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函數(shù)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析
函數(shù)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析
2.1教學(xué)案例及簡要分析
課例1.函數(shù)的概念學(xué)習(xí)（初中）
授課地點(diǎn):湖南省漣源巿某中學(xué)初三(2)班。
教學(xué)目標(biāo):1.了解常量變量、自變量和函數(shù)的意義,并能分清實(shí)例中出現(xiàn)的常量與變量、自變量與函數(shù)；
2.會發(fā)現(xiàn)和提出函數(shù)的實(shí)例,能寫出一些簡單函數(shù)的解析式。
教學(xué)過程:
（一）常量與變量概念
1.引入
例1.一輛汽車以30千米/小時的速度行駛,行駛的路程s(千米)與行駛的時間t(時)的關(guān)系怎樣呢?(列出關(guān)系式s=30t)其中哪些量的數(shù)值可以保持不變,哪些量可以取不同的值?
2.練習(xí)
長方形的面積 ,若 ,則 、 是____量, 是____量；
若 ,則 、 是____量, 是¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬____量。
（二）函數(shù)
1．創(chuàng)設(shè)情境引入概念
例1． ；
例2．反映一天氣溫隨時間變化的氣溫圖。（在教科書的P72）。
a.抽象概括形成概念
通過對二個實(shí)例的分析得出在變化過程中兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，引入函數(shù)的定義。
b.深入分析理解概念
分析定義中的關(guān)鍵詞：變化過程，兩個變量，唯一和對應(yīng)。
c.討論練習(xí)鞏固概念
例3：圓的面積S（ ）與它的半徑R（ ）之間的關(guān)系 ，判斷S和R是不是函數(shù)關(guān)系？如果是函數(shù)，那么指出式中的自變量與函數(shù)。
例4：用總長60米的籬笆圍成矩形場地，求矩形面積S( )與一邊長 之間的關(guān)系式，并指出式中的常量與變量、自變量與函數(shù)。練習(xí)：（略）
簡要分析: 函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生不容易理解，這是教學(xué)的難點(diǎn)。教師在設(shè)計時注意到遵循學(xué)生認(rèn)識事物的規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象。首先創(chuàng)設(shè)情境，從實(shí)例引入概念。然后通過二個實(shí)例的比較，抽象概括得出函數(shù)的概念。再進(jìn)一步深入分析函數(shù)的定義，讓學(xué)生理解函數(shù)的概念，最后通過反復(fù)練習(xí)，鞏固函數(shù)的概念。從學(xué)生學(xué)習(xí)心理角度分析，學(xué)生主要經(jīng)歷了一個概念的形成的過程，即從具體事例或具體概念中抽象出了上位概念的一些關(guān)鍵特征，如變量是可以任意賦值的，以及可以不斷變化數(shù)值的量，而常量則是無法變化數(shù)值的量，整個的心理過程是分化、抽象、概括。不足之處在于教師的觀念沒有革新，先入為主。教師有意識創(chuàng)設(shè)了問題情境引入概念，但創(chuàng)設(shè)的情境不能從內(nèi)心引起同學(xué)的興趣。通過二個實(shí)例的分析函數(shù)內(nèi)涵的整個過程，教師都在替學(xué)生思考，學(xué)生自己沒有經(jīng)歷一個“做”的過程，全堂課學(xué)生主動建構(gòu)過程太少，沒有變式訓(xùn)練，全都是同一個類型的例題練習(xí)。此外在初中學(xué)習(xí)階段除了學(xué)習(xí)連續(xù)函數(shù)以外，也接觸到了一些離散函數(shù)。然而課例都是連續(xù)函數(shù)，沒有為后續(xù)高中學(xué)習(xí)離散的函數(shù)做充分準(zhǔn)備，沒有一個以函數(shù)為軸線的整體教學(xué)設(shè)計。
課例2：函數(shù)的定義（高中）
