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小學(xué)數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與思考
小數(shù)教材體系包括兩條主線:其一數(shù)學(xué)知識(shí);其二,數(shù)學(xué)思想。教者只要看教材,就能明確前者;后者有掌握小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法,才能明確為什么要這樣寫(xiě),才能從整體上、本質(zhì)去理解教材,也才能科學(xué)地、靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)方法,提高課堂教學(xué)效率�；凇读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》,提出“四基”的理念,基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。什么是基本思想?有哪些基本思想?小學(xué)數(shù)學(xué)每?jī)?cè)教材每一課時(shí),都有滲透哪些基本思想?我們努力作一些梳理,便于今后每位數(shù)學(xué)教師都能有參照。因?yàn)槭箤W(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。
我們知道,數(shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生許多必要的數(shù)學(xué)知識(shí),但是絕不僅僅以教會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)為目標(biāo),更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本,是探索研究數(shù)學(xué)所依賴的基礎(chǔ),也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵十分豐富,也有學(xué)者通俗地把“數(shù)學(xué)思想”說(shuō)成“將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的東西”�！墩n程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在這里的措詞為數(shù)學(xué)的“基本思想”,而不是數(shù)學(xué)的“基本思想方法”,是因?yàn)楹笳吒嗟厣婕耙恍┯谐绦�、步驟、路徑的可操作的“方法”,如換元法、代入法、配方法等,它們屬于更為具體的層次。這里在“思想”的前面加了“基本”二字,一方面強(qiáng)調(diào)其重要;另一方面也希望控制其數(shù)量——基本思想不要太多了�！墩n程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中所說(shuō)的“數(shù)學(xué)的基本思想”主要指:數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)建模的思想。
數(shù)學(xué)抽象的思想:抽象是對(duì)同類(lèi)事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征,舍去其非本質(zhì)的屬性或特征的思維過(guò)程。人們?cè)谒季S中,抽象過(guò)程是通過(guò)一系列的比較和區(qū)分、舍棄和收括的思維操作實(shí)現(xiàn)的。人們?cè)谒季S中對(duì)對(duì)象的抽象是從對(duì)對(duì)象的比較和區(qū)分開(kāi)始的。所謂比較,就是在思維中確定對(duì)象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn);而所謂區(qū)分,則是把比較得到的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)在思維中固定下業(yè),利用它們把對(duì)象分為不同的類(lèi)。然后再進(jìn)行舍棄與收括,舍棄是指在思維中不考慮對(duì)象的某些性質(zhì),收括則是指把對(duì)象的我們所需要的性質(zhì)固定下來(lái),并用詞表達(dá)出來(lái)。這就形成了抽象的概念,同時(shí)也就形成了表示這個(gè)概念的詞,于是完成了一個(gè)抽象過(guò)程。
數(shù)學(xué)推理的思想:推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提,根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式:演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是:當(dāng)前提為真時(shí),結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有:三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā),憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué),通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測(cè)某些結(jié)果。合情推理的常用形式有:歸納推理和類(lèi)比推理。當(dāng)前提為真時(shí),合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。
