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彎曲與分叉渠道潰壩波運(yùn)動(dòng)特性的數(shù)值預(yù)報(bào)
摘 要 基于TVD格式的有限差分算法思想，考慮節(jié)點(diǎn)與單元的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)任意四邊形單元各邊的通量采用優(yōu)選限量函數(shù)的組合型TVD格式進(jìn)行插值，在時(shí)間上采用兩步Runge-Kutta法離散，建立了守恒型淺水方程有限體積的高分辨率計(jì)算模型。首次針對(duì)180°強(qiáng)彎曲河道、90°雙支以及45°三支分叉渠道，數(shù)值預(yù)報(bào)了潰壩波的演進(jìn)過(guò)程，揭示了潰壩波在彎曲河道中內(nèi)外兩岸速度與水位變化，在分叉河道中自動(dòng)進(jìn)行流量與動(dòng)量再分配，在叉點(diǎn)角區(qū)形成旋渦、壅高等復(fù)雜運(yùn)動(dòng)特征，同時(shí)反映了濕底與干底的影響。
關(guān)鍵詞 淺水方程，有限體積，TVD格式，彎曲渠道，分叉渠道，潰壩波
1．前言
許多水利和環(huán)境工程問(wèn)題，都需要進(jìn)行淺水流動(dòng)分析，數(shù)值計(jì)算逐漸成為分析的重要手段。雖然二維淺水流動(dòng)一般問(wèn)題的計(jì)算比較成熟，但對(duì)于有間斷、帶自由面、含復(fù)雜邊界等復(fù)雜淺水問(wèn)題的研究，由于對(duì)數(shù)值計(jì)算方法要求較高仍處于發(fā)展之中。對(duì)潰壩問(wèn)題的研究，一直是引人關(guān)注的重要課題，具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和工程應(yīng)用背景。
過(guò)去對(duì)潰壩問(wèn)題的研究，以差分方法為主，所用的格式有特征線法、顯式和隱式差分法以及最近占據(jù)重要地位的近似黎曼解法等，TVD（Total Variation Diminishing）格式[1]在該類問(wèn)題研究中也逐漸發(fā)揮其獨(dú)特的作用, 如用來(lái)計(jì)算一維潰壩波的傳播、反射[2~5]和二維潰壩波的傳播、反射與繞射[6~9]。對(duì)于復(fù)雜邊界，通常采用坐標(biāo)變換，將不規(guī)則計(jì)算域轉(zhuǎn)換到規(guī)則計(jì)算域，但同時(shí)方程也復(fù)雜化。近年來(lái)，在有限體積離散基礎(chǔ)上的近似黎曼解法，用于計(jì)算淺水流動(dòng)（包括潰壩波）問(wèn)題，取得了良好效果[10~13]。但另一類高分辨率格式—TVD格式用在有限體積方法中尚不多見。
傳統(tǒng)TVD格式形式多樣，數(shù)值性能也有一定差異，有的耗散性偏大，有的壓制性過(guò)強(qiáng)，主要在于所選用的限量函數(shù)的不同。作者在潰壩波計(jì)算的比較研究中，發(fā)現(xiàn)有的限量函數(shù)在計(jì)算干底情況下的潰壩波時(shí)會(huì)出現(xiàn)壩址處的非物理扭曲現(xiàn)象，通過(guò)深入研究，得到了優(yōu)選的限量函數(shù)，并建立了求解淺水方程帶最優(yōu)限量函數(shù)的組合型TVD格式[9]。與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，進(jìn)一步表明采用淺水方程和組合型TVD格式能有效地描述潰壩波的運(yùn)動(dòng)特征[6]。在文獻(xiàn)[8]中提出了衛(wèi)星單元概念和主單元及其衛(wèi)星單元間的拓?fù)潢P(guān)系，把節(jié)點(diǎn)和單元對(duì)應(yīng)起來(lái)，建立了淺水方程在任意四邊形單元上的有限體積TVD格式，可以直接在任意控制單元上進(jìn)行求解。本文擬進(jìn)一步用于解決具有復(fù)雜邊界，例如彎曲與分叉渠道潰壩波傳播的計(jì)算問(wèn)題。關(guān)于彎曲河道，國(guó)外有一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果[14]，而分叉河道中潰壩波的預(yù)報(bào)，國(guó)內(nèi)外至今未見報(bào)道。本文算法的成功實(shí)現(xiàn)，可以較好地解決天然河道潰壩波的計(jì)算問(wèn)題，這將有助于對(duì)實(shí)際河道潰壩波運(yùn)動(dòng)特征的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和為防災(zāi)減災(zāi)決策提供可靠依據(jù)。
2 控制方程
描述潰壩流動(dòng)的控制方程一般是通過(guò)作靜水壓力、小底坡和長(zhǎng)波假定，對(duì)Navier-Stokes方程進(jìn)行深度平均而得到的淺水方程，將其寫成守恒形式為
其中
(1b)
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