授課時間:2004年11月1日
授課地點(diǎn):湖南省婁底市某中學(xué)高一某班
教學(xué)過程:（一）啟發(fā)引入階段
師(老師):我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念,請同學(xué)們回憶。
生(學(xué)生):回憶不起來,保持沉默。
師:我們腦海里應(yīng)有印象,只是敘述不清。我們并且知道函數(shù)概念比較抽象,有兩個變量。盡管函數(shù)抽象難懂,但卻是一個非常重要的概念,貫穿了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。我們不得不重視函數(shù)概念的學(xué)習(xí)。
師、生:共同回顧了初中的函數(shù)定義。
師：我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)定義，并且學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體的函數(shù)，那么為什么今天我們還要繼續(xù)討論函數(shù)呢？請同學(xué)們看下面兩個問題：問題1： 是函數(shù)嗎？
問題2： 與 是同一個函數(shù)嗎？
生：一副困惑的表情。
師：顯然，僅用我們初中學(xué)習(xí)過的知識是很難解決這兩個問題的，因此我們需要從新的高度來認(rèn)識函數(shù)概念。
（二）傳授新課階段
師：下面我們看非空數(shù)集 、 的元素之間的一些對應(yīng)關(guān)系，（ 、 為有限集）
師：觀察集合A、B有什么對應(yīng)關(guān)系？
師、生（共同討論得出）：
1． 對于集合A中的任意一個數(shù)，集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)；
2．集合A到集合B的對應(yīng)法則： 分別為“ 乘2”、“求平方”、“求倒數(shù)”；
3．對應(yīng)的形式“一對一”、“多對一”。
師：從上可以看到，函數(shù)實(shí)際上就是從自變量 的集合到函數(shù)值 的集合的一種對應(yīng)關(guān)系。
師生：與初中函數(shù)定義比較歸納得出函數(shù)定義2。
（板書）設(shè)A,B是非空的數(shù)集，若按某個確定的對應(yīng)關(guān)系 ，使得對集合A中的任意一個數(shù)x，在集合 B中都有唯一確定數(shù) 和它對應(yīng)，那么稱 ：A B為從集合A 到集合B的一個函數(shù) ，其中A的取值范圍稱函數(shù)的定義域； 稱函數(shù)的值域。
師：進(jìn)一步分析這個概念，定義中蘊(yùn)含三個重要的因素：
1． 對應(yīng)法則，又可理解為操作方法，使A B產(chǎn)生關(guān)系；
2． 定義域， 能夠取值的一切值，（強(qiáng)調(diào)具體問題中要以實(shí)際背景為準(zhǔn)）；
3． 值域，與 的值相對應(yīng)的值的范圍。
師生共同討論了：一次函數(shù)： 的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽，對應(yīng)法則： 的 倍的值與 的和；
反比例函數(shù)： 的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，對應(yīng)法則 ： 的倒數(shù)的 倍；
二次函數(shù)： 的定義域?yàn)镽，值域得分情況討論：
當(dāng) 時，值域?yàn)?；當(dāng) 時，值域?yàn)?。
對應(yīng)法則： 的平方的 倍與 的 倍與 的和。
師：注對應(yīng)法則不一定都能寫出，可通過其它方式表述如圖像、表格等。
師：用集合與對應(yīng)的語言敘述函數(shù)概念后，就容易回答開始留下的問題了，下面請同學(xué)回答。
生1：是函數(shù)， 因?yàn)閷τ趯?shí)數(shù)集R中的任何一個數(shù) ，按對應(yīng)法則“函數(shù)值總是1”，在R中 都有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以 是 的函數(shù)。
生2： 與 不是同一個函數(shù)，因?yàn)楸M管它們對應(yīng)法則一樣，但 的定義域是R，而 的定義域?yàn)?
