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與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題的統(tǒng)一解題技巧分析
與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題是各省市檢測和高考年年必考的題目，形式層出不窮，絕大多數(shù)還是區(qū)分度頗高的壓軸題.許多中上水平的考生往往處理完第一問后，對第二、三問或是匆忙求導(dǎo)眼到手不到形成一堆爛賬，或是寫了一堆解答過程發(fā)現(xiàn)走進(jìn)死胡同再出來，這樣做的結(jié)果往往是得分較低，浪費(fèi)時(shí)間，長此以往對科學(xué)備考的負(fù)面影響較大.究其原因，很多考生表現(xiàn)為不知道自己“起步”錯(cuò)誤，具體來說就是對哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)不明確，或?yàn)槭裁匆獦?gòu)造新函數(shù)F (x)和如何構(gòu)造函數(shù)F (x)不明確.本文結(jié)合近兩年的高考題，就解答與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的區(qū)分度頗高的函數(shù)題，如何走好“動一發(fā)而系全身”的第一步，談如何構(gòu)造函數(shù)F (x)，給出程序化的構(gòu)建模式，以達(dá)到“好的開始是成功的一半”的目的.
一、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題概述
與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的區(qū)分度頗高的函數(shù)題主要包括:討論含參(一元參數(shù)或二元參數(shù))方程根的個(gè)數(shù)與范圍，含參(一元參數(shù)或二元參數(shù))不等式的證明，求含參函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間，含參(一元參數(shù)或二元參數(shù))不等式恒成立時(shí)已知含參函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間求某參數(shù)的范圍，已知含參(一元參數(shù)或二元參數(shù))方程根的個(gè)數(shù)和范圍求某參數(shù)的范圍等.題目形式雖然千變?nèi)f化、層出不窮，但本質(zhì)上就是一道題.本文為使問題說明得更加方便，不妨以 f(x)≥g(x)的形式來說明.
二、程序化構(gòu)造函數(shù)F (x)的統(tǒng)一模式
1.直接法:令F (x)= f(x)-g(x).
2.化積法:若 f(x)-g(x)=h(x)k(x)，且h(x)≥0，令F (x)= k(x).
3.伸縮法:若 f(x)≥ f1(x)，則令F (x)= f1(x)-g(x)，其中，f1(x)通常可由熟悉的不等式或前一問中的結(jié)論得出.
4.控元法:含參問題若已給出參數(shù)k的范圍，由單調(diào)性控元、消元、消參，構(gòu)建F (x)(F (x)不含參數(shù)).
5.分離變量法:若能分離出變量k≥k(x)，則令F (x)=k(x).
三、程序化構(gòu)造函數(shù)F (x)的統(tǒng)一模式在高考題中的運(yùn)用
例1 (2013年高考新課標(biāo)全國Ⅱ卷理科卷第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).
(Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論 f(x)的單調(diào)性.
(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.
(Ⅰ)解:m=1. f(x)在(-1，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.(解答過程省略)
(Ⅱ)證明:當(dāng)m≤2，x∈(-m，+∞)時(shí)，ln(x+2)≥ln(x+m).記F (x)=ex-ln(x+2)，則F ′(x)=ex- .
∵F ′′(x)=ex+ >0，∴F ′(x)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.
∵F ′(0)=1- >0，F(xiàn) ′(-1)= -1<0，即 = ，x0=-ln(x0+2)，∴F (x0)= -ln(x0+2)= +x0= >0.
當(dāng)x∈(-2，x0)時(shí)，F(xiàn) ′(x)<0，此時(shí)函數(shù)F (x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，F(xiàn) ′(x)>0，此時(shí)函數(shù)F (x)單調(diào)遞增.
∴ f(x)≥F (x)≥F min(x)=F (x0)>0.
小結(jié) 本題是一道含參不等式的證明題，考生若不假思索地直接采用構(gòu)造F (x)=左-右，則在求F ′(x)=0時(shí)會走進(jìn)死胡同.問題出在含參，因此應(yīng)該控元，將兩個(gè)變量變?yōu)橐粋�(gè)變量，使其常態(tài)化.
例2 (2012年高考山東理科卷第22題)已知函數(shù)f(x)= (k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y= f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行.
(Ⅰ)求k的值.
(Ⅱ)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅲ)設(shè)g(x)=(x2+x) f ′(x)，其中 f ′(x)為 f (x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意x>0，g(x)<1+e-2.
(Ⅰ)解:k=1.(解答過程省略)
(Ⅱ)解:函數(shù) f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減.(解答過程省略)
(Ⅲ)證明:g(x)=(x2+x)· =(1+x)· .
欲證g(x)<1+e-2，即證1-x(ln x+1)< (1+e-2).①
令F 1(x)=1-x(ln x+1)，則F (x)=-ln x-2.令F (x)=0，得ln x =-2，∴x = e- 2∈(0，+∞).
當(dāng)x∈(0，e- 2)時(shí)，F(xiàn) (x)>0，此時(shí)F 1(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e- 2，+∞)時(shí)，F(xiàn) (x)<0，此時(shí)F 1(x)單調(diào)遞減.∴F 1max(x)=F1 (e- 2)=1+e- 2.
令F 2(x)= .∵F (x)= = > 0，∴F 2(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.∴F 2(x)>F 2(0)=1.∴不等式①得證.∴ g(x)<1+e- 2(x>0).
小結(jié) 如何構(gòu)造函數(shù)F(x)，關(guān)鍵在于F ′(x)=0是否易求(或易估).若直接求g(x)，則g′(x)=0的求解將陷入泥潭.
例3 (2012年高考遼寧理科卷第21題)設(shè)f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y= f(x)與直線y= x在(0，0)點(diǎn)相切.
(Ⅰ)求a，b的值.
(Ⅱ)證明:當(dāng)0 (Ⅰ)解:a=0，b=-1.(解答過程省略)
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)+ -1.
∵ < (0 構(gòu)造F (x)=ln(x+1)+ - ，則F ′(x)= + - = .
當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，∵x2+15x-36<0，∴F ′(x)<0.∴F (x)單調(diào)遞減.∴F (x) ∴ln(x+1)+ < .∴ln(x+1)+ -1< ，即f(x)< .
小結(jié) 本題若直接對f(x)求導(dǎo)，則會在計(jì)算f ′(x)=0時(shí)碰壁.原因在于對 求導(dǎo)時(shí)，既有根式又有分式，而ln(x+1)的導(dǎo)數(shù)僅有分式，使得在求f ′(x)=0時(shí)眼到手不到.
(作者單位:廈門工商旅游學(xué)校;廈門英才學(xué)校)
(責(zé)任編校/周峰)
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《利用二次求導(dǎo)巧解高考函數(shù)壓軸題》
隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識考查的要求逐漸加強(qiáng)，現(xiàn)在已由前幾年高考只在解決問題中起輔助作用，上升為分析與解決問題時(shí)不可缺少的工具.
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