培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的點(diǎn)滴認(rèn)識(shí)
數(shù)學(xué)的性質(zhì)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)既要以學(xué)生思維的深刻性為基礎(chǔ),又要培養(yǎng)學(xué)生的思維深刻性。數(shù)學(xué)思維的深刻性品質(zhì)的差異集中體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異,教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性,實(shí)際上就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)教育學(xué)生學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),學(xué)會(huì)全面地思考問(wèn)題,養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。
對(duì)于那些容易混淆的概念,如正數(shù)與非負(fù)數(shù)、銳角和第一象限的角、充分條件和必要條件等等,可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)辨別對(duì)比,認(rèn)清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別,在同化概念的同時(shí),使新舊概念分化,從而深刻理解數(shù)學(xué)概念。通過(guò)變式教學(xué)揭示并使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、方法的本質(zhì)與核心。在解題教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題,發(fā)現(xiàn)隱蔽關(guān)系,優(yōu)化解題過(guò)程,尋找最佳解法等等。
如案例:亓寧同學(xué)在解完“梯形ABCD中,點(diǎn)E是腰AB上一點(diǎn),在腰CD上求作一點(diǎn)F,使CF:FD = BE:EA”之后提出:“老師,如果E點(diǎn)在底邊上,如何在另一底上找到F,我有一種方法,不知對(duì)否?
作法:1. 連結(jié)AC; 2. 作EO // DC交AC于O; 3. 作OF // AB交BC于F。 AE:ED = BF:FC。 ” 同時(shí),另一位學(xué)生提出同樣的問(wèn)題,寫道:“如果,在梯形ABCD中,點(diǎn)E是底邊上一點(diǎn),那么在另一底邊找一點(diǎn)F,使AE:ED = BF:FC,應(yīng)怎樣找?” 兩位學(xué)生對(duì)同一個(gè)題目,提出了相同的問(wèn)題,前者解決了問(wèn)題,但不能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述問(wèn)題,后者雖沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法,但能準(zhǔn)確的描述問(wèn)題,兩位學(xué)生都良好的運(yùn)用了直覺(jué)思維,這本身就是一種創(chuàng)新思維,我及時(shí)公布了兩位的猜想,并鼓勵(lì)他們的這種主動(dòng)猜想的創(chuàng)新精神,公布之后,同學(xué)們反映強(qiáng)烈,并進(jìn)行了廣泛的討論,并且在討論中思維更加深刻,問(wèn)題得到引伸,方法也出現(xiàn)了多種。一位學(xué)生對(duì)在討論中提出的新方法給出了證明,他寫道:“今天小凡說(shuō),已知梯形 ABCD,E是底邊的一點(diǎn),延長(zhǎng)腰交于F,連結(jié)EA交AB與G就是昨天亓寧要找的點(diǎn)。我覺(jué)得它說(shuō)的是對(duì)的;證明如下:……(證明略)” 我也即時(shí)公布了這位學(xué)生提供的小喬的發(fā)現(xiàn)和他的證明,并說(shuō),小凡能想到這種方法,是他對(duì)解過(guò)的題目作了深刻的反思,從而對(duì)做過(guò)的題目有深刻的映象,自然很容易想到這種方法,因此,同學(xué)們應(yīng)向他學(xué)習(xí),解題以后不要停止,一定要多作反思。
接下來(lái)的幾天中,都有同學(xué)圍繞著這個(gè)問(wèn)題繼續(xù)思考,并且有的同學(xué)還將此問(wèn)題作了進(jìn)一步引伸,如任靜在反思中寫道:“任意多邊形,知道一邊上一點(diǎn),就可以由亓寧那種方法,在其它任一邊上找到一點(diǎn),使與分得的線段的比等于這點(diǎn)分得的這邊上的兩條線段的`比,只要先把多邊形變成三角形后就行。
對(duì)嗎?”我指導(dǎo)道:“你已推廣了亓寧提出的命題,很好,且你是對(duì)的,請(qǐng)?jiān)囈辉嚹懿荒芙o出證明”。鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合解題提出問(wèn)題,既能充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,又能形成師生互動(dòng)、生生互動(dòng)的教學(xué)情境,還能培養(yǎng)學(xué)生的不斷探索的精神,從而使學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)得到保護(hù)和培養(yǎng)。這無(wú)疑對(duì)學(xué)生“心態(tài)的開(kāi)放,主體的凸現(xiàn),個(gè)性的張顯”是十分有益的。