師：回答得很好！
師：為了更好鞏固定義，通過下面例題進(jìn)行進(jìn)一步的研究。
例1:求下列函數(shù)的定義域。
(1) ； (2) ； (3) 。
解：（1）要使函數(shù)有意義， ，即 ，函數(shù)的定義域 。
（2）要使 有意義， 0，即 ，故定義域?yàn)?。
（3）要使函數(shù)有意義， 要同時滿足，得定義域?yàn)?。
簡要分析：教師在設(shè)計時，緊扣教材，并注意前后知識的聯(lián)系，課前設(shè)置疑問，留下了兩個懸而未解的問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。提到了函數(shù)概念的重要性，以引起同學(xué)的重視。通過三個實(shí)例的對應(yīng)關(guān)系，引出了用集合與對應(yīng)語言描述的函數(shù)定義，并細(xì)致分析了函數(shù)定義中蘊(yùn)含三個重要因素（對應(yīng)法則、定義域、值域）。整個課例是比較典型的講授式課例。不足之處教師對于學(xué)生不記得初中函數(shù)定義完全可以通過幾個熟悉的具體例子幫助學(xué)生回憶，再一起總結(jié)得出，這樣可讓學(xué)生經(jīng)歷一個對函數(shù)有一個重新認(rèn)識的過程。此外教師在對于為什么要繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)可從多角度來分析，如函數(shù)的重要性，人文歷史，來激起學(xué)生內(nèi)在情感的學(xué)習(xí)需求。練習(xí)鞏固應(yīng)盡可能取些結(jié)合學(xué)生實(shí)際生活中的函數(shù)例子，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)無處不在，無處不用來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)激情！
課例3：函數(shù)概念學(xué)習(xí)（高中）
講授時間：2004年11月4日
授課地點(diǎn)：湖南婁底市某中學(xué)高一某班
教學(xué)過程：
復(fù)習(xí)：求下列函數(shù)的定義域：
1、 ； 2、 ； 3、 ；
4、 ; 5、 。
解：1）要使函數(shù)有意義，必須滿足 ，即函數(shù)的定義域?yàn)?。
2）要使函數(shù)有意義 ，必須滿足 ，即函數(shù)的定義域?yàn)?。
3）要使函數(shù)有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域?yàn)?。
4）要使函數(shù)有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域?yàn)?。
5）要使函數(shù)有意義 ，必須同時滿足 ，解得其定義域?yàn)?
例1、已知 的定義域?yàn)镽，求 的范圍。
分析：這里 要分情況討論，
當(dāng) 時，原函數(shù)變?yōu)椋?，此時符合題意。
當(dāng) 時，原函數(shù)要有意義，必須滿足 ，此時又得分情況討論，當(dāng) 時，要使得 ，必須有 ，此時 無解。 當(dāng) 時，要使得 ，必須有 ，此時 符合題意。綜上可得原函數(shù)的定義域?yàn)閇0，12]。
例2、已知函數(shù) ，求 的值。
解： ；
； ；
。
例3、已知函數(shù) ，求 的值。
解： ； ；
； 。
例4、已知 求 。
解： ；
。
例5已知 ，求 的值。
解：設(shè)函數(shù) ，就可觀察得： ；
同樣可得： 。（1）
拓展：能否求出 和 的值呢？
同學(xué)想想，我們可以知道：
，（2）
故可用（1）+（2）得 ，
所以 = ；同理，可得 = 。
例6、已知 是常數(shù)，又 求 的值。
分析：根據(jù)已知可列出以下方程： ，四個知數(shù)三個方程？顯然求不出來。另想其它辦法：
構(gòu)造一個輔助函數(shù)，
依題意得， ； （1）
