廠商研發(fā)的非合作和合作博弈模型分析

 摘 要 建立一個兩階段博弈模型來分析兩個相同公司間研發(fā)的非合作和合作情況,并通過比較研發(fā)的均衡水平、消費(fèi)者剩余以及福利,得出如下結(jié)論：在研發(fā)過程中,與非合作情形相比，公司間進(jìn)行合作時的均衡水平較高,消費(fèi)者剩余和社會福利較大,因此兩公司間研發(fā)的合作比不合作要好,并且這種合作是一種雙贏的結(jié)果。
　　 關(guān)鍵詞 研發(fā)(R&D) 兩階段博弈 子博弈完備均衡 博弈模型
　　 中圖分類號 F124.3　　　　 文獻(xiàn)標(biāo)識號 A

1 引言
研發(fā)對一個公司來說至關(guān)重要，它是公司能夠持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵因素。只有通過研發(fā)，公司才能推出新產(chǎn)品來保持和提高自己的份額。因此幾乎每個公司都對研發(fā)投入了大量資金，并且研發(fā)經(jīng)費(fèi)占公司利潤的比例有不斷提高的趨勢。但是，對每個公司來說，公司間的研發(fā)競賽是次優(yōu)的，這主要表現(xiàn)在：從社會總體發(fā)展來看，由于公司間研發(fā)的保密而使很多經(jīng)費(fèi)進(jìn)行同樣的研發(fā)，從而使社會資源產(chǎn)生浪費(fèi)。從單個公司來說，研發(fā)間的競爭導(dǎo)致了公司的沉重負(fù)擔(dān)，甚至有的公司不堪重負(fù)而破產(chǎn)。因此，公司間研發(fā)的合作是非常重要的，這不僅僅表現(xiàn)在社會資源的有效利用，而且表現(xiàn)在這種合作是一種雙贏的結(jié)果。本文通過一些合理的假設(shè)探討了兩個相同公司間研發(fā)的非合作和合作博弈模型，并分析這種現(xiàn)象給出評價標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行對比分析。
2 非合作博弈模型
本模型是Cournot模型的一種推廣，文中的許多假設(shè)和Cournot模型相同，所不同的是Cournot模型是一種完全信息靜態(tài)博弈模型，而本文所給出的模型是一種兩階段博弈模型，即在Cournot模型的基礎(chǔ)上加進(jìn)了公司的研發(fā)投入階段。
模型的若干假設(shè)：一個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中只有兩個相同的公司，也可以說這兩個公司是對稱的，即一個公司是另一個公司的復(fù)制，兩個公司在投入，產(chǎn)出水平，以及上都是相同的，并設(shè)兩個公司的初始單位成本為c，即沒有進(jìn)行研發(fā)時的成本，兩公司所進(jìn)行的兩階段博弈模型如下：在第一階段，兩個公司同時選擇研發(fā)投入經(jīng)費(fèi)x1,x2后進(jìn)行研發(fā)過程；在第二階段，兩個公司注意到研發(fā)投入經(jīng)費(fèi)x1,x2，生產(chǎn)出產(chǎn)品后在產(chǎn)品市場上進(jìn)行競爭。
由于混合策略在公司進(jìn)行決策時過于麻煩，并且公司的研發(fā)對于一個公司來說至關(guān)重要，有的研發(fā)一旦確定，就需要相當(dāng)長的時間去完成，中途更改的機(jī)會成本很高，因此，本文只討論純策略時的情況，并且討論的是一個一次博弈模型，而不考慮重復(fù)博弈時的公司行為，所以本文過多地關(guān)注純策略子博弈完備均衡就不足為奇了。
在這里，假設(shè)兩公司進(jìn)行研發(fā)后，能夠有效地降低其單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本，而不是推出新產(chǎn)品，即我們的注意力放在研發(fā)對技術(shù)的貢獻(xiàn)上。假設(shè)一單位的研發(fā)投入能夠降低單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本為f（x1）,f（x2）,其中f（x）=■（0 πi（xi,xj,qi,qj）=qi（p-）c-f）xi）））-xo