數(shù)學(xué)建模的思想:數(shù)學(xué)建模就是指用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象,通過(guò)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)方法,最終解決實(shí)際問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程。在現(xiàn)實(shí)中為了要解決實(shí)際問(wèn)題,在實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)之間架設(shè)一座方便之橋。并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。通過(guò)數(shù)學(xué)的計(jì)算、分析、找到解決問(wèn)題的有效途徑。數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表,因而它與符號(hào)化思想有很多相通之處,同樣具有普遍的意義。不過(guò),也有很多數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。
數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具,對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化,經(jīng)過(guò)推理和運(yùn)算,對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)、決策和控制,并且要經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的,便可以指導(dǎo)我們的實(shí)踐。
基于上述數(shù)學(xué)基本思想又可以演變、派生、發(fā)展出一些思想,主要體現(xiàn)如下:
一、由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來(lái)的有:分類(lèi)的思想、集合的思想、數(shù)學(xué)形結(jié)合的思想,變中不變的思想、符號(hào)表示的思想、對(duì)稱(chēng)的思想、對(duì)應(yīng)的思想、有限與無(wú)限的思想等。
二、由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來(lái)的有:歸納的思想、演繹的思想、公理化思想、轉(zhuǎn)換化歸的思想、聯(lián)想類(lèi)比的思想、逐步逼近的思想、代換的思想、特殊與一般的思想等。
三、由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來(lái)的有:簡(jiǎn)化的思想、量化的思想、函數(shù)的思想、方程的思想、優(yōu)化的思想、隨機(jī)的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)的思想等。
對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵界定
1、分類(lèi)的思想:所謂分類(lèi),就是根據(jù)對(duì)象的某一屬性特征把它們不重復(fù)不遺漏地劃分為若干類(lèi)別。分類(lèi)的思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn),將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類(lèi)的一種數(shù)學(xué)思想。分類(lèi)以比較為基礎(chǔ),比較是分類(lèi)的前提,分類(lèi)是比較的結(jié)果。
所謂數(shù)學(xué)分類(lèi)討論方法,就是將數(shù)學(xué)對(duì)象分成幾類(lèi),分別進(jìn)行討論來(lái)解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性, 能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類(lèi)思想可不象一般的數(shù)學(xué)知識(shí)那樣,通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可讓學(xué)生掌握應(yīng)用。而是要根據(jù)學(xué)生的年齡特征,學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)知水平,逐步滲透,螺旋上升,不斷的豐富自身的內(nèi)涵,從而達(dá)到利用數(shù)學(xué)分類(lèi)討論方法來(lái)解決問(wèn)題的目的。
2、集合的思想:把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體,就是一個(gè)集合(簡(jiǎn)稱(chēng)集),其中每個(gè)事物叫做該集合的元素(簡(jiǎn)稱(chēng)元)。給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合,是明確的。如“學(xué)習(xí)成績(jī)好的同學(xué)”不能構(gòu)成一個(gè)集合,因?yàn)闃?gòu)成它的元素是不確定的;而“語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)”就是一個(gè)集合。一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個(gè)集合的元素完全相同,就說(shuō)這兩個(gè)集合相等。
集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法。描述法就是在花括號(hào)內(nèi)寫(xiě)出規(guī)定這個(gè)集合元素的特定性質(zhì)來(lái)表示集合的方法。列舉法的局限性在于當(dāng)集合的元素過(guò)多或者有無(wú)限多個(gè)時(shí),很難把所有的元素一一列舉出來(lái),這時(shí)描述法便體現(xiàn)出了優(yōu)越性。此外,有時(shí)也可以用封閉的曲線(文恩圖)來(lái)直觀地表示集合及集合間的關(guān)系,曲線的內(nèi)部表示集合的所有元素。