（2）；（1）+（2）得 。
布置作業(yè)，P51，4，5，P52，6。
簡要分析：本節(jié)課是函數(shù)定義學(xué)習(xí)的后續(xù)課，老師設(shè)計這堂課時花了不少心血，匯集了許多經(jīng)典高考題。先復(fù)習(xí)了定義域的求法，講授了求函數(shù)值的方法，最后講授了函數(shù)的應(yīng)用。應(yīng)用函數(shù)巧妙地解了兩道高考題。給我的感覺講授的內(nèi)容比較多。課后詢問學(xué)生，老師講了這么多題，能接受嗎？學(xué)生回答：“當(dāng)然不能，不過先做筆記，課后再看。”教學(xué)設(shè)計顯然超出了學(xué)生的認(rèn)知水平，盡管經(jīng)過長期的訓(xùn)練，牢記解題技巧，在高考中也許能考個好成績，但學(xué)生的情感、學(xué)生的創(chuàng)新能力培養(yǎng)了嗎？值得我們深思！像這類教師可能還沉醉在自己 “豐富的經(jīng)驗(yàn)”的光環(huán)下，不能自拔。這樣可以比較少的代價的重復(fù)勞動完成所學(xué)的教學(xué)課時數(shù)。陷入了傳統(tǒng)題海中不能自拔是當(dāng)前數(shù)學(xué)問題教學(xué)中的最大危險！正如Fredenthal所說的，數(shù)學(xué)教育的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造，教師不應(yīng)該把數(shù)學(xué)當(dāng)作一個已經(jīng)完成了的形式理論來教，不應(yīng)該將各種定義、規(guī)則、算法灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)創(chuàng)造合適的條件，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，用自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識。
課例4：函數(shù)的定義（應(yīng)用了多媒體教學(xué)）
授課地點(diǎn)：湖南郴洲臨武某中學(xué)高一某班
說明一點(diǎn)：以上是課件的全部內(nèi)容。本節(jié)可以說是多媒體課件給合常規(guī)黑板的教學(xué),屏幕在左邊,沒有完全擋住黑板。在右邊有一大半空地方是老師講解用的。所以課件中沒有例題的解答。
簡要分析：課件做得很簡單，沒有動畫，沒有任何背景。學(xué)生反映還好懂。只是留給學(xué)生自己動手練習(xí)的時間不夠。在后來求值域和定義域的練習(xí)都很匆忙。我個人認(rèn)為內(nèi)容偏多，沒有很好的脫離教材原有的模式。相對于基礎(chǔ)中等以下的學(xué)生接受還有點(diǎn)困難，而對成績好的學(xué)生是自學(xué)也能懂的，只要老師對“函數(shù)第二定義”加以升華就可以了。課后和老師聊聊天，問及他們的課件設(shè)計怎么沒有什么花樣，他給我的回答是，在他們這多媒體教學(xué)已成了常規(guī)教學(xué)。講求實(shí)在一點(diǎn)，想想也只用于節(jié)約了板書的時間，便于一些課外資料的補(bǔ)充。當(dāng)然平時也方便給學(xué)生播放一些教學(xué)資料片，沒有其它作用。故函數(shù)概念教學(xué)與信息技術(shù)的整合也是值得我們探討的課題。沒有充分利用多媒體，滿足學(xué)生不同的需求。我們應(yīng)充分利用計算機(jī)輔助教學(xué)，將現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)成果作為手段在教學(xué)領(lǐng)域里運(yùn)用。讓學(xué)生觀察、理解，探索研究，發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律。給學(xué)生一個主動建構(gòu)的過程，和一個思維的空間，讓學(xué)生參與包括發(fā)現(xiàn)、探索在內(nèi)的獲得知識的全過程。充分利用網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建一個智慧共享的平臺。將學(xué)習(xí)空間拓展到“地球村”，幫助學(xué)生尋找自已合適的學(xué)習(xí)伙伴。