　　　　　　 =qi（a-（qi+qj）-c+f（xi））-xi
采用倒推法可以求得純策略子博弈完備均衡，由于這兩個階段對兩個公司來說都是知識，我們先假設(shè)在第二階段兩公司在產(chǎn)品市場進(jìn)行競爭時，使得對方已達(dá)到均衡數(shù)量時使自己的收益達(dá)到最大，同樣地，在求得第二階段的均衡收益時可以以這個均衡為基礎(chǔ)求出第一階段的均衡收益，這就是所要求的純策略子博弈完備均衡的收益值。其具體過程如下：
在第二階段有■=0
　　　　　　　　■=0
由于兩個公司是對稱的，可解得：
q■■=■，q■■=■
即在第二階段兩公司得收益為：
　　*9仔■■(x1,x2,q■■,q■■)=■-x1
　　*9仔■■(x1,x2,q■■,q■■)=■-x2
　　由于兩個公司在第二階段都達(dá)到了預(yù)期的水平，在第一階段兩個公司也同樣有這樣的動機(jī)來達(dá)到這種情況，即假設(shè)另一個公司已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)水平的情況下使自己的收益達(dá)到最大，這主要是建立在兩個階段都具有充分的共同知識的基礎(chǔ)上。第一階段的解為：
　　■=0
　　■=0
　　解得：x■■=x■■=32r(a-c)2，并且
　　*9仔■■(x■1,x■2,q■■,q■■)=9(a-c)2-x■■
*9仔■■(x■1,x■2,q■■,q■■)=9(a-c)2-x■■
由于所討論的是兩個同樣的公司，所以本博弈模型的均衡為對稱解，從上面的均衡可以算出消費(fèi)者剩余S：
S=1/2b(q■■+q■■)2=2(■)
3 合作博弈模型
合作是指兩個公司為了共同的目的而進(jìn)行的一種妥協(xié)，兩公司間研發(fā)的合作主要涉及的是雙方對研發(fā)的投入與其所得之間的問題，可是在合作博弈中這并不能簡單的解決這個問題，很有可能當(dāng)兩個公司由于研發(fā)費(fèi)用的分擔(dān)和收益的獲得不平等的時候，這種合作就有破裂的危險，也就是說合作博弈所尋找的是讓兩個公司從根本上認(rèn)識到這種合作對任何一方來說沒有偏袒，所以這里主要解決的是兩個公司如何分擔(dān)費(fèi)用和收益的問題。在這里我們依然沿用非合作博弈的框架來表述兩個公司在研發(fā)方面的合作，只不過在合作博弈的第一階段，兩公司所進(jìn)行的是研發(fā)費(fèi)用的共同分擔(dān)和研發(fā)的共同獲益，并且研發(fā)費(fèi)用的總和比非合作情況下要少很多，從這方面講，研發(fā)的合作比不合作要好。兩公司進(jìn)行合作時，依然會出現(xiàn)利益沖突，因?yàn)橐环降耐度朐黾訒��?dǎo)致另一方的投入會慢慢地減少，從而減少的一方會從中獲得更多的好處，并且由于兩個公司可能對研發(fā)的要求不一樣而導(dǎo)致合作研發(fā)是否好的問題，在這里不考慮這種情況，公司所要求的只是按照博弈規(guī)則進(jìn)行。為了反映雙方的費(fèi)用和收益之間的關(guān)系，在這里給出合作博弈的基本框架，并給出合作博弈的均衡解，從以下結(jié)果中可以看到這個均衡是唯一存在的。
在這里，合作博弈是從非合作博弈的基礎(chǔ)上進(jìn)行一種變換而來的，即其基本框架依然是非合作博弈，只不過我們尋找的是變換后的博弈模型的均衡解。設(shè)*9祝=（{1，2}，C1，C2，u1,u2）是一個博弈，ψ是一個合作變換，則ψ（*9祝）就為另一個博弈。在這里主要討論的是一種兩人討價還價博弈模型(F,v)。設(shè)F={（u1（μ)，u2（μ））|μ∈△（C）}，△（C）為C=（C1，C2），為上的一個概率分布。在這里可以看出，F(xiàn)是非合作博弈情況下的解的可行集，對這個集合進(jìn)行一些限制條件后就構(gòu)成了合作博弈的解的可行集,即F∩{（x1,x2）|x1≥v1,x2≥v2}，這里F∩{（x1,x2）|x1≥v1,x2≥v2}，這里是非空有界的， v是不一致同意點(diǎn)，也即他們不進(jìn)行合作也可以達(dá)到的點(diǎn)。