3、數(shù)學(xué)形結(jié)合:數(shù)形結(jié)合思想就是通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué),數(shù)和形之間是既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系,在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等,這里的形是指幾何圖形和函數(shù)圖象。
數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)捷化,使得原本需要通過(guò)抽象思維解決的問(wèn)題,有時(shí)借助形象思維就能夠解決,有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò):“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形少數(shù)時(shí)難入微。”這句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。
4、變中不變的思想:變與不變,是具有辯證關(guān)系的范疇。當(dāng)指事物及其相關(guān)聯(lián)的因素,在不斷地變化著,但這些變化的趨勢(shì)和因素中,又同時(shí)存在不變的狀況,或者現(xiàn)象變,本質(zhì)不變;局部變,整體不變;暫時(shí)變,最終不變,等等。有些思考和思想對(duì)象,往往是千變?nèi)f化,令人眼花繚亂的,但如果抓住其本質(zhì),就可以不變應(yīng)萬(wàn)變,以靜制動(dòng),最終有效解決問(wèn)題。顯然,變中抓不變的思想方法,有利于解決錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題,能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),根據(jù)局部把握全局等等。這是一個(gè)很有哲學(xué)意義的方法。
5、符號(hào)表示的思想:“符號(hào)”,一般說(shuō)來(lái)就是某種事物的代號(hào),它的意義是采用對(duì)應(yīng)的方式,把一個(gè)復(fù)雜的事物用簡(jiǎn)便的形式表現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)符號(hào)是進(jìn)行空間形式和數(shù)量關(guān)系表示、計(jì)算、推理的工具,是人們對(duì)于客觀事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律的最直觀、最簡(jiǎn)明的表達(dá)方式,是交流與傳播數(shù)學(xué)思想的媒介。
所謂符號(hào)化思想就是用一種符號(hào)代替原物,不用原物而用符號(hào)進(jìn)行表示、交流、運(yùn)算等活動(dòng)的思想。數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言,數(shù)學(xué)世界是一個(gè)符號(hào)化的世界,數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理和解決問(wèn)題的工具,符號(hào)起到了非常重要的作用;因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號(hào),才使得數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn),同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展;國(guó)際通用的數(shù)學(xué)符號(hào)的使用,使數(shù)學(xué)成為國(guó)際化的語(yǔ)言。符號(hào)化思想是一般化的思想方法,具有普遍的意義。
6、對(duì)稱(chēng)的思想:對(duì)稱(chēng)關(guān)系廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題中,對(duì)稱(chēng)美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)方面。充分利用對(duì)稱(chēng)原理,可使我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)多一條有效通道,且往往能更簡(jiǎn)便地使問(wèn)題得到解決。我們將從對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用常見(jiàn)的四個(gè)方面入手進(jìn)行學(xué)習(xí):1、利用關(guān)系式中字母的對(duì)稱(chēng);2、利用圖形的對(duì)稱(chēng);3、利用其他數(shù)學(xué)情形的對(duì)稱(chēng);4、利用隱含條件揭示或構(gòu)造對(duì)稱(chēng)。
對(duì)稱(chēng),顧名思義,就是兩個(gè)事物(或同一事物的兩個(gè)方面)相對(duì)而又相稱(chēng).如果A、B是具有對(duì)稱(chēng)性的兩個(gè)事物(或同一事物的兩個(gè)方 面), 那么把A、B交換順序,其結(jié)果不變,這就是對(duì)稱(chēng)原理.在數(shù)學(xué)問(wèn)題中,經(jīng)常出現(xiàn)在某種意義下對(duì)稱(chēng)的形或式,如幾何中的平行四邊形、正柱體、正錐體、圓錐曲線;代數(shù)中的一些不等式、方程;函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)及它們的圖象等等。充分利用好對(duì)稱(chēng)原理,可使我們?cè)诮鉀Q這類(lèi)問(wèn)題時(shí)多一條有效的通道, 而且常能起到化繁為簡(jiǎn),出奇制勝的效果。