２．２學(xué)生掌握函數(shù)概念的情況分析
筆者分別對初中、高中、大學(xué)的部分學(xué)生和相應(yīng)的一些老師做了如下的幾個調(diào)查，從中了解到學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)知水平的大體情況。由于各個調(diào)查中所選取的樣本容量較小，可能不能全面真實(shí)的反映情況，但是能反映部分情況，以供科學(xué)研究分析。
調(diào)查１：（問卷１見附件一）
調(diào)查對象：湖南漣源巿斗立山鎮(zhèn)第二中學(xué)初三某班和婁底市三中初三某班，抽取樣本120人。
調(diào)查的目的：了解初三學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識水平。（在學(xué)生學(xué)習(xí)完了第十三章函數(shù)及其圖像后進(jìn)行了此次測試。）
調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表明：對一個現(xiàn)實(shí)背景下的函數(shù)關(guān)系，初次接觸函數(shù)的學(xué)生理解兩個量之間的關(guān)系有些困難。這主要體現(xiàn)在問卷的第１道題，兩個學(xué)校分別有21%和19%的學(xué)生搞不清余油量與行駛時間，誰為自變量，誰為因變量。第２道題解方程考察學(xué)生對變量的理解。令人吃驚的兩個學(xué)校分別有７２％和６９％的學(xué)生重新解了“新”方程。Ｗagner(1981)在<<Advanced Mathematics Thinking>>一書中談到對變量的理解:一部分學(xué)生接受,認(rèn)為數(shù)保持相同時,字母變化不會對數(shù)造成影響；另一部分學(xué)生把改變變量字母的問題看作一個新問題，并不發(fā)生學(xué)習(xí)上的遷移。因此調(diào)查的結(jié)果表明沒有發(fā)生學(xué)習(xí)遷移的學(xué)生比例偏高。第３道考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，兩個學(xué)校分別有７５％和６５％的學(xué)生把它作為類似于多項(xiàng)式求值問題，求出兩個端點(diǎn)的函數(shù)值，有些學(xué)生還寫出了一些可笑的答案，如：“ ”，不能很好地結(jié)合圖像來解答。第４道題考查學(xué)生用所學(xué)知識判斷函數(shù)圖像的能力。學(xué)生對此題中沒有見過的函數(shù)圖像不會用正確的方法判斷。在學(xué)生對函數(shù)圖像的概念表象中，他們認(rèn)為函數(shù)圖像要么是直的一條線，要么是彎得像碗一樣。而給出解析式去判斷是否為函數(shù)的正確率要高。對第５道題，考查學(xué)生利用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的能力。對此題大部分學(xué)生受以往“唯一標(biāo)準(zhǔn)答案的影響”，胡亂的猜測一種就交差了。學(xué)生對從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力相當(dāng)欠缺。同時深刻地反映出我國傳統(tǒng)教育的弊端：從小到大，太習(xí)慣于尋找一個標(biāo)準(zhǔn)答案了，不用說數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)，就是語文填空，都只有一個標(biāo)準(zhǔn)答案，慢慢地我們的學(xué)生的思維就被統(tǒng)一了，被限制在同一種固定的模式里。讓人頓悟?yàn)槭裁次覀兊漠a(chǎn)品缺乏核心競爭力？