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利用兩平面垂直的條件解題的案例分析
一、直接利用題設(shè)的兩平面垂直的條件
例1 如圖1，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°.
(Ⅰ)若AD=2，AB=2BC，求四面體ABCD的體積.
(Ⅱ)若二面角C-AB-D的大小為60°，求異面直線AD與BC所成角的余弦值.
解 (Ⅰ)設(shè)E為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以DE⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD，可知DE⊥平面ABC，即DE是四面體ABCD的面ABC上的高，且DE =AD·sin 30°=1，AE= AD·cos 30°= .
在Rt△ABC中，由于AC=2AE=2 ，AB=2BC，所以由勾股定理知BC= ，AB= .
故V四面體ABCD = ·S△ABC·DE= × × × ×1= .
(Ⅱ)設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點(diǎn)，則EG∥AD，GH∥BC，從而∠EGH是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角.
設(shè)F為邊AB的中點(diǎn)，則EF∥BC.由AB⊥BC，可知EF⊥AB.由(Ⅰ)可知DE⊥平面ABC，故由三垂線定理知DF⊥AB.所以∠DFE為二面角C-AB-D的平面角.由題設(shè)可知∠DFE=60°.
設(shè)AD=a，則DE= AD·sin∠CAD= .
在Rt△DEF中，EF= = = ，從而GH= BC=EF= .
由于Rt△ADF ≌Rt△BDF，所以BD=AD=a.從而在Rt△BDE中，EH= BD = .又EG= AD = ，從而在△EGH中，EG=EH，于是由余弦定理得cos∠EGH= = = .
故異面直線AD與BC所成角的余弦值為 .
小結(jié) 面對(duì)兩個(gè)相互垂直的平面，我們可以聯(lián)想其性質(zhì)定理，恰當(dāng)作出平面的垂線，這樣通常能夠簡化解題過程.
二、活用隱含的兩平面垂直的條件
例2 如圖2，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合.
(Ⅰ)當(dāng)CF =1時(shí)，求證:EF⊥A1C.
(Ⅱ)設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ，求tan θ的最小值.
(Ⅰ)證明:過點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，連接EF，NF，AC1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，且EN?奐平面ABC，所以EN⊥平面ACC1A1，NF為EF在平面ACC1A1內(nèi)的射影.
在Rt△CNE中，CN=CE·cos 60°=1.由 = = ，得NF∥AC1.又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C.
由三垂線定理可知EF⊥A1C.
(Ⅱ)解:tan θ的最小值為 ，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合.(解答過程省略)
小結(jié) 本題的題設(shè)中給定的是正三棱柱，隱含三棱柱的側(cè)面與底面相互垂直的條件，于是得到平面ACC1A1⊥平面ABC.挖掘隱含的兩平面垂直的條件對(duì)順利完成本題解答，起到至關(guān)重要的作用.
三、巧用待證的兩平面垂直的條件
例3 如圖3，在圓錐PO中，已知PO= ，⊙O的直徑AB=2，C是 的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面POD ⊥平面PAC.
(Ⅱ)求二面角B-PA-C的余弦值.
(Ⅰ)證明:由于PO⊥平面ABC，AC?奐平面ABC，所以PO⊥AC.又BC⊥AC，且D為AC的中點(diǎn)，有OD∥BC且OD= BC，可知OD⊥AC.于是有AC⊥平面POD.由于AC?奐平面PAC，所以平面POD ⊥平面PAC.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知，平面POD ⊥平面PAC，且平面POD ∩平面PAC=PD.過點(diǎn)O作OE⊥PD于點(diǎn)E，則OE⊥平面PAC，從而OE⊥PA.過點(diǎn)E作EF⊥PA于點(diǎn)F，則PA⊥平面OEF，故PA⊥OF.于是可知∠OFE為二面角B-PA-C的平面角.
在Rt△ODA中，OD=OA·sin 45°= .
在Rt△POD中，OE= = .
在Rt△POA中，OF= = .
在Rt△OEF中，sin∠OFE= = .
于是可得cos∠OFE= ，即二面角B-PA-C的余弦值為 .
小結(jié) 本題通過巧用待證的兩平面垂直的條件，找到二面角B-PA-C的平面角.本題給出第(Ⅰ)問的目的是降低第(Ⅱ)問的難度.
四、妙用探尋到的兩平面垂直的條件
例4 如圖4，四棱錐S-ABCD中， AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.
(Ⅰ)證明:SD⊥平面SAB.
(Ⅱ)求AB與平面SBC所成角的正弦值.
(Ⅰ)證明:取AB的中點(diǎn)為E，連接DE，則四邊形BCDE為矩形，從而有DE=BC=2.連接CE，由題設(shè)條件可知SE⊥AB，且SE= .又SD=1，故SE2+SD2=DE2.所以SD⊥SE.
由SE⊥AB，DE⊥AB，可知AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.又AB∩SE=E，所以SD⊥平面SAB.
(Ⅱ)解:由AB⊥平面SDE，可知平面ABCD⊥平面SDE，且交線為DE.過點(diǎn)S作SF⊥DE，交DE于點(diǎn)F，則SF⊥平面ABCD，且SF= = .
過點(diǎn)F作FG⊥BC交BC于點(diǎn)G，則AB∥FG，F(xiàn)G=DC=1.
連接SG，由BC⊥平面SFG，知平面SBC⊥平面SFG，且交線為SG.過點(diǎn)F作FH⊥SG，交SG于點(diǎn)H，則FH⊥平面SBC.在Rt△FGH中，F(xiàn)H= = ，則sin∠FGH= = .
所以，AB與平面SBC所成角的正弦值為 .
小結(jié) 第(Ⅱ)問在探尋到兩平面間的垂直關(guān)系后，運(yùn)用兩平面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直和線線垂直的關(guān)系，從而使問題得到順利解答.
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