數(shù)學(xué)思維的敏捷性,主要反映了正確前提下的速度問(wèn)題。因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中,一方面可以考慮訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算速度,另一方面要盡量使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì),提高所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象程度。因?yàn)樗莆盏闹R(shí)越本質(zhì)、抽象程度越高,其適應(yīng)的范圍就越廣泛,檢索的速度也就越快。
另外,運(yùn)算速度不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解程度的差異,而且還有運(yùn)算習(xí)慣以及思維概括能力的差異。因此,數(shù)學(xué)教學(xué)中,應(yīng)當(dāng)時(shí)刻向?qū)W生提出速度方面的要求,另外還要使學(xué)生掌握速算的要領(lǐng)。例如,每次上課時(shí)都可以選擇一些數(shù)學(xué)習(xí)題,讓學(xué)生計(jì)時(shí)演算;結(jié)合教學(xué)內(nèi)容教給學(xué)生一定的速算要領(lǐng)和方法;常用的數(shù)字,如20以內(nèi)自然數(shù)的平方數(shù)、10以內(nèi)自然數(shù)的立方數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、無(wú)理數(shù) 、 、π、都要做到“一口清”;常用的數(shù)學(xué)公式如平方和、平方差、一元二次方程、二次函數(shù)的有關(guān)公式、各種面積、體積公式等等,都要做到應(yīng)用自如。實(shí)際上,速算要領(lǐng)的掌握和熟記一些數(shù)據(jù)、公式等,在思維活動(dòng)中是一個(gè)概括的過(guò)程,同時(shí)也訓(xùn)練了學(xué)生的數(shù)學(xué)技能,而數(shù)學(xué)技能的泛化就成為能力。
如案例:解完“AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圓的直徑,求證:AB?AC = AE?AD”后,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目本質(zhì)特征進(jìn)行回顧,發(fā)現(xiàn)此題的圓可以不畫出來(lái),因?yàn)槿我馊切味加型饨訄A,其處接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置,只要有三角形外接圓的直徑出現(xiàn),就應(yīng)該有上述結(jié)論。通過(guò)對(duì)題目本質(zhì)的領(lǐng)悟,再用自己的語(yǔ)言對(duì)習(xí)題進(jìn)行概述就得到了“任三角形的兩邊、第三邊上的高,和它外接圓直徑四個(gè)量中任知其中三個(gè),就可以求得第四個(gè)”,“三角形外接圓的直徑等于任意兩邊的積除以第三邊上的高”通過(guò)反思,由于學(xué)生已形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識(shí)組塊,所以在一次公開(kāi)課上,老師口述完“已知三角形兩邊分別是3、6,第三邊上的高為2,求三角形外接圓的直徑”時(shí),學(xué)生就能脫口說(shuō)出正確答案是“9”。促進(jìn)了知識(shí)的正向遷移,培養(yǎng)了思維的每捷性。
數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)不是對(duì)立的,而是相輔相成的。我們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的養(yǎng)成應(yīng)以數(shù)學(xué)知識(shí)技能為載體,和日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)結(jié)合起來(lái)。只要我們教師創(chuàng)造性地教,就能喚起學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué),教與學(xué)就能碰撞出創(chuàng)造的火花,我們的學(xué)生就能萌發(fā)創(chuàng)新意識(shí),就會(huì)富有創(chuàng)新能力,更懂得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),更能體會(huì)到學(xué)數(shù)學(xué)之“美妙”。我們的教育就能培養(yǎng)出21世紀(jì)所需要的創(chuàng)新人才;我們的課改之路定會(huì)一帆風(fēng)順!
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