其中非空有界集說明存在某個可行配置對兩個局中人來說至少與不一致同意點(diǎn)一樣好，但不可能出現(xiàn)超過不一致同意點(diǎn)的無界收益。對兩個局中人來說，僅當(dāng)F中至少存在一個配置y。都嚴(yán)格好于不一致同意配置v時，我們才稱這個兩人討價還價問題（F,v）是實(shí)質(zhì)上的，也就是這個可行集中至少存在一個均衡值�？梢钥闯鑫覀兯�討論的合作博弈模型是實(shí)質(zhì)上的。
設(shè)*9準(zhǔn)（F，V）為R2中的某個配置向量，它是當(dāng)F為可行配置集且v是不一致同意的配置下的討價還價的結(jié)果。設(shè)*9準(zhǔn)i（F，V）表示*9準(zhǔn)（F，V）的第I個分量，即*9準(zhǔn)（F，V）=*9準(zhǔn)1（F，V）,*9準(zhǔn)2（F，V），則對任一個討價還價問題(F,v)，納什討價還價解的公理可表示如下：


　　(1)強(qiáng)有效性。*9準(zhǔn)（F，V）是F中的一個配置，x≥*9準(zhǔn)（F，V）且對F中的任一個x，則x=*9準(zhǔn)（F，V）。即解是可行的且是帕累托有效的。
　　(2)弱有效性公理。*9準(zhǔn)（F，V）=∈F且F中不存在任何y，使得y＞*9準(zhǔn)（F，V）。
　　(3)個人理性。*9準(zhǔn)（F，V）≥V即配置會越來越好。
　　(4)尺度協(xié)變性。對任意λ1＞0,λ2＞0,r1r2,若G={(λ1x1+r1,λ2x2+r2)|(x1,x2)∈F}且w=(λ1v1+r1,λ2v2+r2)，則*9準(zhǔn)(G,w)=(λ1*9準(zhǔn)1(F,v)+r1, λ2*9準(zhǔn)2(F,v)+r2)即(F,v)的任何仿射變換不會影響效用函數(shù)的決策性質(zhì)。
　　(5)無選擇的獨(dú)立性公理。對任一閉凸集，若G*9哿F，且*9準(zhǔn)（F，v）∈G,則*9準(zhǔn)（G，v）=*9準(zhǔn)（F，v）。即討價還價解并不會因?yàn)樘蕹�那些不被選擇的可行對象而 改變。
　　(6)對稱性。若V1=V2且{(X1,X2)|(X1,X2)∈F}=F,則*9準(zhǔn)1（F，v）=φ2（F，v）。即若雙方是對稱的,則解也是對稱的。
　　設(shè)討價還價雙方是個人理性的，并且F中的一個配置是個人理性的充要條件是 x≥v。在這里我們關(guān)注的是納什討價還價解，它由以下定理確定。
　　定理1：存在唯一的一個解函數(shù)φ（·，·）滿足上述公理(1)到(5),對于每個討價還價問題(F,v)，這個解函數(shù)都滿足*9準(zhǔn)（F，v）∈■■（x1-v1）（x2-v2）。
　　在進(jìn)行雙方合作時我們注意的是雙方的投入與其收益之間的關(guān)系，為了解決這個問題，在這里采用平等主義解和功利主義解的概念。平等主義解的意思是雙方的投入應(yīng)該是相等的,特別是對兩個相同結(jié)構(gòu)的公司來說，只有這樣他們的投入才會在同一個起跑線上；功利主義解是從雙方這個整體來考慮的，即在平等主義解的基礎(chǔ)上，如果雙方所獲得的總收益越多，則每一方所獲得的就會相應(yīng)地增加。
　　平等主義解為F中唯一弱有效且滿足如下等收益的點(diǎn)x：x1-v1=x2-v2；
　　功利主義解為任一解函數(shù)，他對每個兩人討價還價問題(F,v)都選擇兩個配置x，使得x1+x2=■（y1+y2）。
　　顯然這兩個解不滿足尺度協(xié)變性公理。為了使他們滿足這個公理，特做如下修改：給定任意λ1，λ2，r1，r2，使得λ1＞0，λ2＞0令L(y)=（λ1y1+r1，λ2y2+r2），y∈R2
