微分方程在材料學(xué)科研究中的應(yīng)用論文
【摘要】微分方程是一項(xiàng)有效的數(shù)學(xué)工具，在材料科學(xué)研究中得到了廣泛的應(yīng)用。本文綜述了微分方程在研究材料力學(xué)性能、物理性能、熱傳導(dǎo)和質(zhì)量傳輸方面的應(yīng)用。
【關(guān)鍵詞】微分方程材料學(xué)科應(yīng)用
微分方程指含有自變量、自變量的未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式，是常微分方程和偏微分方程的總稱。20世紀(jì)以來，隨著大量邊緣科學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，也出現(xiàn)不少新型的微分方程。20世紀(jì)70年代隨著數(shù)學(xué)向化學(xué)和生物學(xué)的滲透，出現(xiàn)了大量的反應(yīng)擴(kuò)散方程。常微分方程的解會(huì)含有一個(gè)或多個(gè)任意常數(shù)，其個(gè)數(shù)就是方程的階數(shù)。偏微分方程的解會(huì)含有一個(gè)或多個(gè)任意函數(shù)，其個(gè)數(shù)隨方程的階數(shù)而定。微分方程在物理學(xué)、力學(xué)中的重要應(yīng)用，不在于求方程的任一解，而是求得滿足某些補(bǔ)充條件的解，稱為求解定解問題。
隨著微分方程的發(fā)展和在各學(xué)科研究中的應(yīng)用，微分方程也逐漸應(yīng)用于材料科學(xué)的研究。本文綜述了微分方程在研究材料的力學(xué)性能、物理性能、熱傳導(dǎo)和質(zhì)量傳輸方面的應(yīng)用情況。
一微分方程在研究材料力學(xué)性能中的應(yīng)用
1．在研究材料受力變形中的應(yīng)用
王秀芬利用微分方程模型對(duì)溫控材料受力彎曲變形進(jìn)行了研究。結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想及材料力學(xué)相關(guān)知識(shí)對(duì)溫控設(shè)備受力時(shí)發(fā)生彎曲變化情況，通過實(shí)例建立微分方程模型，通過對(duì)模型的分析研究尋求溫控設(shè)備能自動(dòng)調(diào)節(jié)溫度的最佳規(guī)律。她利用求解細(xì)桿彎曲變形的問題時(shí)常建立撓曲軸近似微分方程然后求解，帶入已知條件后推導(dǎo)出模型。通過對(duì)模型的分析她發(fā)現(xiàn)，當(dāng)細(xì)桿發(fā)生彎曲時(shí)，彈簧與鋼臂的夾角不為90°，且彈簧的長(zhǎng)度相對(duì)于未發(fā)生變形時(shí)發(fā)生變化，因此她結(jié)合已知條件后改進(jìn)了模型。通過計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相對(duì)誤差很小，實(shí)際值與計(jì)算值吻合程度很高，模型相當(dāng)準(zhǔn)確，可用于精確求解細(xì)桿的彎曲情況。
金偉良利用微分方程。研究了銹蝕鋼筋混凝土梁受彎承載力計(jì)算模型。綜合考慮銹蝕鋼筋混凝土梁中材料性能的退化和鋼筋與混凝土黏結(jié)性能的退化，根據(jù)梁截面平衡方程和鋼筋與混凝土的變形協(xié)調(diào)方程建立梁中受拉鋼筋軸力微分方程，給出了微分方程的滑移邊界條件和鋼筋軸力連續(xù)邊界條件，定義梁彎曲破壞的兩種極限狀態(tài)：混凝土壓碎和鋼筋屈服，通過計(jì)算推導(dǎo)出鋼筋軸力微分方程通過研究發(fā)現(xiàn)，模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合很好，說明本模型的計(jì)算結(jié)果是可靠的，可以將本模型的計(jì)算結(jié)果運(yùn)用到實(shí)際的工程之中，為混凝土結(jié)構(gòu)耐久性評(píng)估提供了理論基礎(chǔ)。
2．在研究材料裂紋中的應(yīng)用
謝秀峰通過求解一類線性偏微分方程的邊值問題，引入新的應(yīng)力函數(shù)，采用復(fù)變函數(shù)方法推出了正交異性復(fù)合材料板I型裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)的計(jì)算公式，對(duì)正交異性復(fù)合材料板的I型裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了有關(guān)的力學(xué)分析。他通過在應(yīng)變協(xié)調(diào)方程中引入新的應(yīng)力函數(shù)，代入邊界條件后求解方程組后得到正交異性復(fù)合材料板Ⅰ型裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)。通過他的方法得到的Ⅰ型裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)的理論計(jì)算公式與楊維陽編著的《復(fù)合材料斷裂復(fù)變方法》一書中給出的應(yīng)力場(chǎng)的理論計(jì)算公式完全相同，因此驗(yàn)證他的結(jié)論是正確的。