沒有差異的教育模式怎么能教育出有差異的人才？沒有差異的人才怎么能設(shè)計制造出有差異的產(chǎn)品？確實(shí)如此，在一個固定的教學(xué)模式中，在所有思維指向“標(biāo)準(zhǔn)答案唯一”的框框內(nèi)，學(xué)生是不會產(chǎn)生出創(chuàng)新意識的，也不會有創(chuàng)新能力的，我們的一些陳舊的教育觀念已經(jīng)到了不得不改的地步。筆者提倡有不同層次答案的非終結(jié)性問題是突破口之一。在我們的數(shù)學(xué)思考中必須有非程式、非算法、非形式化的成分，只有把“雙基”與其相結(jié)合，才能培養(yǎng)出充滿生機(jī)與活力的智者。
調(diào)查２：（問卷２見附件二）
調(diào)查對象：婁底三中高一某兩個班部分學(xué)生共抽取樣本100人，(兩個班分別隨機(jī)抽取樣本50人)
調(diào)查目的：了解高一學(xué)生對函數(shù)的理解情況與認(rèn)知水平。（此次調(diào)查是學(xué)生學(xué)習(xí)完“函數(shù)的單調(diào)性”后進(jìn)行的。）
調(diào)查結(jié)果：在問卷２中第１題是考察學(xué)生對函數(shù)定義的理解程度，要求學(xué)生用自己的語言寫出函數(shù)的定義，調(diào)查結(jié)果并不令人滿意。大部分同學(xué)是記得書上原定義的部分內(nèi)容。而沒有完全理解好函數(shù)的本質(zhì)。例如：有人寫的是“兩個量的關(guān)系表達(dá)式，應(yīng)用很廣的東西。” “用 表示 的一個等式”。這些只知道函數(shù)的外在表現(xiàn)形式，其它大部分同學(xué)是將初中和高中的函數(shù)定義的一部分內(nèi)容寫在答卷上。問卷中的第２道是考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，盡管學(xué)生在學(xué)習(xí)了“函數(shù)的單調(diào)性”這一部分內(nèi)容時接觸的函數(shù)主要是以圖像表示，學(xué)生利用圖像作為表象的能力應(yīng)有明顯的進(jìn)步，但對于處理函數(shù)最值這類問題仍習(xí)慣于函數(shù)的解析式。例如在此題中，學(xué)生中大致有３類典型的解法。
解法１：因?yàn)?，所以 即 ，即可求出最值分別為１３和１５。
解法２： 且 ， ，當(dāng) 或６時， 取最大值， 。
解法３：畫出 的圖像，由圖形求出最值。
而問卷２中的第３題是考察學(xué)生對變量的理解，75％的學(xué)生回答正確，有２０％的學(xué)生答案為［０，１］。其中部分學(xué)生是因?yàn)槁?lián)不等式“ ”解錯了，剩下的同學(xué)是沒有完全理解定義域的本質(zhì)。第４題考察學(xué)生對函數(shù)定義的理解，第（１）（２）小題給出了具體的表達(dá)式，學(xué)生判斷的正確率高，而對第（３）小題學(xué)生雖然對分段函數(shù)有了初步認(rèn)識，而此題特殊在定義域沒有明確給出，有２５％的學(xué)生回答錯誤，而對于第（４）小題，３５％的學(xué)生回答錯誤，表明學(xué)生對生活中函數(shù)現(xiàn)象不太敏感。第５題是作的順便調(diào)查，關(guān)于學(xué)生對數(shù)學(xué)史知識是否重視和掌握。只有少部分學(xué)生注意了書上旁邊的注解，能夠回憶起來。答卷中有人這樣寫道：“這東西誰關(guān)心，不知道。”這從一方面也反映我們的老師沒有引起足夠重視。第６題全班只有一個人是作出函數(shù)圖像來解題的。這說明學(xué)生習(xí)慣于代數(shù)式的求解，數(shù)形結(jié)合的能力有待加強(qiáng)。像這樣一道題只要做出了如下圖像A4.1，問題都迎刃而解。第７題是一道不定項(xiàng)選擇題，有一定難度，學(xué)生中答對的不多，說明學(xué)生思考問題還不周全。第８題是要求學(xué)生寫出生活中的一些函數(shù)現(xiàn)象。大致寫出了：銀行利率與時間，水電費(fèi)與用水量，電話費(fèi)與打電話的多少，上網(wǎng)費(fèi)與上網(wǎng)時間，人的身高與體重分別與時間，一天的氣溫與時間的變化情況，個人所得稅與工資，騎車的路程與時間等等，學(xué)生所舉的例子還是停留在書本出現(xiàn)過的一些生活中的現(xiàn)象。