　　并且對給定任一兩人討價還價問題（F,v），令L（y）={L(y)|y∈F},于是(L(F)，L(v))的平等主義解為L(x)，其中x是F中唯一弱有效點(diǎn)，且使得λ1(x1-v1)=λ2(x2-v2)，則稱其為(F,v)的λ平等主義解，類似的，（L(F),L(v))的功利主義解一定是某個點(diǎn)L(z)，其中z是F中的一個點(diǎn)使得λ1z1+λ2z2=■（λ1y1+λ2y2）。
　　λ1，λ2稱為(F,v)的自然尺度因子，即對任一實(shí)質(zhì)上λ=(λ1，λ2)的(F,v),存在一個向量使得λ＞(0,0)且(F，v)的λ平等主義解同時也是(F,v)的λ功利主義解，而納什討價還價解可以被視為均等收益和最大收益這兩個原則的一個自然綜合，為了便于計算，以下給出這兩種解的等價條件。
　　定理2：令(F,v)為一個實(shí)質(zhì)上的兩人討價還價問題，并令x為一個滿足x∈F，且x≥v的配置向量，則x為(F,v)的納什討價還價解的充要條件是，存在嚴(yán)格正的數(shù)λ1和λ2，使得λ1x1-λ1v1=λ2x2-λ2v2及λ1x1+λ2x2=■（λ1y1+λ2y2）。
　　有了以上的理論基礎(chǔ)，就可以求出合作博弈的純策略子博弈完備均衡解，這里同樣采用的是倒推法進(jìn)行求解，在第二階段,同樣可以求出q■■q■■,在第二階段合作博弈的解即為下列優(yōu)化問題:■（π■■（x1,x2,q■■q■■）-π■■）（π■■（x1,x2,q■■q■■）-π■■）
　　解得：x■■=x■■=■(■)2
　　在合作情況下雙方的收益為：
π■■（x■■,x■■,q■■q■■）=■-x■■
π■■（x■■,x■■,q■■q■■）=■-x■■
其中新的消費(fèi)者剩余為：
　　S′=1/2（q■■q■■）2
　　通過計算得到一下結(jié)論：
　　x■■＜x■■，x■■＜x■■ (1)
　　q■■（x■■，x■■）＜q■■（x■■，x■■）
　　q■■（x■■，x■■）＜q■■（x■■，x■■）(2)
　　S′＞S(3)
　　其中：（1）式說明合作情況下的研發(fā)投入比非合作情況下的投入要��；（2）式說明合作情況下的產(chǎn)出比非合作情況下的產(chǎn)出要多；（3）式說明合作情況下的消費(fèi)者剩余比非合作情況下的要大.
4 比較分析
從非合作博弈和合作博弈的結(jié)果看，合作博弈的結(jié)果都優(yōu)于非合作博弈的結(jié)果，在非合作博弈中，公司為了減少所進(jìn)行的研發(fā)是每個公司分別分擔(dān)的，但由于兩個公司在第一階段進(jìn)行了研發(fā)合作，使得兩個公司共同分擔(dān)了研發(fā)成本，并且這種分擔(dān)減少了由于兩個公司分別承擔(dān)時的重復(fù)投入，從而使產(chǎn)量提高，消費(fèi)者剩余變大，這說明消費(fèi)者從兩個公司的合作中得到了好處，也就是運(yùn)行更為有效，并且在研發(fā)的合作上只是在第一階段進(jìn)行,而第二階段兩個公司依然在產(chǎn)品市場上進(jìn)行產(chǎn)品競爭，這種競爭和Cournot模型中的情況是一樣的，這里我們并沒有討論兩個公司在產(chǎn)品市場進(jìn)行合作的情形，一方面可能由于兩個公司收到區(qū)位限制而無法合作，另一方面由于其他的原因而導(dǎo)致這種合作違反，與Cournot模型所不同的是這里多了一個成本是如何減少的這一階段。從兩個公司的收益來看，兩個公司的合作可以使得雙方的收益增加的可能性變大，每個公司的收益分為兩個部分，一部分是在產(chǎn)品市場上的銷售收益，再減去進(jìn)行研發(fā)時的投入費(fèi)用。與非合作情況相比，在合作情況下由于產(chǎn)量增加、價格下降，使得每個公司除去研發(fā)投入外的收益變得不是很確定，這部分收益有賴于參數(shù)的具體值，不過由于假設(shè)反需求曲線的斜率是1，所以這部分收益并不會變化很多，可是收益的另一部分即研發(fā)投入(它可以減少成本，從相反的方向看這種成本的減少表現(xiàn)為一種間接的收益)明顯的減少了，所以從總體上來說，兩個公司之間的收益都增加了。
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