7、對(duì)應(yīng)的思想:對(duì)應(yīng),比喻在一個(gè)系統(tǒng)中的某一項(xiàng)在性質(zhì)、作用或數(shù)量上等情況中,同另一系統(tǒng)中的某一項(xiàng)相當(dāng)。對(duì)應(yīng)思想,是人們對(duì)兩個(gè)集合因素之間的聯(lián)系的一種思想方法,就是利用數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)思考數(shù)學(xué)問(wèn)題。集合、函數(shù)、坐標(biāo)等問(wèn)題都以這一思想為基礎(chǔ)。尋找數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,也是解答應(yīng)用題的一種重要的思維方式。對(duì)應(yīng)思想主要分類(lèi)有:數(shù)形對(duì)應(yīng)、量率對(duì)應(yīng)、量與量的對(duì)應(yīng)、函數(shù)對(duì)應(yīng)。
8、有限與無(wú)限的思想:有限與無(wú)限的思想就是將無(wú)限的問(wèn)題化為有限來(lái)求解,將有限的問(wèn)題化為無(wú)限來(lái)解決,利用已經(jīng)掌握的無(wú)限問(wèn)題的結(jié)論來(lái)解決新的無(wú)限問(wèn)題。
9、歸納的思想:歸納法是通過(guò)對(duì)一些個(gè)別的、特殊的情況加以觀察、分析,進(jìn)而導(dǎo)出一個(gè)一般性結(jié)論的推理方法。歸納法是一種從特殊到一般的推理方法。歸納法的本質(zhì)特征是從已知到未知,從特殊性到一般,從個(gè)性到共性,從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)到事物內(nèi)在規(guī)律的飛躍的過(guò)程。
10、演繹的思想:所謂演繹推理,就是從一般性的前提出發(fā),通過(guò)推導(dǎo)即“演繹”,得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過(guò)程。
11、公理化思想:簡(jiǎn)單地說(shuō),公理就是大家公認(rèn)的、不證自明的道理,它是人們研究問(wèn)題和交流觀點(diǎn)的共同基礎(chǔ)。所謂公理化,就是指在建構(gòu)一門(mén)學(xué)科理論體系時(shí),從盡可能少的原始概念(不加定義的概念)和一組公理出發(fā),遵循邏輯規(guī)則,定義其他概念,演繹和推理其他命題,從而把門(mén)理論建成演繹系統(tǒng)的方法。
在一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系中,我們盡可能少地選取原始概念和不加證明的一組公理,以此為出發(fā)點(diǎn),利用純邏輯推理的規(guī)則,把該理論體系建立成一個(gè)演繹系統(tǒng),這樣一種構(gòu)建理論體系的思想就是公理化思想。
12、轉(zhuǎn)換化歸的思想:人們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題,如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí),往往將需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式,把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題,最終使原問(wèn)題得到解決,把這種思想方法稱(chēng)為化歸(轉(zhuǎn)化)思想。
從小學(xué)到中學(xué),數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)一個(gè)由易到難、從簡(jiǎn)到繁的過(guò)程;然而,人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過(guò)程中,卻經(jīng)常通過(guò)把陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)、把繁難的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí),從而逐步學(xué)會(huì)解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此,化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法,具有普遍的意義;同時(shí),化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問(wèn)題的法寶之一,具有重要的意義和作用。
13、聯(lián)想類(lèi)比的思想:聯(lián)想是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中由此及彼地溝通新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系拓寬研究問(wèn)題的思路。類(lèi)比是通過(guò)比較來(lái)發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的異同點(diǎn),從而有效地實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移、因而聯(lián)想、類(lèi)比好似一對(duì)孿生兄弟,往往同時(shí)作用于某一數(shù)學(xué)對(duì)象,是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法。