調(diào)查３：（問卷３見附件三）
調(diào)查對象：本校數(shù)學(xué)專業(yè)一批即將成為中學(xué)數(shù)學(xué)教師的四年級本科生，共抽取樣本
１００人。
調(diào)查目的：了解經(jīng)過８年的函數(shù)學(xué)習(xí)后學(xué)生的認(rèn)知水平。
調(diào)查結(jié)果：第１題是用自己的語言寫出函數(shù)的定義，由于大部分同學(xué)不記得書上定義了，所以沒有像高中同學(xué)那樣取書上定義的部分內(nèi)容作為自己的語言。而是從函數(shù)定義中蘊(yùn)含的三要素出發(fā)來回答的，有人這樣回答的：“函數(shù)包括三部分：定義域，對應(yīng)法則，值域。這三個部分構(gòu)成了函數(shù)。”有人這樣回答的：“對于定義域下的任何一個 ，在對應(yīng)法則 下，都有唯一的 值與它對應(yīng)的一種特殊映射。”還有人是這樣寫的：“一個或多個 值，均有唯一的一個 與之對應(yīng)的一種關(guān)系。”等等。大都集中在對函數(shù)表現(xiàn)形式上寫定義。第２題第（１）小題有６０％的人回答是同一函數(shù)，而對（２）小題１００％的人回答不是同一函數(shù)。第３題的第（１）小題有２８％的回答是函數(shù)，其中有人簡單地認(rèn)為“只要是表達(dá)式就是函數(shù)”。還有些人認(rèn)為能畫出圖像的都是函數(shù)，而 的圖像是一個圓非常熟悉，理所當(dāng)然是函數(shù)。而對于第（２）小題“ 是不是函數(shù)一題”，有４０％的人認(rèn)為是函數(shù)，其中有人認(rèn)為直線都是函數(shù)，而“ ”是表示一成直線，理所當(dāng)然是函數(shù)，還有人認(rèn)為是常量函數(shù)。而對第（３）小題有３６％的人回答不是函數(shù)，其中大部分錯誤地認(rèn)為根本沒有 的出現(xiàn)，不可能表示函數(shù)，還有部分同學(xué)是認(rèn)為不存在對應(yīng)法則，故不可能表示函數(shù)。對第４題的回答，有人認(rèn)為只要能表示成圖像的都是函數(shù)，所以有部分同學(xué)認(rèn)為全部存在與之對應(yīng)的函數(shù)。上題全部答對占４４％。沒有答對的大都沒有抓住一個 值只有在都對應(yīng)而且只對應(yīng)一個 值時才能構(gòu)成函數(shù)。錯誤地認(rèn)為只要能表示成圖像的都是函數(shù)。第５題，考慮周全的人不多。有人簡單的認(rèn)為是一條上升的直線。如：
圖1. 圖2.
圖3. 圖4.
圖１，這類學(xué)生沒有弄清題意，飛機(jī)著陸之前必須繞北京機(jī)場幾圈；圖２，這類學(xué)生錯誤地認(rèn)為在北京機(jī)場繞圈時距離保持不變。這樣認(rèn)為的人占多數(shù)，說明對現(xiàn)實(shí)生活的感受能力不強(qiáng)；圖３，這類學(xué)生，認(rèn)為繞圈，距離變成了圓圈。只有幾位同學(xué)畫對了，繞圈時距離應(yīng)為圖4的振動圖像。第６題回答的正確率也不高，主要是不定項(xiàng)選擇，選不全，考慮問題欠周全。第７題同學(xué)們想到了：對號入座；一夫一妻；買賣中的錢與重量，寄放包時每個人一個密碼等比高中生對生活中的函數(shù)現(xiàn)象感知能力強(qiáng)。
2．3近幾年中考、高考考查函數(shù)知識統(tǒng)計分析
近三年婁底市初中畢業(yè)會考數(shù)學(xué)試卷考查函數(shù)知識情況統(tǒng)計分析如下表1:
表1
時間 填空題 選擇題 運(yùn)算題 應(yīng)用題 占總分的百分比
2002年 4分 0分 6分 8分 18%