彭英針對(duì)材料參數(shù)在厚度方向按任意函數(shù)形式連續(xù)變化的功能梯度材料薄板，利用新的分層方法，求出各向異性、正交異性功能梯度材料板平面斷裂基本方程并結(jié)合各向同性功能梯度材料及各向同性、各向異性、正交異性復(fù)合材料對(duì)方程作了全面討論。結(jié)果表明復(fù)合材料和功能梯度材料以及各向同性、各向異性、正交異性之間既有區(qū)別又有密切聯(lián)系，新的分層方法非常有效。
3．在研究材料加工中受力的應(yīng)用
李茂林研究金屬材料表面微凸結(jié)構(gòu)對(duì)模具與工件接觸區(qū)域上的非局部摩擦效應(yīng)，在楔形模寬條料超塑性拉拔加工問題中，首次采用Oden等提出的非局部摩擦定律代替經(jīng)典的庫侖摩擦定律，利用主應(yīng)力法或工程法建立了相應(yīng)問題的微積分形式的力平衡方程。在簡(jiǎn)化的情況下，采用攝動(dòng)法求得所論問題的近似解，并分析了影響應(yīng)力的非局部效應(yīng)的相關(guān)因素。在宏觀范圍內(nèi)考慮非局部效應(yīng)，庫侖摩擦模型得到的結(jié)果與非局部摩擦模型得到的結(jié)果較接近，而從Oden等人的分析可知，非局部摩擦模型反映了金屬材料微凸結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)力分布的非局部效應(yīng)，比庫侖摩擦模型更客觀地反映了摩擦形成的'實(shí)際情況。
宋清華提出一種薄壁件變參數(shù)銑削系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析方法�？紤]銑削過程中的自激振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)，建立了薄壁件變參數(shù)（模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度）銑削系統(tǒng)周期延遲微分方程，借助有限單元法和最小二乘法，獲得加工過程中工件系統(tǒng)固有頻率和模態(tài)質(zhì)量隨刀具位置的連續(xù)變化曲線。研究結(jié)果顯示，薄壁件加工過程中，材料切除對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性有重要影響。實(shí)際加工時(shí)，應(yīng)采取相應(yīng)措施避免劇烈振動(dòng)的發(fā)生。
4．在研究材料振動(dòng)中的應(yīng)用
毛柳偉基于Kelvin模型粘彈性材料本構(gòu)關(guān)系導(dǎo)出了阻尼層合板的動(dòng)力學(xué)微分方程組，給出了四邊簡(jiǎn)支阻尼層合板的固有頻率和損耗因子的解析解。與文獻(xiàn)結(jié)果比較表明，將Kelvin模型應(yīng)用于黏彈結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性問題求解，計(jì)算模型簡(jiǎn)便，且計(jì)算結(jié)果比常復(fù)數(shù)模型更為精確。
王明祿假設(shè)功能梯度材料梁的材料性能沿厚度方向呈冪律形式連續(xù)變化。
在平截面假設(shè)下，考慮由材料非均勻性引起的中面應(yīng)變的前提下，建立了熱機(jī)載荷作用下功能梯度材料彈性梁自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，求解了兩端簡(jiǎn)支等四種常見邊界條件下功能梯度材料梁的固有頻率和主振型。可以分析梯度參數(shù)k對(duì)于FGM梁固有頻率和主振型的影響，從而反過來作為設(shè)計(jì)不同使用要求的FGM梁的理論依據(jù)。
二微分方程在研究材料加工溫度場(chǎng)模擬中的應(yīng)用