14、逐步逼近的思想:根據(jù)問(wèn)題的條件確定解決問(wèn)題的大致范圍,然后通過(guò)不斷改進(jìn)方法或者排除不可能的情形,逐步縮小問(wèn)題的解的存在范圍,從而最終獲得問(wèn)題的結(jié)果。這種思想稱(chēng)之為逐步逼近思想。
15、代換的思想:等量代換的定義:用一種量(或一種量的一部分)來(lái)代替和它相等的另一種量(或另一種量的一部分)。“等量代換”是指一個(gè)量用與它相等的量去代替,它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法,也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ),狹義的等量代換思想用等式的性質(zhì)來(lái)體現(xiàn)就是等式的傳遞性:如果a=b,b=c,那么 a=c。真正使用到的等量代換為:8704;f(a=b∧f(a)→f(b)),其中f是合式公式廣義的等量代換舉例來(lái)說(shuō)就是:“如果李四是張三的同義詞,張三是人,那么李四是人”。這個(gè)數(shù)學(xué)思想方法不僅有著廣泛的應(yīng)用,而且是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn),甚至到了大學(xué)都會(huì)使用。
16、特殊與一般的思想:所謂特殊與一般的思想包括兩個(gè)方面:通過(guò)對(duì)某些個(gè)體的認(rèn)識(shí)與研究,逐漸積累對(duì)這類(lèi)事物的了解,再逐漸形成對(duì)這類(lèi)事物的總體認(rèn)識(shí), 發(fā)現(xiàn)特點(diǎn),掌握規(guī)律,形成公式,由淺入深,由現(xiàn)象到本質(zhì),由局部到整體,從實(shí)踐到理論,這種認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程就是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程;在理論指導(dǎo)下,用已有的規(guī)律解決這類(lèi)事物中的新問(wèn)題,這種認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程就是由一般到特殊的認(rèn)識(shí)過(guò)程。由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識(shí)的過(guò)程,就是人們認(rèn)識(shí)世界的基本過(guò)程,這一過(guò)程在數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中有著重要的應(yīng)用。
17、簡(jiǎn)化的思想:簡(jiǎn)化是一定范圍內(nèi)縮減對(duì)象(事物)的類(lèi)型數(shù)目,使之在一定時(shí)間內(nèi)足以滿足一般需要的標(biāo)準(zhǔn)化形式。簡(jiǎn)化一般是在事后進(jìn)行的,是在不改變對(duì)象質(zhì)的規(guī)定性,不降低對(duì)象功能的前提下,減少對(duì)象的多樣性、復(fù)雜性。
18、量化的思想:量化思想方法在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的運(yùn)用成果是“數(shù)”(字母和“式”是數(shù)的代表),而在幾何、統(tǒng)計(jì)、概率中的運(yùn)用成果是“量”——幾何量與統(tǒng)計(jì)量。量化就是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本思想方法,數(shù)學(xué)不管研究哪個(gè)領(lǐng)域,都會(huì)貫徹這個(gè)戰(zhàn)略;而在不同領(lǐng)域,貫徹的具體策略又會(huì)有所差別。
例如:運(yùn)用量化思想方法得出幾何量“面積”。
首次研究面積是三年級(jí)下冊(cè)第九單元《長(zhǎng)方形和正方形的面積》,教材是按如下順序展開(kāi)的。
第一步提出研究動(dòng)因,74頁(yè)該單元第一句話:“看看黑板的表面和課本的封面,說(shuō)說(shuō)哪一個(gè)面比較大,哪一個(gè)面比較小”——要研究和比較這一點(diǎn),需要給“這一點(diǎn)”即這個(gè)幾何屬性取個(gè)名字。
第二步“取名字”即命名一個(gè)幾何量,故緊接著說(shuō):“黑板表面的大小是黑板的面積”,即物體表面的大小叫面積。
第三步給這個(gè)幾何量賦值即使每個(gè)圖形表面的“面積”數(shù)值化。在量化程序中賦值是奠基的、最關(guān)鍵的一步,所以教材不吝用5頁(yè)篇幅來(lái)細(xì)致展開(kāi):
74-78頁(yè)比較多組圖形的面積大小,“黑板和課本”、“桌面和椅子面”、“手掌和樹(shù)葉”、“正方形和長(zhǎng)方形”、“四個(gè)省在地圖上的圖形”、“四個(gè)不規(guī)則多邊形”等等,各組比較標(biāo)準(zhǔn)不一、只管本組誰(shuí)大誰(shuí)小。
但這些活動(dòng)中暗藏一大轉(zhuǎn)折——力圖確定一個(gè)統(tǒng)一、公用的比較標(biāo)準(zhǔn):75頁(yè)例題,比較等寬的正方形和長(zhǎng)方形面積用了兩個(gè)方法,一是“我用重疊的方法”,二是 “我用同一張紙分別去量”——這“二”就是轉(zhuǎn)折;76頁(yè)《想想做做》第3題,四個(gè)不規(guī)則多邊形比較大小,因?yàn)槎籍?huà)在方格紙上,于是算算它們分別占了多少格就行了——“格”這個(gè)小正方形就成了統(tǒng)一、公用的比較標(biāo)準(zhǔn)。