2003年 6分 3分 6分 8分 23%
2004年 4分 3分 7分 9分 23%
近十年高考試卷中考查函數(shù)知識統(tǒng)計情況 如下表2
表2
時間 選擇題 填空題 綜合題 占總分的百分比
1992年 16分 0分 12分 18.7%
1993年 8分 8分 12分 18.7%
1994年 17分 0分 12分 19.3%
1995年 13分 4分 12分 19.3%
1996年 8分 0分 34分 28%
1997年 12分 4分 24分 26.7%
1998年 14分 0分 24分 25.3%
1999年 20分 0分 26分 30.7%
2002年 17分 0分 24分 27.3%
2003年 13分 0分 24分 24.6%
由以上兩表可以看出,函數(shù)知識一直是中考、全國高考考查的重點(diǎn)。近十多年來,一直分別占中考、高考總分的20%左右。而通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這類函數(shù)概念的考核和建立函數(shù)關(guān)系題得分率比較低。從統(tǒng)計中還發(fā)現(xiàn)一些考題確實(shí)讓人拍手叫好!例如:1998年高考選擇題中,有這樣一道題:
向高為H的水中注水,瓶注滿為止, 如果注水量V與深H的函數(shù)關(guān)系的圖像如上圖所示,那么水瓶的形狀是( )。
回答此問題,學(xué)生需要理解函數(shù)及其圖像的概念,從而能夠通過函數(shù)圖像讀懂注水量與水深這兩個變量之間的關(guān)系,根據(jù)水瓶的形狀想象在注水過程中,隨著水位的升高注水量增長速度的變化,從此做出判斷。函數(shù)知識除了在中考和高考中是考查的重點(diǎn)以外，一些競賽活動和一些測試評價題目中也經(jīng)常出現(xiàn)。如PISA（The Programme For International Student Assessment ）2000年數(shù)學(xué)測試題。PISA是世界經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織(The Organization for Economic Co-operation and Development)的一項(xiàng)國際學(xué)生評價項(xiàng)目。有這樣一道題，一輛賽車在一個周長為3千米的封閉跑道上高速行駛。下圖反映了它在整個第二圈的行駛過程中速度與行駛路程之間的關(guān)系：
這個題有多問，其中的兩問是：
問題一：賽車在第二圈的行駛過程中有時沿直線行駛，并且有一段直線路程最長。則當(dāng)它開始走這段路程的時候，它與起點(diǎn)的距離大約是多少？
（A）0．5千米 （B）1.5千米
（C）2．3千米 （D）2.6千米
問題二:根據(jù)題中所給的圖形,下面五條曲線中哪一條最能反映賽車的運(yùn)動軌跡?
這也是一個典型的函數(shù)問題,反映了賽車在行駛過程中速度與行駛路程的關(guān)系。但問題并未以一個函數(shù)表達(dá)式的形式給出,而是用直觀圖像來反映。學(xué)生通過讀圖，理解問題中速度與路程的依存關(guān)系。第一個問題并非要求學(xué)生得出精確的答案，而是通過觀察函數(shù)圖像，根據(jù)問題中的“時刻”，判斷賽車“大約”行駛的路程，滲透了近似估算。同時要求學(xué)生對路況變化和車速變化之間的關(guān)系有一個合理的、常識性的分析。第二個問題則更要求學(xué)生聯(lián)系實(shí)際和生活經(jīng)驗(yàn)做出思考，拐彎處車速自然要慢一些，而且彎拐得越急（曲率越大），車速越需降低。再聯(lián)系起始點(diǎn)，共有幾個彎、幾段直線路程等信息，與函數(shù)圖像做一對比分析自然不難得出答案。這個問題所要評價學(xué)生的是對函數(shù)本質(zhì)的理解，而不是細(xì)枝末節(jié)。［20］
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