常士家應(yīng)用感應(yīng)加熱理論，利用麥克斯韋方程組和導(dǎo)熱微分方程，并引入復(fù)矢量磁位，建立了電磁場(chǎng)與溫度場(chǎng)耦合的有限元數(shù)學(xué)模型，利用大型通用有限元分析軟件ANSYS對(duì)注射機(jī)料筒的感應(yīng)加熱過程進(jìn)行了模擬分析。他建立的計(jì)算溫度場(chǎng)的基本方程，以基本方程為基礎(chǔ)討論了感應(yīng)加熱有限元分析中溫度場(chǎng)與電磁場(chǎng)耦合、料筒材料物理參數(shù)對(duì)溫度依賴性等關(guān)鍵技術(shù)問題的處理方法。分析了料筒的感應(yīng)透熱過程，得到了料筒內(nèi)的溫度分布狀況以及溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律。模擬分析了頻率、線圈電流強(qiáng)度系數(shù)等參數(shù)對(duì)料筒溫度控制的影響。通過得到的結(jié)果，了解了感應(yīng)加熱溫升過程和特點(diǎn)，從而為注射機(jī)料筒溫度控制提供一定的依據(jù)以及為感應(yīng)加熱器的參數(shù)選取提供一定的指導(dǎo)作用。 隋大山在Fourier導(dǎo)熱微分方程的基礎(chǔ)上，充分考慮材料和邊界條件等參數(shù)的非線性特征，采用等價(jià)比熱容法處理結(jié)晶潛熱，建立導(dǎo)熱微分方程。利用有限元法求解砂型鑄造凝固過程的瞬態(tài)溫度場(chǎng)。并對(duì)砂型鑄造工藝進(jìn)行測(cè)溫實(shí)驗(yàn)，分別得到鑄件、型芯和砂型內(nèi)的測(cè)溫曲線，測(cè)量溫度與相應(yīng)的計(jì)算溫度基本吻合。針對(duì)計(jì)算溫度與測(cè)量溫度的偏差情況，從測(cè)溫誤差和計(jì)算模型兩方面進(jìn)行了分析，提出了降低熱電偶測(cè)溫誤差和提高模擬精度的具體措施。
三微分方程在研究材料濃度擴(kuò)散中的應(yīng)用
王崇琳討論了擴(kuò)散微分方程在幾種條件下的積分解，采用辛普生法計(jì)算誤差函數(shù)erf（z）的定積分值，就2個(gè)不同濃度無限源的擴(kuò)散狀況，進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。描述了計(jì)算擴(kuò)散分布的FORTRAN程序框圖，給出了C、Co、Cr、Mn、Mo、Ni及V等合金元素在Fe中擴(kuò)散分布的計(jì)算結(jié)果，在通常燒結(jié)溫度1120~1150℃下，Mo和Ni等元素的擴(kuò)散距離僅1～3μm。因此，若加入合金元素粉末，其粉末粒度應(yīng)控制于此值，以保證擴(kuò)散的均勻性，但需控制合金顆粒的尺度。
廖福成利用傅里葉級(jí)數(shù)展開，將穩(wěn)態(tài)晶體生長(zhǎng)的濃度控制方程轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組。利用對(duì)于一階常微分方程組性質(zhì)的討論，得到了穩(wěn)態(tài)晶體生長(zhǎng)控制方程的精確解。理論結(jié)果可用于揭示穩(wěn)態(tài)胞晶體周期性增長(zhǎng)的本質(zhì)特性。
四微分方程在研究材料物理性能參數(shù)中的應(yīng)用
江穎以各向同性球形鐵磁顆粒和單軸異向性的二維鐵磁薄膜為例，探討了如何通過Landau－Lifshitz－Gilbert非線性微分方程來推導(dǎo)出材料磁導(dǎo)率。實(shí)際應(yīng)用的效果表明利用LLG非線性微分方程推導(dǎo)出來的磁導(dǎo)率表示式具有相當(dāng)?shù)膹V泛性。如果在微磁學(xué)范疇，很多其他的效應(yīng)，如邊界的雜散場(chǎng)、磁疇影響以及磁相互作用等，會(huì)表現(xiàn)得更加顯著而且必須加以考慮。在這種情況下，則需要對(duì)LLG方程進(jìn)行更全面的解析研究。同時(shí)，利用基于LLG方程的專用科學(xué)分析軟件來進(jìn)行微磁學(xué)的數(shù)值模擬的研究將大大推動(dòng)LLG方程在微磁學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。
宛農(nóng)在Larson－Miller方程基礎(chǔ)上，利用全微分和狀態(tài)函數(shù)特征，建立了金屬材料在給定溫度條件下持久強(qiáng)度與高溫瞬時(shí)強(qiáng)度之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并成功用于T91耐熱鋼和GH2871高溫合金持久強(qiáng)度的預(yù)測(cè)。
五結(jié)語
微分方程廣泛用于研究材料的力學(xué)性能（如受力變形、加工過程受力、振動(dòng)和裂紋）、物理性能（如求磁導(dǎo)率、高溫強(qiáng)度）、熱傳導(dǎo)（溫度場(chǎng)模擬）和質(zhì)量傳輸（濃度擴(kuò)散）。通過檢驗(yàn)表明，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際吻合較好，有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值；微分方程還未全面應(yīng)用于材料科學(xué)研究的各個(gè)方面，有待于進(jìn)一步擴(kuò)大微分方程在材料科學(xué)研究中的應(yīng)用。
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