轉(zhuǎn)折的成果是規(guī)定面積單位,作為比較任何物體表面面積大小的共同標(biāo)準(zhǔn),即78頁(yè)中間那句話:“為了準(zhǔn)確測(cè)量或計(jì)算面積的大小,要用同樣大小的正方形的面積作為面積單位。邊長(zhǎng)是1厘米的正方形,面積是1平方厘米”,以及第79頁(yè)一句話“邊長(zhǎng)是1米的正方形,面積是1平方米”。
用面積單位給“面積”這個(gè)幾何量作了賦值,就能計(jì)算任何物體表面的面積,于是得出83頁(yè)“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”和“正方形的面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”。
第四步規(guī)定面積這個(gè)幾何量本身的加法計(jì)算:“面積”可加,“面積+面積=面積”。教材第82頁(yè)探究長(zhǎng)方形面積公式時(shí)已經(jīng)未加證明地應(yīng)用了這個(gè)可加性,在以后計(jì)量多面體表面積時(shí)也予以了應(yīng)用。
第五步探究面積本身的其他運(yùn)算——這一步看不到,為什么?因?yàn)?ldquo;面”可分割即面積可減,很顯然故不用啰嗦;面積的乘、除則不允許,因?yàn)槊娣e與面積的積或商沒(méi)有幾何意義(長(zhǎng)度不同,其和、差仍是長(zhǎng)度——如折線長(zhǎng)與多邊形周長(zhǎng),積則是面積)。
量化程序的第六步導(dǎo)出算律無(wú)必要,因?yàn)橛?jì)算時(shí)處理好單位之后只剩下純數(shù)值計(jì)算,故“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域已得出的五條算律都可應(yīng)用。
19、函數(shù)的思想:函數(shù)思想的核心是事物的變量之間有一種依存關(guān)系,因變量隨著自變量的變化而變化,通過(guò)對(duì)這種變化的探究找出變量之間的對(duì)應(yīng)法則,從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的、普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)。
20、方程的思想:方程思想的核心是將問(wèn)題中的未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號(hào)(常用χ、y等字母)表示,根據(jù)相關(guān)數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已知與未知的對(duì)立統(tǒng)一。
21、優(yōu)化的思想:優(yōu)化思想就是在有限種或無(wú)限種可行方案(決策)中挑選最優(yōu)的方案(決策)的思想,是一個(gè)很重要的數(shù)學(xué)思想。它不僅在實(shí)際應(yīng)用中有明顯的價(jià)值,而且在小學(xué)數(shù)學(xué)教材要滲透的思想方法中所占比例相對(duì)較大。
優(yōu)化思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)人教版實(shí)驗(yàn)教材中處處可見(jiàn)滲透痕跡,如計(jì)算教學(xué)中的“算法優(yōu)化”、解決問(wèn)題教學(xué)中的“策略優(yōu)化”以及統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的“統(tǒng)計(jì)方法優(yōu)化”等等。
22、隨機(jī)的思想:隨機(jī)思想是認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要思想。在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中,一些事物是相互聯(lián)系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯(lián)系和發(fā)展中, 根據(jù)它們是否有必然的因果聯(lián)系,可以分成截然不同的兩大類(lèi):一類(lèi)是確定性的現(xiàn)象,另一類(lèi)是不確定性的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象從表面上看,似乎是雜亂無(wú)章的、沒(méi)有什么規(guī)律的現(xiàn)象。但實(shí)踐證明,如果同類(lèi)的隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn),它的總體就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。大量同類(lèi)隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的這種規(guī)律性,隨著我們觀察的次數(shù)的增多而愈加明顯。比如擲硬幣,每一次投擲很難判斷是哪一面朝上,但是如果多次重復(fù)的擲這枚硬幣,就會(huì)越來(lái)越清楚的發(fā)現(xiàn)它們朝上的次數(shù)大體相同。
23、抽樣統(tǒng)計(jì)的思想:統(tǒng)計(jì)思想主要體現(xiàn)在把握數(shù)據(jù)的能力,養(yǎng)成會(huì)用數(shù)據(jù)“說(shuō)事”,收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù),從數(shù)據(jù)中提取信息,并利用這些信息說(shuō)明問(wèn)題,在這個(gè)過(guò)程中,形成對(duì)數(shù)據(jù)的敏感,養(yǎng)成會(huì)用數(shù)據(jù)“說(shuō)事”的習(xí)慣。
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