次場 ,即
, (2.2.2.4)
若設(shè) 為背景介質(zhì)的電導(dǎo)率,由式(2.2.2.4)代入式(2.2.2.3)得
(2.2.2.5)
其中: 代入式(2.2.5)整理得:
(2.2.2.6)
將式子(2.2.2.6)分解成場的三個(gè)分量。在下邊的分析中,為了簡化書寫,將 中的下標(biāo)“s”省去。將旋度算子 式(2.2.1.5)代入式(2.2.2.6) 得到電場的三個(gè)分量的方程:
(2.2.2.7a)
,
(2.2.2.7b)
,
(2.2.2.7c)
式中 , 和 分別為電導(dǎo)率在 三個(gè)方向上的值; , 和 分別為背景場 在 三個(gè)方向上的分量。
對方程 (2.2.2.7a)-(2.2.2.7c) 按圖(2.2.1.1)的場分布離散化,以式子(2.2.2.7a)為例:
首先離散化其中的式子: (2.2.2.8)
離散原理:
以下在分別把式子(2.2.2.8)其中各項(xiàng)結(jié)合Yee式交錯(cuò)網(wǎng)格進(jìn)行離散化:
A: 結(jié)合圖(2.2)對下式進(jìn)行分解
圖2.2 離散Ex網(wǎng)格圖
;
;
B: 結(jié)合圖(2.3)對下式進(jìn)行分解
圖2.3 離散Ey網(wǎng)格圖
;
;
C: 結(jié)合圖(2.4)對下式進(jìn)行分解
圖2.4 離散Ez網(wǎng)格圖
;
最后,把式子(2.2.1.8)和(2.2.1.9)以及上面離散化的式子共同代入式子(2.2.2.7a)
整理得:
式中, , 是相鄰網(wǎng)格長度的平均值,其他兩個(gè)分量的離散化關(guān)系式可輪換下腳標(biāo)和坐標(biāo)變量得到。
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